Całkowanie funkcji potęgowych (artykuł)

Jak obliczyć całkę z potęgi $x$ ‍?

Reguła (odwrotna do różniczkowania potęgi) pozwala nam obliczyć całkę z

x^{n}

gdzie

n \neq - 1

\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C

Najprościej mówiąc, zwiększamy potęgę o jeden i potem dzielimy całość przez wykładnik potęgi

+ 1

Pamiętaj, że ta reguła nie działa dla

n = - 1

Zamiast zapamiętywać wzór, warto pamiętać, że możemy go szybko wyprowadzić stosując wzór na pochodną potęgi.

Chcesz dowiedzieć się więcej o całkach z potęgi $x$ ‍? Obejrzyj ten film.

Możemy skorzystać z reguły całkowania potęgi

x

, aby scałkować dowolny wielomian. Rozważmy na przykład całkę z jednomianu

3 x^{7}

\begin{aligned} \int 3 x^{7} d x & = 3 (\frac{x^{7 + 1}}{7 + 1}) + C \\ = 3 (\frac{x^{8}}{8}) + C \\ = \frac{3}{8} x^{8} + C \end{aligned}

Pamiętaj, że zawsze możesz sprawdzić swój wynik całkowania różniczkując go!

zadanie 1

\int 14 t d t = ?

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tych ćwiczeń:

Reguła całkowania potęgi pozwala nam obliczyć całkę z dowolnej ujemnej potęgi różnej od

- 1

. Rozważmy na przykład całkę z

\frac{1}{x^{2}}

\begin{aligned} \int \frac{1}{x^{2}} d x & = \int x^{- 2} d x \\ = \frac{x^{- 2 + 1}}{- 2 + 1} + C \\ = \frac{x^{- 1}}{- 1} + C \\ = - \frac{1}{x} + C \end{aligned}

zadanie 1

\int 8 t^{- 3} d t =

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tych ćwiczeń:

Reguła całkowania potęgi działa też dla całek z wyrażeń zawierających

x

podniesione do potęgi ułamkowej, czyli całek z pierwiastków. Rozważmy na przykład całkę z

\sqrt{x}

\begin{aligned} \int \sqrt{x} d x & = \int x^{^{\frac{1}{2}}} d x \\ = \frac{x^{^{\frac{1}{2} + 1}}}{\frac{1}{2} + 1} + C \\ = \frac{x^{^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}} + C \\ = \frac{2 \sqrt{x^{3}}}{3} + C \end{aligned}

zadanie 1

\int 4 t^{\frac{1}{3}} d t = ?

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tych ćwiczeń: