Rozpoznawanie równań separowalnych

Aby móc rozwiązać równanie różniczkowe metodą rozdzielenia zmiennych, musimy być w stanie zapisać je w postaci $f(y)dy=g(x)dx$‍, gdzie $f(y)$‍ jest wyrażeniem niezależnym od $x$‍, a $g(x)$‍ jest wyrażeniem niezależnym od $y$‍.

Nie każde równanie różniczkowe można zapisać w tej postaci. Na przykład, równania ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=x+y$‍ nie można sprowadzić do postaci $f(y)dy=g(x)dx$‍, niezależnie od tego jak długo byśmy próbowali.

Najtrudniejszym aspektem metody rozdzielenia zmiennych jest sprawdzenie, czy metodę tę można rzeczywiście zastosować. Równania różniczkowe, które udaje się rozwiązać tą metodą noszą nazwę równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych.

A więc, jak można sprawdzić, czy dane równanie różniczkowe jest równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych? Nie ma uniwersalnej reguły, ale warto sprawdzić najprostsze przypadki. Najczęściej spotykanym równaniem o zmiennych rozdzielonych jest równanie, w którym ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$‍ równa się iloczynowi lub ilorazowi dwóch funkcji $f(y)$‍ oraz $g(x)$‍.

Na przykład, równanie ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{g(x)}{f(y)}}$‍ formalnie można, po pomnożeniu przez $f(y)$‍ i $dx$‍, zapisać w postaci $f(y)dy=g(x)dx$‍.

Podobnie, równanie ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=f(y)g(x)$‍ można formalnie zapisać w postaci ${\displaystyle \frac{1}{f(y)}}dy=g(x)dx$‍, jeśli podzielimy je prze $f(y)$‍ i pomnożymy przez $dx$‍.

Oto jeszcze kilka przykładów:

Czasem trzeba odpowiednio przekształcić równanie, zanim będzie można zapisać je w postaci ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=f(y)g(x)$‍. Na przykład, prawą stronę równania ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=xy-7x$‍ trzeba najpierw przekształcić do postaci iloczynu dwóch czynników: