Główna zawartość

Matematyka, klasa 12 (Indie)

Kurs: Matematyka, klasa 12 (Indie) > Rozdział 5

Lekcja 9: Reguła łańcuchowa, czyli wzór na pochodną funkcji złożonej

Reguła łańcuchowa - podsumowanie

Heurystyczne "wyprowadzenie" wzoru na pochodną funkcji złożonej.

Wprowadzenie

Jeśli mamy zadane dwie funkcje, f, left parenthesis, x, right parenthesis i g, left parenthesis, x, right parenthesis, na przykład f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, a g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, wiemy jak policzyć pochodną funkcji, która jest ich sumą:


Reguła:	start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
Przykład:	start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, x, squared, plus, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, 2, x, plus, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis

Umiemy także obliczyć pochodną iloczynu dwóch funkcji:


Reguła:	start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
Przykład:	start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, x, squared, dot, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x, squared, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, 2, x

Formuła, zwana regułą łańcuchową mówi nam, w jaki sposób obliczyć pochodną funkcji złożonej, to znaczy f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis:


Reguła:	start color #0c7f99, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #0c7f99
Przykład:	start color #0c7f99, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, squared, equals, 2, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #0c7f99

Heurystyczne, intuicyjne wyprowadzenie z lekkim algebraicznym oszukaństwem

Ostrzeżenie: Ten paragraf może wywołać silny ból głowy i nudności u osób wrażliwych na ścisłość rozumowania i notacji

Zazwyczaj zapisujemy funkcje i pochodne w odniesieniu do zmiennej x.

start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, equals, 2, x

Możemy oczywiście użyć innej litery na oznaczenie zmiennej niezależnej.

start fraction, d, divided by, d, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, right parenthesis, equals, 2, start color #11accd, a, end color #11accd

A co się stanie, jak zrobimy coś naprawdę szalonego i zastąpimy x przez nazwę funkcji zamiast przez literę.

start fraction, d, divided by, d, left parenthesis, start color #11accd, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, right parenthesis, end fraction, left parenthesis, start color #11accd, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, right parenthesis, squared, equals, 2, start color #11accd, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd

Nie jest wprawdzie całkiem jasne, co ten zapis start fraction, d, divided by, d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, end fraction miałby właściwie znaczyć, ale zapomnijmy o tym na chwilę. Możemy sobie wyobrazić, że mnożymy to przez start fraction, d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, divided by, d, x, end fraction aby "uprościć" wyraz d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis:

start fraction, d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, squared, divided by, start cancel, d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, end cancel, end fraction, dot, start fraction, start cancel, d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, end cancel, divided by, d, x, end fraction, equals, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, squared

Ściśle, matematycznie rzecz biorąc, nie można tak postąpić, poniewaź ani "d, x" ani "d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis" nie są liczbami ani funkcjami, więc nie możemy ich upraszczać. Całe to wyprowadzenie można zrobić ściśle, angażując bardziej zaawansowaną matematykę, więc na razie potraktujmy to, co zrobiliśmy jako przydatną mnemotechniczną sztuczkę. Ma to sens o tyle, że przepisaliśmy start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, squared w taki sposób, że znamy znaczenie każdego z wyrazów, nawet jeśli nie umiemy obliczyć pochodnej left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, squared:

\begin{array}{r} \frac{d}{d x} (\sin (x))^{2} = \underset{\begin{array}{c} Wyobraź sobie, że zamieniasz x na \sin (x) w \frac{d (x^{2})}{d x} \end{array}}{\underset{⏟}{\frac{d (\sin (x))^{2}}{d (\sin (x))}}} \cdot \underset{\begin{array}{c} Zwykła pochodna z \sin (x) \end{array}}{\underset{⏟}{\frac{d (\sin (x))}{d x}}} = 2 \sin (x) \cdot \cos (x) \end{array}

Ten wzór wygląda dużo bardziej naturalnie jeśli zapiszemy go w ogólnej formie, zamiast w szczególnym przypadku funkcji x, squared i sine, left parenthesis, x, right parenthesis:

start box, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, close bracket, equals, start fraction, d, f, divided by, d, g, end fraction, dot, start fraction, d, g, divided by, d, x, end fraction, end box

Przykład 1:

\begin{aligned} f(x) &= \sin(x^2) \quad \quad \small{\gray{\text{Funkcja, którą mamy zróżniczkować}}} \\ & \\ u(x) &= x^2 \quad \quad \small{\gray{\text{Definiujemy $u(x)$ jako funkcję wewnętrzną}}} \\ & \\ f(x) &= \sin(u) \quad \quad \small{\gray{\text{Wyrażamy $f(x)$ za pomocą $u(x)$}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{df}{du} \cdot \frac {du}{dx} \quad \quad \small{\gray{\text{Reguła łańcuchowa - wzór na pochodną funkcji złożonej}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{d}{du}\sin(u) \cdot\frac {d}{dx}(x^2) \quad \quad \small{\gray{\text{Podstawiamy $f(u)$ i $u(x)$ do wzoru}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \cos(u) \cdot 2x \quad \quad \small{\gray{\text{Obliczamy pochodne}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \cos(x^2)(2x) \quad \quad \small{\gray{\text{Podstawiamy za $u$ funkcję $x$.}}} \\ & \\ \end{aligned}

Przykład 2:

A teraz coś fajnego. Wzór na pochodną funkcji złożonej pozwoli nam policzyć pochodną funkcji vertical bar, x, vertical bar, którą możemy zdefiniować jako square root of, x, squared, end square root. Na przykład, vertical bar, minus, 5, vertical bar, equals, square root of, left parenthesis, minus, 5, right parenthesis, squared, end square root, equals, square root of, 25, end square root, equals, 5

\begin{aligned} f(x) &= \left|x\right| \quad \quad \small{\gray{\text{Funkcja, którą mamy zróżniczkować}}} \\ & \\ f(x) &= \sqrt{x^2} \quad \quad \small{\gray{\text{Równoważna definicja}}} \\ & \\ u(x) &= x^2 \quad \quad \small{\gray{\text{Definiujemy $u(x)$ jako funkcję wewnętrzną}}} \\ & \\ f(x) &= [u(x)]^\frac{1}{2} \quad \quad \small{\gray{\text{Wyrażamy $f(x)$ za pomocą $u(x)$}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{df}{du} \cdot \frac {du}{dx} \quad \quad \small{\gray{\text{Reguła łańcuchowa - wzór na pochodną funkcji złożonej}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{d}{du}u^\frac{1}{2} \cdot\frac {d}{dx}(x^2) \quad \quad \small{\gray{\text{Podstawiamy $f(u)$ i $u(x)$ do wzoru}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x \quad \quad \small{\gray{\text{Obliczamy pochodne stosując wzór na pochodną funkcji potęgowej}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{1}{2}\left(x^2\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x \quad \quad \small{\gray{\text{Podstawiamy za $u$ funkcję $x$}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{x}{\sqrt{x^2}} \quad \quad \small{\gray{\text{Upraszczamy}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{x}{\left|x\right|} \quad \quad \small{\gray{\text{Zapisujemy $\sqrt{x^2}$ jako wartość bezwzględną.}}} \\ & \\ \end{aligned}

Funkcje wielokrotnie złożone

Regułę łańcuchową można łatwo uogólnić na funkcje, złożone z wielu, a nie tylko dwóch funkcji. Na przykład, załóżmy że A, left parenthesis, x, right parenthesis, B, left parenthesis, x, right parenthesis, C, left parenthesis, x, right parenthesis oraz D, left parenthesis, x, right parenthesis są czterema różnymi funkcjami i zdefiniujmy f jako ich złożenie:

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, A, left parenthesis, B, left parenthesis, C, left parenthesis, D, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, right parenthesis, right parenthesis

Oznaczając pochodną przez start fraction, d, f, divided by, d, x, end fraction możemy zapisać pochodną tej funkcji złożonej jako:

start fraction, d, f, divided by, d, x, end fraction, equals, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, A, left parenthesis, B, left parenthesis, C, left parenthesis, D, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, right parenthesis, equals, start fraction, d, A, divided by, d, B, end fraction, dot, start fraction, d, B, divided by, d, C, end fraction, dot, start fraction, d, C, divided by, d, D, end fraction, dot, start fraction, d, D, divided by, d, x, end fraction

Używając dla pochodnej notacji f, prime, dostaniemy wyrażenie, które trochę przypomina leżącego bałwanka:

f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, A, prime, left parenthesis, B, left parenthesis, C, left parenthesis, D, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, right parenthesis, right parenthesis, dot, B, prime, left parenthesis, C, left parenthesis, D, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, right parenthesis, dot, C, prime, left parenthesis, D, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, dot, D, prime, left parenthesis, x, right parenthesis

Przykład 4:

Niech f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, e, start superscript, x, squared, plus, x, end superscript, right parenthesis.

O f można myśleć jako o funkcji złożonej z

\begin{aligned} A(x) &= \blueE{\sin(x)}\\ B(x) &= \greenE{e^x} \\ C(x) &= \redE{x^2 + x} \end{aligned}

Pochodne tych funkcji wynoszą

\begin{aligned} A'(x) &= \blueE{\cos(x)}\\ B'(x) &= \greenE{e^x} \\ C'(x) &= \redE{2x + 1} \end{aligned}

Korzystając z reguły łańcuchowej otrzymujemy wyrażenie na pochodną złożenia

\begin{aligned} f'(x) &= A'(B(C(x))) \cdot B'(C(x)) \cdot C'(x) \\ & \\ &= \boxed{\large \blueD{\cos}(e^{x^2 + x}) \cdot \greenD{e}^{x^2 + x} \cdot \redD{(2x + 1)}} \end{aligned}

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.