Wprowadzenie do liczb ujemnych

W tej prezentacji chcę zapoznać was z liczbami ujemnymi i pokazać, jak się je dodaje i odejmuje. Na początku wydają się tajemnicze i niezrozumiałe bo do liczenia używamy liczb dodatnich. Co to, u diabła, jest liczba ujemna? Ale gdy się zastanowicie na pewno okaże się, że spotkaliście już je w swoim życiu. Zaraz podam kilka przykładów. Ogólnie rzecz biorąc, liczba ujemna to każda liczba mniejsza od zera. Mniejsza… od zera. To może wydawać się wam absurdalne, lecz umieśćmy te liczby w kontekście. Załóżmy, że mamy… …że mierzymy temperaturę, w stopniach Celsjusza lub Fahrenheita. Niech będą stopnie Celsjusza. Narysuję skalę termometru, którym ją mierzymy. Powiedzmy, że tu jest zero stopni Celsjusza. Tu jest 1 stopień… tu 2 stopnie… i 3 stopnie. Załóżmy, że dzień mamy dość zimny i temperatura wynosi 3 stopnie Celsjusza. I że prezenter pogody mówi wam, że jutro będzie o 4 stopnie chłodniej. Jaka więc jutro będzie temperatura? Jak opisać to zimno? Ochłodzenie o 1 stopień dałoby temperaturę 2 stopni. Ale ochłodzi się aż o 4 stopnie. Ochłodzenie o 2 stopnie… dałoby temperaturę 1 stopnia. Po ochłodzeniu o 3 stopnie wyniosłaby 0 stopni. Ale 3 to za mało, bo ma się ochłodzić o 4 stopnie. Musimy zejść 1 stopień poniżej zera. (Jeden stopień poniżej zera.) A ten 1 stopień poniżej zera piszemy z minusem: -1. To właśnie liczba ujemna. Na osi liczbowej na prawo od zera są coraz większe liczby dodatnie a na lewo od zera mamy -1… -2… -3… i dalej – to kwestia umowy coraz większe liczby z minusem. Ale ustalmy jedno. Liczba -3 jest mniejsza od -1. Przy -3 stopniach w powietrzu jest mniej ciepła niż przy -1. Jest zimniej. Niższa jest temperatura. Napiszmy to, żeby nie było niedomówień. -100 to dużo mniej niż… dużo mniej… mniej niż… dużo mniej niż 1. O, przepraszam, niż -1. Widząc 100 i 1 możecie pomyśleć, że 100 to dużo więcej niż 1. Ale minus przed liczbą oznacza brak czegoś. -100 stopni oznacza duży brak ciepła. Jest więc dużo zimniej niż przy -1. Podam inny przykład. Załóżmy, że na koncie bankowym mam obecnie 10 dolarów. Wybiorę inny kolor. Obecnie… mam na koncie… 10 dolarów. I załóżmy, że idę na zakupy, bo nie dbam o te 10 dolarów. Idę i wydaję… Idę na zakupy i wydaję, powiedzmy, 30 dolarów. Przyjmijmy, że mój bank jest wyrozumiały i pozwala mi wydać więcej niż mam na koncie. Wydaję więc 30 dolarów. Jaki jest teraz stan mojego konta? Narysujmy oś liczbową. Pewnie już wiecie. Będę winien bankowi pewną sumę pieniędzy. Napiszmy: „Jutro”. Ile będę miał na koncie jutro? Popatrzcie, skoro miałem 10 dolarów i wydałem 30 dolarów to brakujące 20 dolarów musiało skądś się wziąć. Po prostu pożyczył mi je bank. Jestem winien bankowi 20 dolarów. Aby przedstawić stan mojego konta, trzeba użyć liczby ujemnej. 10 odjąć 30 równa się -20 dolarów. Zatem jutro, gdy sprawdzę stan konta okaże się, że mam na nim -20 dolarów. Jeśli bank mi mówi, że mam -20 dolarów znaczy to, że jestem mu winien pieniądze. Nie mam pieniędzy i jeszcze muszę oddać. Tu jeszcze miałem trochę pieniędzy. Sytuacja była odwrotna: to bank był mi winien pewną sumę. Miałem 10 dolarów do wydania. Teraz ja mu jestem winien, znajduję się na minusie. Łatwiej to przedstawić na osi liczbowej. Tu jest zero. Zaczynam mając 10 dolarów. Mam 10 dolarów i wydaję 30 dolarów czyli przesuwam się o 30 miejsc w lewo. Gdybym wydał tylko 10 dolarów przesunąłbym się o 10 miejsc i byłbym na zerze. Wydając kolejne 10 dolarów byłbym na -10. Po wydaniu następnych 10 dolarów stan mojego konta osiągnąłby -20. Każdy z wydatków przesuwał mnie w lewo. Pierwszy na 0, drugi na -10 a trzeci na -20. Ten odcinek to cała suma, którą wydałem. Wydałem… 30 dolarów. Ogólna zasada jest taka, że jeśli czegoś ubywa pieniędzy albo stopni Celsjusza to przesuwamy się na osi w lewo i liczby maleją. Mogą one zmaleć bardziej niż do zera. Mogą zmaleć do -1 albo -2, a nawet do -1,5 czy -1,6. Im dalej w stronę liczb ujemnych, tym większa strata. Przy zysku, na przykład, gdy dostanę wypłatę przesuwam się na osi w prawo. Skoro już to wiemy, zróbmy kilka zadań matematycznych. Łatwiej będzie zrozumieć. Na przykład… 3 odjąć 4. Powtarza się sytuacja, którą mieliśmy z temperaturą. Zaczynamy od 3 i odejmujemy 4 czyli 4 miejsca w lewo: 1, 2, 3 i 4. I tak docieramy do -1. Trzeba dobrze zrozumieć, czym naprawdę jest liczba ujemna. Zachęcam, żebyście wyobrażali sobie oś liczbową przy każdym dodawaniu i odejmowaniu. Zróbmy jeszcze parę przykładów. Niech będzie… 2 odjąć 8. Powiem więcej o tych działaniach w kolejnych filmach ale zawsze warto użyć osi liczbowej. Tu jest zero, a tu… Zostawię więcej miejsca. Tu jest zero… a tu 1, 2… Odejmujemy 8, więc przesuniemy się o 8 miejsc w lewo. Jedno miejsce… drugie… Po dwóch ruchach jesteśmy na zerze. Ile jeszcze zostało? 2 mamy za sobą, więc jeszcze 6 ruchów w lewo. Jedziemy… jedno… drugie… trzecie… czwarte… piąte… i szóste. Na jakiej wartości stoimy? Tu było zero, więc -1… -2… -3… -4… -5… i -6. Zatem 2 odjąć 8 równa się -6. Odejmując 2 od 2 dochodzimy do zera i musimy jeszcze odjąć 6 więc ostatecznie dochodzimy do -6, sześciu poniżej zera. Zróbmy jeszcze jeden przykład, mniej typowy, ale sobie poradzicie. Niech będzie… Wybiorę tylko nowy kolor. Niech będzie: -4 odjąć 2. Już na początku mamy liczbę ujemną i od niej odejmujemy. Nie wpadajcie w panikę, tylko wyobraźcie sobie oś liczbową. Narysuję ją. Tu jest zero… a tu -1, -2… -3, -4… Tu zaczynamy. Ale mamy odjąć 2 od tej liczby. To wymaga dwóch ruchów w lewo. Odejmując 1 staniemy na -5… a po kolejnym ruchu będziemy na -6. Tu jest -6. Zróbmy coś ciekawego. Zacznijmy od -3. Zaczynamy od -3, ale tym razem zamiast odejmować, dodamy 2. Gdzie staniemy na osi? Zaczynamy od -3 i dodajemy, czyli przesuwamy się w prawo. Dodając 1 trafiamy na -2 a po kolejnym ruchu docieramy do -1. W sumie 2 ruchy w prawo. Zatem -3 dodać 2 równa się -1. Spójrzcie, jak to idealnie pasuje do zwykłego dodawania i odejmowania. Jeśli zaczniemy od -1 i odejmiemy 2, uzyskamy -3. To przeciwieństwo tego działania. -3 dodać 2 równa się -1 więc -1 odjąć 2 powinno dać -3. I daje. Jeśli zaczniemy od -1… i odejmiemy 2, czyli zrobimy 2 ruchy w lewo to wrócimy do -3. Mam nadzieję, że zaczęliście już rozumieć, jak postępować czyli dodawać i odejmować liczby ujemne. Zrobię jeszcze o tym kilka filmów. Pokażę, jak należy odejmować liczbę ujemną.