Suma wartości kątów wewnętrznych wielokąta

Wiemy już, że suma kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi 180 stopni. Jeśli to jest kąt A… to jest kąt B… a to kąt C… to A + B + C = 180 stopni. A jak to wygląda w innych wielokątach? Sprawdźmy, jaka jest ta suma w czworokącie. Niech będzie nieregularny, żeby pokazać, że tak samo jest w każdym czworokącie a nie tylko takim, który ma kąty proste i równoległe boki. Ten jest prawie trapezem, więc go poprawię. Niech będzie tak. Jeśli nie wiecie, jak to ugryźć, podpowiem że wiemy już, ile wynosi suma kątów w trójkącie. Podzielmy go więc na dwa trójkąty. Zaczynając od tego punktu poprowadzę linię. Podzieliłem czworokąt na dwa trójkąty. Jeśli to jest kąt A… to kąt B, a to kąt C… to A + B + C = 180. I jeśli to jest kąt X… to kąt Y, a to kąt Z… to X + Y + Z też równa się 180. Chcemy poznać sumę wszystkich tych kątów. Będzie ona równa: B + Z… to dwa z czterech kątów czworokąta… plus ten kąt… równy A + X… A + X to cały ten kąt. Jeden z kątów czworokąta. …plus ten kąt, równy C + Y. Wiemy, że suma kątów ABC to 180 stopni. A + B + C = 180 Oraz że suma kątów XYZ to 180 stopni. Więc plus 180, to się równa 360 stopni. Tak właśnie się to robi. Dzieli się wielokąt na trójkąty, a potem mnoży ich liczbę przez 180 bo w każdym z tych trójkątów suma kątów wynosi 180 stopni. Zróbmy jeszcze jeden wielokąt a potem spróbujemy wyprowadzić uniwersalny wzór. Narysuję nieregularny pięciokąt. Jeden bok… drugi… trzeci… czwarty… i piąty. Wygląda jak domek. Podzielmy ten pięciokąt na trójkąty. To będzie jeden… i drugi. Mamy więc 3 odrębne trójkąty, które całkowicie pokrywają pięciokąt. Jeden trójkąt… drugi trójkąt… i trzeci trójkąt. Wiemy, że w każdym z nich suma kątów wynosi 180 stopni. Wiemy też, że suma wszystkich tych kątów jest zarazem sumą kątów pięciokąta. Na pewno ten kąt jest kątem pięciokąta… i ten również. Ale gdy zsumuje się ten kąt i ten, też otrzyma się kąt wewnętrzny pięciokąta. Suma tych kątów da nam ten kąt. Zaś ostatni będzie sumą tych trzech kątów. Jeśli więc dodamy kąty wszystkich tych trójkątów obliczymy sumę kątów pięciokąta. Mamy trzy trójkąty, więc 3 * 180 stopni to się równa ile? 300 dodać 240, czyli 540 stopni. A teraz wyprowadźmy wzór. Zauważmy, że do wstawienia dwóch trójkątów potrzeba czterech boków. Tu wykorzystaliśmy wszystkie boki a w pięciokącie wykorzystaliśmy 4 z 5 boków. Jeden, drugi, trzeci i czwarty. 4 boki pozwalają wrysować 2 trójkąty. I wydaje się, że każdy dodatkowy bok pozwala wrysować kolejny trójkąt. Sprawdźmy to na sześciokącie. Zobaczmy, ile trójkątów w nim zmieszczę. Jeden bok… drugi… trzeci… czwarty… piąty… i szósty. Mogę wrysować jeden trójkąt… oparty na tych bokach sześciokąta. Kolejny trójkąt mogę oprzeć na tych bokach sześciokąta… I mogę narysować jeszcze dwa używając pozostałych boków. Jeden… i drugi. Wydaje się zatem, że… Oznaczmy liczbę boków literą S. Wielokąt o liczbie boków równej S. Przerobiliśmy już S równe 4, 5 i 6 więc możemy przyjąć ważność wzoru dla S > 4. Mamy zatem wielokąt o liczbie boków S i chcemy wiedzieć ile odrębnych trójkątów całkowicie go wypełni. Wtedy pomnożymy liczbę trójkątów przez 180 stopni aby otrzymać sumę kątów wewnętrznych. Określmy liczbę trójkątów jako funkcję zmiennej S, czyli liczby boków wielokąta. Jak ustaliliśmy, potrzeba 4 boków, by powstały pierwsze 2 trójkąty. Mamy 2 boki… i kolejne 2 boki. Na razie nie będę rysował reszty wielokąta. Możemy sobie wyobrazić, że zakrywa ją kartka czarnego papieru. To nie ma teraz znaczenia. Używając tych 2 boków mogę narysować jeden trójkąt a te 2 boki dają mi kolejny. 4 boki… są potrzebne… dla dwóch trójkątów. Bez względu na to, ile boków jest pod kartką… Użyłem czterech, ale może tu ich być całe mnóstwo. Narysuję coś ładniejszego. Tu naprawdę może być wszystko. …wydaje się, że każdy kolejny bok da mi kolejny trójkąt. Jeden tutaj… drugi tutaj… trzeci tutaj… czwarty tutaj… i piąty tutaj. To przykładowa, nieregularna figura o 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 bokach. Na pewno? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Tak, to dziesięciokąt. O 4 boki tego dziesięciokąta oparliśmy dwa trójkąty więc piszę 2 trójkąty z 4 boków a każdy z pozostałych 6 boków pozwolił stworzyć 1 trójkąt. 1, 2, 3, 4, 5… Nie wiem, czy dobrze policzyłem boki. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Chyba coś mi umknęło. Już widzę. Nie narysowałem jednej linii – tu są dwa boki. Otrzymałem w ten sposób kolejny trójkąt. Policzmy je: mamy te 2 z 4 boków oraz 6 kolejnych, każdy z 1 boku. 2 + 6 to w sumie 8 trójkątów. Możemy już wyprowadzić wzór. Pierwsze 4 boki dają 2 trójkąty… Zapiszę to: liczba trójkątów równa się 2… Wykorzystałem już 4 boki, a każdy z pozostałych da mi 1 trójkąt. Jest ich S minus 4. Zatem liczba trójkątów = 2 + ( S – 4 ) a 2+ ( S – 4 ) = S – 2. Jeśli więc mam wielokąt o liczbie boków S to mogę go podzielić na S – 2 odrębnych, całkowicie pokrywających go trójkątów. Wynika z tego, że wielokąt o liczbie boków S podzielony na S – 2 trójkątów ma sumę kątów równą ( S – 2 ) * 180 stopni. To bardzo przydatny wzór. Jeśli trafi się wam wielokąt o 102 bokach… S = 102 powiecie: OK, suma jego kątów wynosi (102 – 2) * 180 stopni czyli 100 * 180 stopni czyli 18 000 stopni. Tyle wynosi suma kątów wewnętrznych wielokąta o 102 bokach.