Wprowadzenie do równań różniczkowych — film z polskimi napisami

Zapoznajmy się z pojęciem równania różniczkowego. Zobaczymy, że równania różniczkowe są bardzo przydatne w modelowaniu i symulacjach zjawisk i zrozumieniu jak one działają. Ale do tego dojdziemy później. Teraz zastanówmy się czym równanie różniczkowe właściwie jest Jeśli napisałbym, przykładowe równanie różniczkowe druga pochodna y dodać 2 razy pierwsza pochodna y jest równa 3 razy y, to tutaj to równanie różniczkowe. Moglibyśmy to zapisać inaczej: y może być funkcją od x, możemy to zapisać w postaci funkcji. Druga pochodna naszej funkcji od x, dodać 2 razy pierwsza pochodna naszej funkcji jest równa trzykrotności naszej funkcji. Lub gdybyśmy użyli notacji Leibniza, też moglibyśmy napisać, że druga pochodna y po x-ie dodać 2 razy pierwsza pochodna y po x, jest równa 3 razy y. Wszystkie trzy równania, tak naprawdę reprezentują tę samą rzecz, mówią: "Ok, czy mogę znaleźć funkcję, której druga pochodna dodać 2 razy pierwsza pochodna jest równa trzykrotności tej funkcji?" Żeby to było jasne, one wszystkie zasadniczo mówią to samo. I mogłeś już załapać, z tego jak to opisałem, że rozwiązaniem równania różniczkowego jest funkcja, albo klasa funkcji. To nie jest wartość, albo zbiór wartości. Zatem rozwiązaniem tutaj, rozwiązaniem równania różniczkowego jest funkcja, albo zbiór funkcji, albo klasa funkcji. Warto zaznaczyć ten kontrast z tradycyjnym równaniem. Więc pozwól, że to zapiszę. Tradycyjne równanie, może nie powinienem mówić tradycyjne, równania różniczkowe są już od jakiegoś czasu. Pozwól, że zapiszę to może jako algebraiczne równanie które już znasz. Algebraiczne równanie może wyglądać tak. Napiszę proste kwadratowe. Powiedzmy, że x do kwadratu dodać 3 x dodać 2 jest równe 0. Rozwiązaniem tego algebraicznego równania będą liczby, lub zbiór liczb. Możemy je rozwiązać, to będzie x dodać 2 razy x dodać 1 będzie równe 0 . Czyli x może być równy -2 albo x może być równy -1. Rozwiązaniem tutaj są liczby, lub zbiór liczb które spełniają równanie. Tutaj mamy związek między funkcją, a jej pochodnymi. A rozwiązaniami lub rozwiązaniem będzie funkcja albo zbiór funkcji. Zróbmy to trochę bardziej namacalne. Jak by rozwiązanie do, któregoś z tych trzech, które tak naprawdę reprezentują to samo, jak by takie rozwiązanie mogło wyglądać? Właściwie pozwól, że to trochę przesunę. Trochę to przesunę. Żebyśmy mogli zobaczyć jak te rozwiązania mogą wyglądać. Pozwól, że trochę to zmażę. To coś co mam tutaj. Zatem podam wam tutaj przykładowe rozwiązania. Sprawdzimy, że to rzeczywiście są rozwiązania tego tak naprawdę jednego równania różniczkowego zapisanego na trzy sposoby. Ale, mam nadzieję, że docenicie to jak wygląda rozwiązanie równania różniczkowego. I że często jest więcej niż jedno. Jest cała klasa funkcji, które mogą być rozwiązaniami. Więc jedno rozwiązanie do tego równania różniczkowego, i napiszę je jako nasze pierwsze. Więc pierwsze rozwiązanie, oznaczę je jako y 1. A nawet mogę oznaczyć ja jako y 1 od x żeby podkreślić, że jest to funkcja od x. Jednym z rozwiązań jest y 1 od x równe e do minus 3 x. I zachęcam Cię do zapauzowania tego filmu i znalezienia pierwszej pochodnej y 1 i drugiej pochodnej y 1 i sprawdzenia, że rzeczywiście spełnia to równanie różniczkowe. Więc zakładam, że już spróbowałeś. Zróbmy to razem. To jest y 1. Więc pierwsza pochodna y 1, musimy skorzystać z reguły łańcuchowej, pochodna minus 3 x po x to minus 3. Pochodna e do minus 3 x od minus 3 x to e do minus 3 x. A jeśli weźmiemy drugą pochodną y 1, to będzie równe dokładnie w ten sam sposób pochodna tego to 3 razy -3 czyli 9 e do -3 x. A teraz możemy po prostu podstawić te wyrażenia do równania różniczkowego, żeby sprawdzić czy to rzeczywiście będzie prawda dla tej funkcji. Więc sprawdźmy. Najpierw mamy drugą pochodną y. To jest to wyrażenie tutaj. Czyli mamy 9 e do -3 x dodać 2 razy pierwsza pochodna. To będzie 2 razy to tutaj. Czyli to będzie -6 napiszę tylko dodać -6 e do -3 x. Zauważ, że właśnie wziąłem 2 razy pierwszą pochodną. 2 razy pierwsza pochodna. To będzie równe, albo musi być równe, jeśli to ma spełniać jeśli rzeczywiście to ma spełniać równanie różniczkowe, musi być równe 3 razy y. Cóż, 3 razy y to 3 razy e do -3 x. 3 e do -3 x. Sprawdźmy czy to rzeczywiście prawda. Te dwa wyrażenia tutaj, 9 e do -3 x, zasadniczo - 6 e do -3 x, będą równe 3 e do -3x. Co jest rzeczywiście równe 3 e do -3 x. Więc y 1 rzeczywiście jest rozwiązaniem tego równania różniczkowego. Ale jak zaraz zobaczymy, nie jest jedynym rozwiązaniem tego równania różniczkowego. Na przykład, niech y 2 będzie równe e do x To też jest rozwiązaniem tego równania różniczkowego. I zachęcam Cię do zapauzowania ponownie i sprawdzenia czy to jest rozwiązanie. Zakładając, że spróbowałeś, pierwsza pochodna jest dosyć prosta, to e do x. Druga pochodna, jedna z podstawowych własności funkcji wykładniczej, druga pochodna to także e do x. Zatem druga pochodna, pozwól że zrobię to tymi samymi kolorami. Więc druga pochodna to będzie e do x. dodać 2 razy e do x... to rzeczywiście będzie równe 3 razy e do x. To będzie całkowita prawda. e do x dodać 2 e do x to jest 3 e do x Czyli y 2 to też rozwiązanie tego równania różniczkowego. To jest początek. W następnych kilku filmach, dowiemy się więcej. Zaczniemy widzieć jak takie rozwiązania wyglądają, jakie są klasy rozwiązań jakie są techniki do ich rozwiązywania, rysowania rozwiązań do równań różniczkowych i cały zestaw narzędzi, żeby się w to wgłębić.