Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Metoda rozdzielenia zmiennych jest często spotykanym sposobem zapisania równania różniczkowego w postaci, która umożliwia jego rozwiązanie. Zobaczmy jak to działa na przykładzie równania ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{2x}{3y^2}}$‍:

W $(2)$‍ i $(3)$‍ wierszu zapisaliśmy wyjściowe równanie z wiersza $(1)$‍ w taki sposób: $f(y)dy=g(x)dx$‍. Innymi słowy, rozdzieliliśmy $x$‍ i $y$‍ tak, że po jednej stronie równania występowała tylko jedna zmienna, włączając w to także $dx$‍ i $dy$‍, które razem tworzyly symbol ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$‍. To właśnie dlatego ten sposób nazywamy "metodą rozdzielenia zmiennych."

W wierszu $(4)$‍ wzięliśmy całki nieoznaczone z obu stron równania. Zasada jest taka, że o ile $f(y)dy$‍ równa się $g(x)dx$‍, to całki nieoznaczone z obu stron także muszą być równe.

W wierszach $(5)$‍ oraz $(6)$‍ wykonaliśmy te całki, po $y$‍ (po lewej stronie równania) i po $x$‍ (z prawej strony równania) i wyznaczyliśmy $y$‍.

Stałą całkowania $C$‍ uwzględniliśmy tylko po prawej stronie tego równania. Uwzględnianie stałej całkowania po obu stronach nie jest konieczne, zawsze można jedną z tych stałych przenieść na drugą stronę, tak że rozwiązanie zależy tylko od jednej stałej całkowania.

A zatem, ogólne rozwiązanie równania ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{2x}{3y^2}}$‍ ma postać funkcji $y=\sqrt[3]{\phantom{A}{x}^2+C}$‍. Podstaw teraz tak zdefiniowane $y$‍ do tego równania i sprawdź, że rzeczywiście jest rozwiązaniem.

Spoglądając na nasze rozwiązanie, przekonasz się że to właśnie rozdzielenie zmiennych w wierszach $(2)$‍ i $(3)$‍ pozwoliło nam wykonać całkowanie i przejść do równania bez pierwszej pochodnej.