If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:7:28

Transkrypcja filmu video

To co tutaj mamy to wykres y równa sie cosx. To co chcę zrobić to znaleźć pole obszaru znjdującego się pod krzywą y równa sie f(x) i powyżej osi x. Zamierzam tego dokonać na rozmaitych przedziałach. Na początek zatem rozważmy obszar pod krzywą, na odcinku od x=0 do x równego pi/2. A więc mówimy o tym obszarze tutaj. Cóż, pole tego obszaru zapisujemy jako całkę określoną w granicach od 0 do pi/2 z cosx dx. I pamiętajcie, wszystko to, to pewnego rodzaju, to przypomina branie sum mnóstwa super cienkich prostokatów o szerokości dx i wysokości f(x) dla każdego z tych prostokątów. I wtedy bierzemy nieskończoną liczbę tych nieskończenie cienkich prostokątów. I to jest dokładnie to, co ten zapis próbuje zobrazować. Ale my już wiemy jak to robić. Pomoże nam treść drugiego podstawowego twierdzenae rachunku różniczkowego. Musimy jedynie znaleźć funkcje pierwotną funkcji cos(x). Czy tak naprawdę znaleźć ją z dokładnością do stałej. Policzyć jej wartość w pi/2 po czym odjąć od tejże wartość funkcji pierwotnej w 0. Zatem czym jest funkcja pierwotna cosx? Tj. z dokładnością do stałej? Cóż, wiemy, że jeśli weźmiemy pochodną-- pozwólcie, że napiszę to tutaj u góry. Wiemy, że jeśli weźmiemy pochodną funkcji sinx, to dostaniemy cosx. Zatem funkcją pierwotną cosx jest sinx. Teraz, dlaczego powtarzam, że sinx jest funkcją pierwotną jedynie z dokładnością do stałej? To nie jest po prostu funkcja pierwotna. Cóż, mógłbym także wziąć pochodną sinx plus dowolna stała i wciąż dostałbym cosx. Ponieważ pochodna stałej wynosi zero. To mogłoby być pi, to mogłoby być 5, to mogłoby być milion, to mogłoby być 10 do potęgi setnej, to mogłaby być dowolnie zwariowana liczba. A pochodna tego i tak będzię równa cosx. Zatem jeśli mówię, że musimy znaleźć funkcję pierwotną, to oznacza to, spójrzcie, wystarczy znaleźć ją z dokładnością do stałej. Sinx jest być może najłatwiejszy, bo w jego przypadku stała jest równa 0. Zatem policzmy. A więc jeden sposób aby to zapisać, funkcja pierwotna dla cosx, lub funkcja pierwotna dla cosx z dokładnością do stałej jest równa sinx. I będziemy liczyć wartość funkcji w pi/2. Po czym odejmiemy od niej wartość w zerze. Zatem to to będzie sięrównało-- pozwócie żepolicze to tutaj. To będzie równe sin(pi/2) minus sin0, a to się równa sin(pi/2) czyli 1. Sin0 równa sie 0. A więc 1 minus 0 równa się 1. Zatem pole powierzchni tego obszaru tutaj, to pole wynosi 1. Teraz zróbmy coś ciekawszego. Pomyślmy o obszarze. Rozważmy obszar pod krzywą na przedziale powiedzmy pi/2 i 3pi/2. A więc między tym a tym punktem. A więc mówimy o tym obszarze. Mówimy dokładnie o tym obszarze tutaj. To jest 3pi/2. No więc jeszcze raz, opisujemy pole obszaru jako całkę określoną od pi/ 2 do 3pi/2 z funkcji cosx. Funkcja pierwotna-- albo funkcja pierwotna z dokładnością do stałej dla cosx to cosx. Obliczony w punkcie 3pi/2 i pi/2. Tak więc to będzie równe sin3pi/2 minus sinpi/2. Ile wynosi sin3pi/2? Jeśli szybko wyobrazimy sobie okrąg jednastkowy, wtedy widać, że 3pi/2, to jak przemierzyć 3/4 długości tego okręgu. A więc to wypada w tym miejscu. Zatem sin jest współrzędną y-kową na tym okręgu jednostkowym. Zatem to będzie -1. Czyli to tutaj to bedzie -1. To tutaj, sinpi/2 będzie wyglądał dokladnie tak. Zatem sinpi/2 wynosi 1. A to ciekawe. Dostajemy -1 minus 1, co daje -2. Tak więc otrzymaliśmy ujemne pole obszaru. Dostaliśmy ujemną wartość pola. No więc jaki to ma sens? Wiemy przecież, że w prawdziwym świecie pola mają zawsze nieujemne wartości. Ale na co tak naprawdę wskazuje -2? Cóż, -2 "oznakowuje" pole na podstawie tego, że w końcu nasza funkcja spada poniżej osi x. Czyli moglibyśmy o tym myśleć w ten sposób, że pole obszaru jest 2, ale cały obszar leży w tym przypadku poniżej osi x. A więc jest oznaczone jako -2. Faktyczne pole obszaru wynosi 2, ale ponieważ leży poniżej osi x dostajemy minus dokładnie w tym miejscu. Teraz zróbmy przypadek bardziej interesujący. Znajdźmy cłkę określoną od 0 do 3pi/2 z cosx dx. To jest tylko oznaczenie pola tego całego obszaru. Przechodząc od 0 aż do 3pi/2. I jak myślicie co sie stanie? Cóż, policzmy to. To będzie sin3pi/2 minus sin0. Co się równa 1 minus 0 a więc -1. Co się więc właśnie stało? Pole obszaru poniżej, całego tego pomarańczowego obszaru, który własnie zakreskowałem, jest w oczywisty sposób nieujemne, czy też pole żadnego obszaru nie może być liczbą ujemną. A pole obszaru nie jest nawet 1. Co zatem tutaj zaszło? Cóż, policzyliśmy w pierwszym rozważanym przypadku, że to pierwsze pole wynosi 1. Pole tej pierwszej części wynosi 1. A jako pole drugiej części obszaru otrzymaliśmy -2. Jeden sposób interpretacji powyższego jest taki, że pole naszego obszaru netto powyżej osi x wynosi -1, albo inaczej, nasze pole netto wynosi -1. Metoda jest, aby wziąć pierwszą część obszaru (tę powyżej osi x) i odjąć od niej drugą część (tę poniżej osi x). Zatem to, co ta całka określona robi kiedy liczymy ją korzystając z drugiego podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego, to zasadniczo znajduje obszar netto powyżej osi x. I jeśli dostajemy ujemną liczbą, to oznacza, że obszar nettojest-- że istatnie większość naszego obszaru znajduje się poniżej osi x. Jeśli dostajemy 0, to oznacza, że wszystko się skróciło. Jeśli chcecie zobaczyc przykład, gdzie dostajemy zero, rozważcie całkę od 0 do 2pi. Tutaj wyjdzie zero, bowiem mamy obszar o polu 1 oraz drugi obszar także o polu równym 1, ale to wszystko skróci się z polem obszaru policzonego wcześniej równego -2. Wypróbujmy to. Więc jeśli całkujemy od 0 do 2pi funkcje cosx dx, to to jest równe sin2pi minus sin0 czyli0 mimus 0, a więc 0. To jest jasne, że mieliśmy obszar tutaj, ale cały obszar, który znajdował sie powyżej osi x "zjadł się" z obszarem, który tymczasem znajdował się poniżej osi x.