If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Reguła łańcuchowa, czyli wzór na pochodną funkcji złożonej

Wzór na pochodną funkcji złożonej pozwala nam obliczać pochodną złożenia funkcji. Przypomnij sobie wiedzę na temat różniczkowania funkcji złożonej i sprawdź, czy umiesz prawidłowo stosować odpowiedni wzór. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Wzór na pochodną funkcji złożonej (reguła łańcuchowa) mówi, że:
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, close bracket, equals, f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
Innymi słowy, mówi nam jak różniczkować funkcję złożoną.

Szybkie przypomnienie, co to są funkcje złożone

O funkcji mówimy, że jest złożona jeśli można ją zapisać w postaci f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis. Innymi słowy, jeśli jest to funkcja w funkcji, albo funkcja od funkcji.
Na przykład, funkcja start color #1fab54, cosine, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54 jest funkcją złożoną, ponieważ jeśli zdefiniujemy start color #1fab54, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54 oraz start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, end color #e07d10, to możemy przedstawić start color #1fab54, cosine, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54.
Funkcja start color #e07d10, g, end color #e07d10 jest funkcją wewnątrz funkcji start color #1fab54, f, end color #1fab54, dlatego mówimy, że start color #e07d10, g, end color #e07d10 jest funkcją "wewnętrzną", a start color #1fab54, f, end color #1fab54 jest funkcją "zewnętrzną".
start color #1fab54, start underbrace, cosine, left parenthesis, space, start color #e07d10, start overbrace, x, squared, end overbrace, start superscript, start text, f, point, space, w, e, w, n, ę, t, r, z, n, a, end text, end superscript, space, end color #e07d10, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, f, point, space, z, e, w, n, ę, t, r, z, n, a, end text, end subscript, end color #1fab54
Natomiast funkcja cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, x, squared nie jest funkcją złożoną, ponieważ jest to iloczyn dwóch funkcji, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis oraz g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, ale żadna z nich nie działa wewnątrz drugiej.
zadanie 1
Czy g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, natural log, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis jest funkcją złożoną? Jeśli tak, określ funkcję "wewnętrzną" i funkcję "zewnętrzną"?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Często popełniany błąd: nieumiejętne rozpoznanie, czy funkcja jest funkcją złożoną, czy nie

W większości przypadków zastosowanie wzoru na pochodną funkcji złożonej jest jedyną metodą obliczenia pochodnej funkcji, która jest funkcją złożoną. Jeśli nie potrafimy rozpoznać, że funkcja jest funkcją złożoną i że do obliczenia jej pochodnej trzeba zastosować regułę łańcuchową, wynik, jaki otrzymamy, będzie błędny.
Z drugiej strony, próba zastosowania reguły łańcuchowej do obliczenia pochodnej funkcji, która nie jest funkcją złożoną również prowadzi do błędu.
Szczególnie w przypadku funkcji trygonometrycznych i logarytmicznych uczniowie często mylą złożenie funkcji, na przykład natural log, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, z iloczynem funkcji, na przykład natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.
Zadanie 2
Czy h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, squared, left parenthesis, x, right parenthesis jest funkcją złożoną? Jeśli tak, określ funkcję "wewnętrzną" i funkcję "zewnętrzną"?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz poćwiczyć? Zajrzyj tutaj.

Często popełniany błąd: błędna identyfikacja funkcji wewnętrznej i zewnętrznej

Nawet gdy uczniowie umieją prawidłowo rozpoznawać funkcje złożone, mogą nadal mieć problemy z prawidłową identyfikacją funkcji wewnętrznej i zewnętrznej. Taki błąd skutkuje nieprawidłowym obliczeniem pochodnej.
Na przykład, w przypadku funkcji złożonej cosine, squared, left parenthesis, x, right parenthesis, funkcją zewnętrzną jest funkcja x, squared, a funkcją wewnętrzną jest funkcja cosine, left parenthesis, x, right parenthesis. Uczniom dość często to się myli i uważają, że funkcją zewnętrzną w tym przykładzie jest cosine, left parenthesis, x, right parenthesis.

Przykład zastosowania wzoru na pochodną funkcji złożonej w praktyce

Zobaczmy, jak można zastosować wzór na pochodną funkcji złożonej do obliczenia pochodnej funkcji h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 5, minus, 6, x, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript. Zauważ, że h jest funkcją złożoną:
h(x)=( 56xf. wewnętrzna )5f. zewnętrznag(x)=56xfunkcja wewnętrznaf(x)=x5funkcja zewnętrzna\begin{aligned} h(x) &= \greenD{\underbrace{(~\goldD{\overbrace{5-6x}^{\text{f. wewnętrzna}}~})^5}_{\text{f. zewnętrzna}}} \\\\ \goldD{g(x)}&=\goldD{5-6x} &&\text{funkcja wewnętrzna} \\\\ \greenD{f(x)}&=\greenD{x^5}&&\text{funkcja zewnętrzna} \end{aligned}
Skoro h jest funkcją złożoną, możemy skorzystać ze wzoru na różniczkowanie funkcji złożonych (reguły łańcuchowej):
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54, close bracket, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c
Wyrażając ten wzór słowami, powiemy że pochodna funkcji złożonej równa się pochodnej funkcji zewnętrznej start color #11accd, f, prime, end color #11accd dla wartości argumentu, równej start color #e07d10, g, end color #e07d10 , razy pochodna funkcji wewnętrznej start color #ca337c, g, prime, end color #ca337c.
Przed zastosowaniem reguły łańcuchowej obliczcie sami pochodną funkcji zewnętrznej i funkcji wewnętrznej.
g(x)=6f(x)=5x4\begin{aligned} \maroonD{g'(x)}&=\maroonD{-6} \\\\ \blueD{f'(x)}&=\blueD{5x^4} \end{aligned}
Teraz możemy zastosować regułę łąńcuchową:
ddx[f(g(x))]=f(g(x))g(x)=5(56x)46=30(56x)4\begin{aligned} &\dfrac{d}{dx}\left[f\Bigl(g(x)\Bigr)\right] \\\\ =&\blueD{f'\Bigl(\goldD{g(x)}\Bigr)}\cdot\maroonD{g'(x)} \\\\ =&\blueD{5(\goldD{5-6x})^4} \cdot \maroonD{-6} \\\\ =&-30(5-6x)^4 \end{aligned}

Poćwicz zastosowanie reguły łańcuchowej

Zadanie 3.A
W zadaniu 3 przejdziesz wszystkie kroki konieczne do obliczenia pochodnej funkcji sine, left parenthesis, 2, x, cubed, minus, 4, x, right parenthesis.
Określ funkcję wewnętrzną i zewnętrzną w przypadku funkcji sine, left parenthesis, 2, x, cubed, minus, 4, x, right parenthesis?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Zadanie 4
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, square root of, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end square root, close bracket, equals, question mark
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz poćwiczyć? Zajrzyj do tego ćwiczenia.
Zadanie 5
xf, left parenthesis, x, right parenthesish, left parenthesis, x, right parenthesisf, prime, left parenthesis, x, right parenthesish, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 19minus, 1minus, 5minus, 6
23minus, 116
G, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
G, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Chcesz rozwiązać więcej przykładów? Zajrzyj do tego ćwiczenia.
Zadanie 6
Kasia próbowała policzyć pochodną left parenthesis, 2, x, squared, minus, 4, right parenthesis, cubed. Jej rozwiązanie wygląda następująco:
Krok 1: Niech start color #1fab54, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, end color #1fab54 i start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, a zatem start color #1fab54, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, cubed, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54.
Krok 2: start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared, end color #11accd
Krok 3: Pochodna wynosi start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd:
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #1fab54, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, cubed, end color #1fab54, close bracket, equals, start color #11accd, 3, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, squared, end color #11accd
Czy Kasia policzyła dobrze? A jeśli nie, to na czym polega jej błąd?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Często spotykany błąd: zapominanie o pomnożeniu przez pochodną funkcji wewnętrznej

Typowy błąd, jaki często popełniają uczniowie, polega na zróżniczkowaniu wyłącznie funkcji zewnętrznej i zapisaniu wyniku w postaci f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, podczas gdy poprawny wzór ma postać f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis.

Inny często popełniany błąd: obliczanief, prime, left parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis

Innym częstym błędem jest obliczenie pochodnej f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis jako złożenia pochodnych, czyli f, prime, left parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.
Ten wzór jest także nieprawidłowy. Argumentem f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis powinna być funkcja g, left parenthesis, x, right parenthesis, a nie jej pochodna g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis.
Zapamiętaj: Pochodna start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54 wynosi start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c. Nie start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd i nie start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd.