Główna zawartość

Rachunek całkowy

Kurs: Rachunek całkowy > Rozdział 3

Lekcja 3: Wybrane zastosowania rachunku całkowego

Zadania o całkach oznaczonych

Interpretacja całek oznaczonych jako nagromadzenia wielkości, której tempo zmian zadane jest przez funkcję podcałkową jest całkiem przydatna do rozwiązywania różnych, z życia wziętych zadań. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Zagadnienia dotyczące nagromadzenia (lub zmiany netto) to zadania tekstowe, w których tempo zmian pewnej wielkości jest dane, a naszym zadaniem jest znalezienie wartości skumulowanej w określonym czasie wielkości. Takie zadania rozwiązujemy przy użyciu całek oznaczonych. Zobaczmy, jak to się robi.

Zadania dotyczące nagromadzenia rozwiązujemy za pomocą całek oznaczonych

Przypuśćmy, że otrzymaliśmy następującą informację:

Temperatura zupy rośnie w tempie $r (t) = 30 e^{- 0, 3 t}$ ‍ stopni Celsjusza na minutę ( $t$ ‍ oznacza czas w minutach). W chwili $t = 0$ ‍ zupa ma temperaturę $23$ ‍ stopni Celsjusza.

Naszym zadaniem jest wyznaczenie wzrostu temperatury pomiędzy $t = 0$ ‍ a $t = 5$ ‍ minut. Jest zadanie tekstowe dotyczące nagromadzenia (lub zmiany netto). W zadaniach tego typu znamy funkcję opisującą tempo zmian pewnej wielkości i jesteśmy proszeni o wyznaczenie zmiany tej wielkości w określonym przedziale czasu.

Dla dowolnej wielkości, której tempo zmian opisuje funkcja

r

, całka oznaczona

\int_{a}^{b} r (t) d t

opisuje wartość zmiany tej wielkości pomiędzy

t = a

t = b

W naszym przypadku wartość, o jaką wzrosła temperatura pomiędzy

t = 0

t = 5

minut jest dana przez

\int_{0}^{5} r (t) d t

\int_{0}^{5} r (t) d t \approx 77, 7

stopni Celsjusza

[Pokaż mi obliczenia.]

Teraz wyobraźmy sobie, że zapytano nas jaka jest temperatura zupy w chwili $t = 5$ ‍ minut? Zwróć uwagę, że nie zajmujemy się już zmianą, ale rzeczywistą wartością. Ale bez obaw, tutaj też pomogą nam całki oznaczone! Wszystko, co musimy zrobić, to dodanie warunku początkowego.

Przypomnijmy, że temperatura zupy w chwili

t = 0

wynosiła

23

stopnie Celsjusza. Dodając do tego zmianę temperatury pomiędzy

t = 0

t = 5

otrzymamy temperaturę w chwili

t = 5

\underset{temperatura w chwili t = 0}{\underset{⏟}{23}} + \overset{zmiana temperatury od t = 0 do t = 5}{\overset{⏞}{\int_{0}^{5} r (t) d t}}

Ponieważ obliczyliśmy już

\int_{0}^{5} r (t) d t

, możemy szybko obliczyć, że w chwili

t = 5

minut temperatura wody wynosi

23 + 77, 7 = 100, 7

stopni Celsjusza. Jest wrząca!

zadanie 1

Zastanów się nad następującym zadaniem:

Populacja miasta rośnie w tempie $r (t) = 300 \cdot e^{0, 3 t}$ ‍ osób rocznie (gdzie $t$ ‍ oznacza czas w latach). W chwili $t = 2$ ‍, populacja miasta wynosiła $1200$ ‍ osób. Jaka jest populacja miasta w chwili $t = 7$ ‍?

Którego wyrażenia możemy użyć do rozwiązania tego zadania?

Często popełniany błąd: Nieprawidłowe zastosowanie warunków początkowych

Niektóre zadania o nagromadzeniu danej wielkości wymagają znalezienia zmiany netto, a inne rzeczywistej wartości. Różnica polega na tym, że przy szukaniu rzeczywistej wartości musimy użyć warunków początkowych.

Typowym błędem byłoby branie pod uwagę warunków początkowych podczas wyznaczania zmiany netto lub ignorowanie ich przy szukaniu rzeczywistej wartości.

Często popełniany błąd: Różniczkowanie zamiast całkowania

Zadania tekstowe często pojawiają się zarówno w rachunku różniczkowym, jak i całkowym. Kiedy rozwiązujemy takie zadanie musimy podjąć decyzję, której z metod należy użyć do rozwiązania: różniczkowania czy całkowania. Podjęcie błędnej decyzji prowadzi oczywiście do nieprawidłowego wyniku.

Pochodnych używamy, kiedy znamy wielkość i jesteśmy pytani o tempo jej zmian, podczas gdy całki stosujemy kiedy znamy tempo zmian, a pytanie dotyczy wielkości.

	Co jest dane?	Czego szukamy?	Z czego korzystamy?
Rachunek różniczkowy	Ilość	Tempo zmian	Pochodna
Rachunek całkowy	Tempo zmian	Ilość (lub zmiana ilości)	Całka

Zadanie 2

Zastanów się nad następującym zadaniem:

Głębokość wody w zbiorniku zmienia się w tempie $r (t) = 0, 3 t$ ‍ centymetrów na minutę (gdzie $t$ ‍ oznacza czas w minutach). W chwili $t = 0$ ‍ głębokość wody to $35$ ‍ centymetrów. Jaka jest zmiana głębokości wody w czwartej minucie?

Którego wyrażenia możemy użyć do rozwiązania tego zadania?

Często popełniany błąd: Nieprawidłowy wybór przedziału całkowania

Jak mogliśmy się przekonać przed chwilą, wybór właściwego przedziału całkowania jest kluczowy w dotarciu do poprawnego wyniku. Upewnij się, że nie wybrałeś niewłaściwych krańców przedziału. Zwróć uwagę przede wszystkim na punkt początkowy, który często jest ignorowany.

Chcesz jeszcze poćwiczyć? Spróbuj rozwiązać to ćwiczenie.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.