If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Wprowadzenie do łączności mnożenia

Przekonaj się, jak zmiana sposobu grupowania czynników w mnożeniu wpływa to na wynik.

Grupowanie liczb

Obrazek przedstawia start color #01a995, 3, end color #01a995 rzędy, w których znajdują się po start color #e07d10, 2, end color #e07d10 kropki. Możemy opisać ten zestaw kropek za pomocą wyrażenia start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10.
Poniższy obrazek przedstawia ten sam zestaw start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10 skopiowany start color #7854ab, 4, end color #7854ab razy.
Możemy opisać ten zestaw kropek za pomocą wyrażenia left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, right parenthesis, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab.
Jeśli policzymy kropki, razem otrzymamy 24.

Zmiana grupowania

Czy otrzymamy łącznie tyle samo jeśli zmienimy nawiasy tak, żeby liczby były pogrupowane w inny sposób?
Pogrupujmy liczby w taki sposób, żeby start color #e07d10, 2, end color #e07d10 i start color #7854ab, 4, end color #7854ab były razem: start color #01a995, 3, end color #01a995, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis.
Możemy narysować zestaw kropek, który zilustruje to wyrażenie. Zacznijmy od start color #e07d10, 2, end color #e07d10 rzędów zawierających po start color #7854ab, 4, end color #7854ab kropki. Ten zestaw przedstawia działanie start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab.
Teraz musimy skopiować ten zestaw start color #01a995, 3, end color #01a995 razy, żeby uzyskać ilustrację wyrażenia start color #01a995, 3, end color #01a995, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis.
Kiedy liczymy wszystkie kropki, okazuje się, że nadal mamy ich 24.
Zmiana sposobu grupowania nie zmienia końcowego wyniku!
left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, right parenthesis, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, equals, start color #01a995, 3, end color #01a995, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis

Własność łączności

Własność łączności to matematyczne prawo, które pozwala zmieniać sposób grupowania mnożonych liczb, pozostawiając przy tym końcowy wynik bez zmian.
Pogrupujmy liczby występujące w podanym iloczynie na dwa różne sposoby i pokażmy, że w obydwu przypadkach otrzymamy ten sam wynik.
5, times, 4, times, 2
Zacznijmy od pogrupowania razem liczb start color #11accd, 5, end color #11accd i start color #11accd, 4, end color #11accd . Możemy obliczyć wartość wyrażenia krok po kroku.
empty space, left parenthesis, start color #11accd, 5, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 2
equals, start color #11accd, 20, end color #11accd, times, 2
equals, 40
Teraz pogrupujmy razem liczby start color #7854ab, 4, end color #7854ab i start color #7854ab, 2, end color #7854ab.
empty space, 5, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis
equals, 5, times, start color #7854ab, 8, end color #7854ab
equals, 40
Dostaliśmy ten sam wynik, mimo że liczby zostały pogrupowane na dwa różne sposoby.
Wszystkie trzy wyrażenia są równe:
empty space, 5, times, 4, times, 2
equals, left parenthesis, start color #11accd, 5, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 2
equals, 5, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis

Spróbujmy rozwiązać kilka zadań

zadanie 1
Które wyrażenia są równe 6, times, 3, times, 4?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Spróbujmy teraz obliczyć wartość wyrażenia na dwa różne sposoby.
Zadanie 2
Uzupełnij brakujące informacje, żeby obliczyć wartość wyrażenia left parenthesis, start color #7854ab, 3, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis, times, 5, point
left parenthesis, start color #7854ab, 3, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis, times, 5space, equals, space
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
times, 5
empty spacespace, equals, space
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Teraz obliczymy wartość tego samego wyrażenia, ale z liczbami pogrupowanymi w inny sposób.
Zadanie 3
Uzupełnij brakujące informacje, żeby obliczyć wartość wyrażenia 3, times, left parenthesis, start color #1fab54, 2, times, 5, end color #1fab54, right parenthesis.
3, times, left parenthesis, start color #1fab54, 2, times, 5, end color #1fab54, right parenthesisspace, equals, space, 3, times
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
empty spacespace, equals, space
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

left parenthesis, start color #7854ab, 3, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis, times, 5, equals, 30 i
3, times, left parenthesis, start color #1fab54, 2, times, 5, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 30
Dostaliśmy ten sam wynik, mimo że liczby zostały pogrupowane na dwa różne sposoby.

Wyrażenia równoważne

Możemy wykorzystać własność łączności, żeby znajdować wyrażenia równoważne.
Zacznijmy od wyrażenia 2, times, 2, times, 5.
Możemy pogrupować liczby w tym wyrażeniu na dwa sposoby, otrzymując w obu przypadkach wyrażenia równoważne 2, times, 2, times, 5:
left parenthesis, start color #11accd, 2, times, 2, end color #11accd, right parenthesis, times, 5
2, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, times, 5, end color #e07d10, right parenthesis
Obliczając wartość każdego z tych wyrażeń krok po kroku, możemy znaleźć inne wyrażenia równoważne.
left parenthesis, start color #11accd, 2, times, 2, end color #11accd, right parenthesis, times, 5, equals, start color #11accd, 4, end color #11accd, times, 5
2, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, times, 5, end color #e07d10, right parenthesis, equals, 2, times, start color #e07d10, 10, end color #e07d10
Zatem nasze wyjściowe wyrażenie 2, times, 2, times, 5 jest również równoważne wyrażeniom 4, times, 5 i 2, times, 10.
Zadanie 4
Które wyrażenia są równoważne 8, times, 2, times, 4?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Po co zmieniać sposób grupowania?

Zmiana sposobu grupowania może sprawić, że mnożenie stanie się łatwiejsze.
Przyjrzyjmy się wyrażeniu 4, times, 4, times, 5.
Możemy pogrupować liczby w tym wyrażeniu na dwa sposoby:
left parenthesis, 4, times, 4, right parenthesis, times, 5
4, times, left parenthesis, 4, times, 5, right parenthesis
Obliczając krok po kroku wartość pierwszego wyrażenia, dostajemy: left parenthesis, start color #11accd, 4, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 5, equals, start color #11accd, 16, end color #11accd, times, 5
Obliczając krok po kroku wartość drugiego wyrażenia, dostajemy: 4, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 5, end color #7854ab, right parenthesis, equals, 4, times, start color #7854ab, 20, end color #7854ab
Wyznaczenie iloczynu 4, times, 20 może być łatwiejsze niż wyznaczenie iloczynu 16, times, 5.
Mimo że liczby zostały pogrupowane na dwa różne sposoby, wynik końcowy w obu przypadkach jest ten sam.
4, times, 20, equals, 80
16, times, 5, equals, 80

Spróbujmy rozwiązać zadanie

Zadanie 5
W jaki sposób możemy pogrupować liczby w wyrażeniu 2, times, 3, times, 9?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Zadanie 6
W jaki sposób powinniśmy pogrupować liczby, żeby otrzymać wynik, unikając przy tym mnożenia liczby dwucyfrowej?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź: