Główna zawartość

Rachunek całkowy

Kurs: Rachunek całkowy > Rozdział 1

Lekcja 4: Suma Riemanna w notacji sigma

Suma Riemanna w notacji sigma

Sumy Riemanna można zapisać w zwartej postaci za pomocą tzw. notacji sigma. To jest trudny, ale niezbędnie konieczny krok w kierunku formalnej definicji całki oznaczonej. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Notacja sumy (sigma) pozwala nam na zapisywanie długich sum w postaci pojedynczego wyrażenia. Choć notacja ta ma wiele zastosowań w różnych dziedzinach matematyki (również rachunku różniczkowym), skupimy się na zapisywaniu przy jej użyciu sum Riemanna.

Przykład zapisania sumy Riemanna w notacji sigma

Wyobraźmy sobie, że przybiżamy obszar po wykresem funkcji

f (x) = \sqrt{x}

pomiędzy

x = 0, 5

x = 3, 5

Zrobimy to zapisując wyrażenie opisujące prawostronną sumę Riemanna z czterema równymi przedziałami przy użyciu notacji sigma.

Niech

A (i)

oznacza pole

i -tego

prostokąta w naszym przybliżeniu.

Cała suma Riemanna może być zapisana następująco:

A (1) + A (2) + A (3) + A (4) = \sum_{i = 1}^{4} A (i)

Teraz musimy znaleźć wyrażenie opisujące

A (i)

Łączna długość przedziału

[0, 5, 3, 5]

3

jednostki. Chcemy otrzymać

4

równe podprzedziały, więc

szerokość

każdego prostokąta wynosi

3 : 4 = 0, 75

jednostki.

Wysokość

każdego prostokąta to wartość funkcji

f

na prawym brzegu prostokąta (ponieważ to prawostronna suma Riemanna).

Niech

x_{i}

oznacza wartość x na prawym brzegu

i -tego

prostokąta. Aby znaleźć

x_{i}

dla dowolnej wartości

i

, zaczniemy w

x = 0, 5

i dodamy kolejno wspólną szerokość

0, 75

Zatem wzór na

x_{i}

0, 5 + 0, 75 i

. Teraz

wysokość

każdego prostokąta to wartość funkcji

f

na jego prawym brzegu.

f (x_{i}) = \sqrt{x_{i}} = \sqrt{0, 5 + 0, 75 i}

Otrzymaliśmy więc ogólne wyrażenie na pole

i -tego

prostokąta:

\begin{aligned} A (i) & = szerokość \cdot wysokość \\ = 0, 75 \cdot \sqrt{0, 5 + 0, 75 i} \end{aligned}

Teraz pozostaje nam tylko zsumować wyrażenie dla

i

1

4

\begin{aligned} A (1) + A (2) + A (3) + A (4) \\ = \sum_{i = 1}^{4} A (i) \\ = \sum_{i = 1}^{4} 0, 75 \cdot \sqrt{0, 5 + 0, 75 i} \end{aligned}

I gotowe!

Podsumowanie procesu zapisywania sumy Riemanna w notacji sigma

Wyobraźmy sobie, że chcemy przybliżyć obszar pod wykresem funkji

f

na przedziale

[a, b]

przy pomocy

n

równych podprzedziałów.

Definiujemy $Δ x$ ‍: Niech

Δ x

oznacza

szerokość

każdego prostokąta, zatem

Δ x = \frac{b - a}{n}

Definiujemy $x_{i}$ ‍: Niech

x_{i}

oznacza wartość x na prawym brzegu każdego prostakąta, zatem

x_{i} = a + Δ x \cdot i

Definiujemy pole $i -tego$ ‍ prostokąta:

Wysokość

każdego prostokąta wynosi

f (x_{i})

, a pole każdego prostokąta to

Δ x \cdot f (x_{i})

Sumujemy prostokąty: Użyjemy teraz notacji sigma aby dodać do siebie pola poszczególnych prostokątów. Wartości, które przyjmuje

i

są różne dla lewostronnej i prawostronnej sumy Riemanna:

Kiedy zapisujemy prawostronną sumę Riemanna, $i$ ‍ przyjmuje wartości od $1$ ‍ do $n$ ‍.
Jednak kiedy zapisujemy lewostronną sume Riemanna, weźmiemy wartości $i$ ‍ od $0$ ‍ do $n - 1$ ‍ (w ten sposób otrzymamy wartość $f$ ‍ na lewym brzegu każdego prostokąta).

Lewostronna suma Riemanna	Prawostronna suma Riemanna
$\sum_{i = 0}^{n - 1} Δ x \cdot f (x_{i})$ ‍	$\sum_{i = 1}^{n} Δ x \cdot f (x_{i})$ ‍

Zadanie 1.A

Zadanie 1 przeprowadzi Cię przez proces przybliżenia obszaru pomiędzy

f (x) = 0, 1 x^{2} + 1

a osią

X

na przedziale

[2, 7]

przy użyciu lewostronnej sumy Riemanna z

10

równymi podprzedziałami.

Jaka jest szerokość każdego prostokąta, $Δ x$ ‍?

Δ x =

Zadanie 2

Chcemy przybliżyć obszar pomiędzy wykresem funkcji

g (x) = \frac{5}{x} + 2

a osią

X

na przedziale

[1, 7]

korzystając z prawostronnej sumy Riemanna z

9

równymi podprzedziałami:

Które wyrażenie opowiada naszemu przybliżeniu?

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać to zadanie.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.