Główna zawartość

Rachunek całkowy

Kurs: Rachunek całkowy > Rozdział 1

Lekcja 17: Całkowanie przez części

Przypomnienie wiadomości o całkowaniu przez części

Przypomnij sobie, co wiesz o całkowaniu przez części. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości, dzięki wsparciu Fundacji PKO Banku Polskiego.

Co to jest całkowanie przez części?

Całkowanie przez części to metoda obliczania całek z iloczynu dwóch funkcji:

\int u (x) v^{'} (x) d x = u (x) v (x) - \int u^{'} (x) v (x) d x

lub w bardziej zwięzłej formie:

\int u d v = u v - \int v d u

Możemy skorzystać z tej metody, odwrotnej do metody „różniczkowania iloczynu funkcji”, jeśli jednym z czynników w iloczynie jest pochodna jakieś funkcji.

Chcesz dowiedzieć się więcej o całkowaniu przez części? Obejrzyj ten film.

Zestaw ćwiczeń 1: Całkowanie przez części całek nieoznaczonych

Obliczmy, na przykład, całkę nieoznaczoną

\int x \cos x d x

. Aby to zrobić, podstawmy

u = x

d v = \cos (x) d x

\int x \cos (x) d x = \int u d v

u = x

oznacza, że

d u = d x

d v = \cos (x) d x

oznacza, że

v = \sin (x)

A teraz całkujemy przez części!

\begin{aligned} \int x \cos (x) d x & = \int u d v \\ = u v - \int v d u \\ = x \sin (x) - \int \sin (x) d x \\ = x \sin (x) + \cos (x) + C \end{aligned}

Pamiętaj, że zawsze możesz sprawdzić swój wynik całkowania różniczkując go!

Zadanie 1.1

\int x e^{5 x} d x = ?

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Zestaw ćwiczeń 2: Całkowanie przez części całek oznaczonych

Obliczmy, na przykład, całkę oznaczoną

\int_{0}^{5} x e^{- x} d x

. Aby to zrobić, podstawmy

u = x

d v = e^{- x} d x

u = x

oznacza, że

d u = d x

d v = e^{- x} d x

oznacza, że

v = - e^{- x}

A teraz całkujemy przez części:

\begin{aligned} \int_{0}^{5} x e^{- x} d x \\ = \int_{0}^{5} u d v \\ = [u v]_{0}^{5} - \int_{0}^{5} v d u \\ = [- x e^{- x}]_{0}^{5} - \int_{0}^{5} - e^{- x} d x \\ = [- x e^{- x} - e^{- x}]_{0}^{5} \\ = [- e^{- x} (x + 1)]_{0}^{5} \\ = - e^{- 5} (6) + e^{0} (1) \\ = - 6 e^{- 5} + 1 \end{aligned}

Zadanie 2.1

\int_{1}^{e} x^{3} \ln x d x = ?

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.