If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Dowód wzoru na pochodne ln(x) i eˣ

Oba dowody w jednym filmie, aby rozwiać błędne wyobrażenie, że pierwotny dowód był "okrężny". Stworzone przez: Sal Khan.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Transkrypcja filmu video

W pierwszej wersji prezentacji, w której dowodziłem, jaka jest pochodna z ln x, która z resztą była już kilka lat temu. I w następnej prezentacji dowodziłem, że pochodna e do x to e do x. Było mi zarzucane, że dowód był niepoprawny, chociaż moim zdaniem był dobry. Więc teraz to co chce zrobić, kiedy mamy już troszkę doświadczenia i troszkę bardziej wyrafinowane narzędzia, zrobię dowód jeszcze raz, obydwa w jednym video, i nie będę zakładał że znam odpowiedź, zanim ją udowodnię. Zacznijmy. Więc po pierwsze, udowodnię to. Wyjdziemy od dowodu tej równości. I nie zakładamy, że ją znamy. Więc udowodnijmy, jaka jest pochodna logarytmu naturalnego. Licząc pochodną ln x możemy po prostu zacząć ze zwykłą definicją pochodnej. Równa się ona granicy przy delta x dążącym do zera z ln (x plus delta x) - ln x. I to podzielić przez delta x. Teraz skorzystamy z własności logarytmu. Kiedy mam log a - log b, to to samo co log a/b Więc przepiszmy to w ten sposób. Więc to będzie równe granicy przy delta x dążącym do 0. Możemy napisać to 1/delta x przed logarytmem. 1/delta x razy ln x + delta x podzielone przez x. Korzystamy tutaj tylko z własności logarytmu. Teraz możemy to przepisać - po pierwsze, gdy mam współczynnik przed logarytmem, mogę go przenieść do potęgi. i mogę to upraszczać pod logarytmem. Więc to będzie równe granicy przy delta x dążącym do 0, z logarytmu naturalnego - napiszmy to innym kolorem Jakiś zupełnie nowy kolor. Logarytm naturalny z - tutaj w środku podzielmy to przez x. x/x = 1 dalej plus delta x / x Dalej mamy tutaj 1/ delta x siedzące tutaj, więc mogę przenieść to do wykładnika. To tylko kolejna własność logarytmu, . 1/delta x Teraz zrobię podstawienie. Pamiętaj, to wszystko, to korzystaliśmy tylko z definicji pochodnej. To wszystko jest równe pochodnej logarytmu naturalnego. Zaznaczam, że nie korzystaliśmy w żaden sposób z tego, co mamy udowodnić. Stałem się bardzo ostrożny o te oskarżenia o nieścisłość. Jest to moja wina, ponieważ pokazują, że to co mówiłem nie było wystarczająco jasne, więc spróbuję żeby teraz było wszystko jasne. Więc zobaczmy czy mogę to uprościć żebyśmy coś w tym rozpoznali. Zróbmy to podstawienie, to może dostaniemy tutaj e w postaci,którą znamy. Podstawmy 1/n za delta x / x. Gdy to wymnożymy, wyjdzie to samo. To jest równoważne. Jeżeli wymnożymy dwie strony, to delta x będzie równe x/n. To są równoważne równości. Po prostu wymnożyłem tutaj obydwie strony przez x. Teraz, kiedy weźmiemy granicę, przy n dążącym do nieskończoności, to będzie to równoważne tej granicy przy delta x dążącym do 0. Jeżeli definiujemy delta x jako to coś i bierzemy granicę, gdy mianownik dąży do nieskończoności, to delta x będzie dążyć do 0. Zróbmy to podstawienie. Więc to całe będzie równe granicy - teraz kiedy już pozbyliśmy się naszego delta x, granicy przy n dążącym do nieskończoności z logarytmu naturalnego z 1 plus - teraz zamiast delta x / x, mamy podstawienie i będzie to 1/n. Więc w logarytmie 1 + 1/n. I czym teraz będzie 1 / delta x? delta x równa się x/n, więc 1 / delta x będzie odwrócone. To będzie n/x. I teraz możemy przepisać to wyrażenie tutaj. Przepiszmy to. To będzie granicy przy n dążącym do nieskończoności z ln ( 1 + 1/n ). Możemy jeszcze rozdzielić to n od 1/x. Więc to będzie do potęgi n - tej, a to całe jeszcze do potęgi 1/x. To po prostu własności potęgowania. Jeżeli podniosę coś do potęgi n a potem jeszcze do 1/x, to jest to równoważne potędze n/x. Więc te dwa wyrażenia są równoważne. A teraz możemy skorzystać z własności logarytmu, bo jeżeli to jest wykładnik, to mogę to wyciągnąć jako współczynnik przed logarytm. Możemy to napisać tutaj. I pamiętajmy, że to całe to po prostu pochodna względem x z logarytmu naturalnego z x. Więc czemu to się równa? Możemy przenieść to 1/x na przód. Tak na prawdę, to x nie ma nic do n. To jest tak jakby stała. . Więc możemy to przenieść całkiem na przód. Możemy to napisać w dowolnym miejscu. Więc możemy powiedzieć 1/x razy to coś na fioletowo. Granica przy n dążącym do nieskończoności z logarytmu naturalnego z (1 + 1/n) do potęgi n - tej. ln z tego całego. Albo po prostu, żeby wszystko było jasne, możemy to przepisać weźmy kolor łososiowy, równe 1/x razy ln z granicy przy n dążącym do nieskończoności. Po prostu zamieniam tutaj miejsca, ponieważ nas obchodzi co się dzieje przy n dążącym do nieskończoności, w (1+1/n) do n - tej. Cóż, to już powinno wyglądać znajomo. Z pierwszego filmiku w którym mówiliśmy o e. To jest definicja e. e jest tak zdefiniowane. Chcę żeby to było jasne. Ciągle nie korzystamy z tego że teoretycznie znamy odpowiedź. Tylko widzimy tutaj definicję e, które jest zdefiniowane jako granica przy n dążącym do nieskończoności z (1 + 1/n) do n - tej. To po prostu definicja e. A ln jest zdefiniowany jako logarytm o takiej podstawie. Więc to będzie e. Więc dostajemy, że pochodna z ln x będzie równa 1/x razy logarytm naturalny to co będzie w logarytmie, to e. To jest po prostu definicja e. Nie korzystam z definicji pochodnej z e do x. Korzystam z definicji e. A definicja ln to logarytm o podstawie e. To znaczy potęga, do jakiej musisz podnieść e żeby dostać e. To się równa 1. I dostajemy, że pochodna z ln x równa się 1/x. Więc wydaje mi się że będziesz usatysfakcjonowany, że udowodniliśmy tę równość tutaj i w żadnym miejscu nie korzystaliśmy z tej równości tutaj. Skorzystaliśmy tylko z definicji e, ale to jest w porządku. Mam na myśli, założyliśmy, że znamy definicję e, nawet mimo tego że korzystamy z logarytmu naturalnego, wiemy że ma on podstawę e. Nie zakładałem że znam wynik zaczynając. Teraz, kiedy już mamy pochodną ln x i nie zakładaliśmy znajomości pochodnej e do x, zobaczmy czy umiemy ją pokazać. Więc pochodna - zróbmy tutaj trochę gimnastyki. Właściwie, mógłbym to zrobić tylko na marginesie. Policzmy pochodną tej funkcji. ln z e do x. Możemy to zrobić na dwa sposoby. Pierwszy - uprościć to i powiedzieć, że to to samo co taka pochodna. Możemy wyciągnąć ten x do przodu, będzie x razy logarytm naturalny z e. A co to ln e? ln e = 1 Więc to po prostu pochodna z x. A ta pochodna to 1. To było całkiem proste. Nie zakładaliśmy, że znamy tutaj odpowiedź. Po prostu to uprościliśmy do zwykłego x, ponieważ ln e = 1 A pochodna x to 1. Możemy to też zrobić inaczej. Skorzystać ze wzorku na pochodną złożenia. Możemy to widzieć jako pochodną funkcji wewnętrznej, czyli pochodną tego wyrażenie, której nie znamy. Nic o tym nie zakładamy. Po prostu nie wiemy ile powinno wyjść. Przepiszę to na żółto. Więc to będzie pochodna względem x z e do x. Nie wiemy ile to jest. Nie mamy nawet podejrzeń, nic o tym nie zakładamy. Po prostu korzystamy ze wzorku na pochodną złożenia. Pochodna funkcji wewnętrznej względem x, razy pochodna funkcji zewnętrznej, względem funkcji wewnętrznej. Więc pochodna z ln x względem x to 1/x. Analogicznie pochodna z ln z czegoś względem tego czegoś to będzie 1 przez to coś. Więc to będzie równe - pochodnej z ln e do x względem e do x będzie równe 1 przez e do x Jeszcze raz, nic nie zakładamy o wyniku. Jak na razie zakładaliśmy tylko pochodną logarytmu. Ale bez względu na metodę liczenia pochodnej, powinno wyjść to samo - 1. W drugi sposób to tak jakby nie rozwiązaliśmy tego. Mamy po prostu jakieś wyrażenie. Ale one muszę być sobie równe. Więc zapiszmy to. To musi być równe temu. Po prostu spojrzeliśmy na to z dwóch równych stron i dostaliśmy dwie odpowiedzi. Ale ciągle nie wiemy ile tutaj powinno wyjść. Zostawiliśmy to jako problem otwarty. Powiedzieliśmy, że jakakolwiek ta pochodna z e do x będzie, taka będzie. Ale wiemy, jako że te dwa wyrażenia są równe, że pochodna z e do x względem x, to jaka ona nie będzie, to wiemy, że gdy ją wymnożymy przez 1/ e do x - a to efekt wzorku na pochodną złożenia - to powinniśmy dostać wynik taki sam jak poprzednim sposobem. Powinno to być równe 1, ponieważ to po prostu różne sposoby na patrzenie na logarytm naturalny. Więc to będzie 1. Już prawie skończyliśmy. Możemy to uprościć i rozwiązać naszą zagadkę, jaka jest pochodna e do x. Wymnóżmy obydwie strony przez e do x, to dostaniemy, że pochodna e do x równa się e do x. I chcę żeby to było jasne. W żadnym punkcie dowodu nie zakładałem, że znam odpowiedź. Może to być nawet miejsce, gdzie pierwszy widzę tę odpowiedź. Nie musiałem tego zakładać gdy pokazywałem Ci, że pochodna z ln x to 1/x. I nic nie musiałem zakładać, żeby tego dowieść. Ten dowód już na pewno nie jest nieścisły. Nie bronię się tutaj, chcę po prostu żeby wszystko było teraz jasne. Ponieważ nie chcę w żaden sposób obwiniać tych, którzy uważają że mój dowód sprzed kilku lat był nieścisły. To moja wina, ponieważ dobrze tego nie wyjaśniłem. Mam nadzieję, że tym razem wszystko jest jasne i zrozumiałe.