Główna zawartość
Rachunek całkowy
Kurs: Rachunek całkowy > Rozdział 3
Lekcja 3: Wybrane zastosowania rachunku całkowegoZadania o całkach oznaczonych
Interpretacja całek oznaczonych jako nagromadzenia wielkości, której tempo zmian zadane jest przez funkcję podcałkową jest całkiem przydatna do rozwiązywania różnych, z życia wziętych zadań. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Zagadnienia dotyczące nagromadzenia (lub zmiany netto) to zadania tekstowe, w których tempo zmian pewnej wielkości jest dane, a naszym zadaniem jest znalezienie wartości skumulowanej w określonym czasie wielkości. Takie zadania rozwiązujemy przy użyciu całek oznaczonych. Zobaczmy, jak to się robi.
Zadania dotyczące nagromadzenia rozwiązujemy za pomocą całek oznaczonych
Przypuśćmy, że otrzymaliśmy następującą informację:
Temperatura zupy rośnie w tempiestopni Celsjusza na minutę ( oznacza czas w minutach). W chwili zupa ma temperaturę stopni Celsjusza.
Naszym zadaniem jest wyznaczenie wzrostu temperatury pomiędzy a minut. Jest zadanie tekstowe dotyczące nagromadzenia (lub zmiany netto). W zadaniach tego typu znamy funkcję opisującą tempo zmian pewnej wielkości i jesteśmy proszeni o wyznaczenie zmiany tej wielkości w określonym przedziale czasu.
Dla dowolnej wielkości, której tempo zmian opisuje funkcja , całka oznaczona opisuje wartość zmiany tej wielkości pomiędzy a .
W naszym przypadku wartość, o jaką wzrosła temperatura pomiędzy a minut jest dana przez .
Teraz wyobraźmy sobie, że zapytano nas jaka jest temperatura zupy w chwili minut? Zwróć uwagę, że nie zajmujemy się już zmianą, ale rzeczywistą wartością. Ale bez obaw, tutaj też pomogą nam całki oznaczone! Wszystko, co musimy zrobić, to dodanie warunku początkowego.
Przypomnijmy, że temperatura zupy w chwili wynosiła stopnie Celsjusza. Dodając do tego zmianę temperatury pomiędzy a otrzymamy temperaturę w chwili :
Ponieważ obliczyliśmy już , możemy szybko obliczyć, że w chwili minut temperatura wody wynosi stopni Celsjusza. Jest wrząca!
Często popełniany błąd: Nieprawidłowe zastosowanie warunków początkowych
Niektóre zadania o nagromadzeniu danej wielkości wymagają znalezienia zmiany netto, a inne rzeczywistej wartości. Różnica polega na tym, że przy szukaniu rzeczywistej wartości musimy użyć warunków początkowych.
Typowym błędem byłoby branie pod uwagę warunków początkowych podczas wyznaczania zmiany netto lub ignorowanie ich przy szukaniu rzeczywistej wartości.
Często popełniany błąd: Różniczkowanie zamiast całkowania
Zadania tekstowe często pojawiają się zarówno w rachunku różniczkowym, jak i całkowym. Kiedy rozwiązujemy takie zadanie musimy podjąć decyzję, której z metod należy użyć do rozwiązania: różniczkowania czy całkowania. Podjęcie błędnej decyzji prowadzi oczywiście do nieprawidłowego wyniku.
Pochodnych używamy, kiedy znamy wielkość i jesteśmy pytani o tempo jej zmian, podczas gdy całki stosujemy kiedy znamy tempo zmian, a pytanie dotyczy wielkości.
Co jest dane? | Czego szukamy? | Z czego korzystamy? | |
---|---|---|---|
Rachunek różniczkowy | Ilość | Tempo zmian | Pochodna |
Rachunek całkowy | Tempo zmian | Ilość (lub zmiana ilości) | Całka |
Często popełniany błąd: Nieprawidłowy wybór przedziału całkowania
Jak mogliśmy się przekonać przed chwilą, wybór właściwego przedziału całkowania jest kluczowy w dotarciu do poprawnego wyniku. Upewnij się, że nie wybrałeś niewłaściwych krańców przedziału. Zwróć uwagę przede wszystkim na punkt początkowy, który często jest ignorowany.
Chcesz jeszcze poćwiczyć? Spróbuj rozwiązać to ćwiczenie.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji