Główna zawartość

Rachunek całkowy

Kurs: Rachunek całkowy > Rozdział 1

Lekcja 13: Całkowanie przez podstawienie

Całkowanie przez podstawienie

Całkowanie przez podstawienie polega na odwróceniu reguły łańcuchowej. Inaczej mówiąc, metoda "przez podstawienie" pozwala nam obliczać całki z pochodnych funkcji złożonych.

Znajdowanie funkcji pierwotnej to operacja odwrotna do różniczkowania. Czasem odpowiedź jest oczywista. Na przykład, skoro pochodna

x^{2}

wynosi

2 x

, to

\int 2 x d x = x^{2} + C

. W ten sam sposób możemy wyznaczyć funkcje pierwotne w przypadku całek oznaczonych z

\sin (x)

e^{x}

\frac{1}{x}

, itd.

Łatwo przekonać się że znalezienie całki nieoznaczonej w innych przypadkach nie jest już takie proste. Na przykład, ile wynosi

\int \cos (3 x + 5) d x

? Wskazówka: odpowiedź

\sin (3 x + 5) + C

nie jest prawidłowa. Przekonaj się dlaczego, różniczkując to wyrażenie.

[Pokaż.]

Nie ma metody, która by pozwoliła na podanie w zwartej postaci funkcji pierwotnej w przypadku dowolnej całki nieoznaczonej, ale istnieje kilka skutecznych sposobów, których zawsze warto spróbować. Jednym z nich jest całkowanie przez podstawienie, które wykorzystuje własności różniczkowania funkcji złożonych.

Całkowanie przez podstawienie w przypadku całki oznaczonej

Wyobraź sobie, że masz obliczyć

\int 2 x \cos (x^{2}) d x

. Zauwaź, że

2 x

jest pochodną

x^{2}

, funkcji "wewnętrznej" w wyrażeniu

\cos (x^{2})

. Innymi słowy, kładąc

u (x) = x^{2}

w (x) = \cos (x)

, otrzymamy:

\overset{u^{'}}{\overset{⏞}{2 x}} \underset{w}{\underset{⏟}{\cos (\overset{u}{\overset{⏞}{x^{2}}})}} = u^{'} (x) w (u (x))

Dzięki temu możemy obliczyć tę całkę przez podstawienie. Zobaczmy teraz, jak to działa.

Zróżniczkujmy obie strony równania

u = x^{2}

x

, traktując

u

jako funkcję

x

\begin{aligned} u & = x^{2} \\ \frac{d}{d x} [u] & = \frac{d}{d x} [x^{2}] \\ \frac{d u}{d x} & = 2 x \\ d u & = 2 x d x \end{aligned}

Ostatni wiersz wygląda tak, jakbyśmy otrzymali go mnożąc obie strony równania w wierszu powyżej przez

d x

, tak żeby po lewej stronie pozostało samo

d u

. To jest czysto mnemotechniczna reguła, której sens polega na tym, że ułatwia zapamiętanie prawidłowego przekształcenia. Możemy więc zapisać, że

u = x^{2}

d u = 2 x d x

. Teraz możemy wykonać podstawienie w naszej całce:

\begin{aligned} \int 2 x \cos (x^{2}) d x \\ = \int \cos (\underset{u}{\underset{⏟}{x^{2}}}) \underset{d u}{\underset{⏟}{2 x d x}} & Zapisz w postaci funkcja zewnętrzna razy pochodna funkcji wewnętrznej. \\ = \int \cos (u) d u & Wykonaj podstawienie. \end{aligned}

Po wykonaniu tego podstawienia pozostaje nam obliczyć funkcję pierwotną

\cos (u)

jako funkcję

u

. To bardzo wygodne! Funkcja

\cos (u)

jest jedną z tych podstawowych funkcji, których funkcje pierwotne znamy. Jedyne, co pozostaje jeszcze zrobić, to wyrazić odpowiedź w funkcji

x

\begin{aligned} \int \cos (u) d u \\ = \sin (u) + C \\ = \sin (x^{2}) + C \end{aligned}

A zatem,

\int 2 x \cos (x^{2}) d x

\sin (x^{2}) + C

. Możesz zróżniczkować

\sin (x^{2}) + C

i sprawdzić, że otrzymaliśmy prawidłowy wynik.

Kluczowa obserwacja #1: całkowanie przez podstawienie jest niczym innym, jak wykorzystaniem wzoru na pochodną funkcji złożonej w przeciwnym kierunku:

Zgodnie z wzorem na pochodną funkcji złożonej, pochodna $w (u (x))$ ‍ wynosi $w^{'} (u (x)) \cdot u^{'} (x)$ ‍.
Całkowanie przez podstawienie polega na przedstawieniu funkcji podcałkowej w postaci $w^{'} (u (x)) \cdot u^{'} (x)$ ‍ i znalezieniu jej funkcji pierwotnej $w (u (x))$ ‍.

Kluczowa obserwacja #2: sedno metody całkowania przez podstawienie polega na tym, żeby uprościć chaotycznie wyglądające wyrażenie definiując "funkcję wewnętrzną" jako nową zmienną.

Zadanie 1.A

Rozwiążemy to zadanie razem z Tobą, przechodząc krok po kroku przez wszystkie etapy całkowania przez podstawienie.

\int (6 x^{2}) (2 x^{3} + 5)^{6} d x = ?

Jak należy zdefiniować nową zmienną całkowania $u$ ‍?

Często popełniany błąd: wybór niewłaściwego podstawienia $u$ ‍

Niewłaściwy wybór nowej zmiennej całkowania

u

prowadzi na manowce. W tym zadaniu,

u

musi być zdefiniowane jako

2 x^{3} + 5

. Definiując

u

jako

6 x^{2}

lub

(2 x^{3} + 5)^{6}

nie rozwiążemy tego zadania.

Zapamiętaj: aby całkowanie przez podstawienie było skuteczne, musisz być w stanie zapisać funkcję podcałkową jako

w (u (x)) \cdot u^{'} (x)

. A z, To znacza, że

u

trzeba zdefiniować jako funkcję wewnętrzną w wyrażeniu na funkcję złożoną.

Innym często popełnianym błędem jest pomyłka przy obliczaniu pochodnej

u

x

. Upewnij się, że pochodna

u

została obliczona prawidłowo, gdyż inaczej nie uda się zastąpić pochodnej

u

x

d x

przez

d u

i nie otrzymasz prawidłowej odpowiedzi.

Zadanie 2

Tomek ma obliczyć funkcję pierwotn a

\int \cos (5 x - 7) d x

. Otrzymał następujący wynik:

\int \cos (5 x - 7) d x = \sin (5 x - 7) + C

Czy wynik Tomka jest prawidłowy. A jeśli nie, to gdzie popełnił bład?

(Choice A)
Rozwiązanie Tomka jest poprawne.
(Choice B)
Rozwiązanie Tomka jest błędne. Funkcją pierwotną $\cos (x)$ ‍ nie jest $\sin (x)$ ‍.
(Choice C)
Rozwiązanie Tomka jest błędne. Nie zauważył, że $\cos (5 x - 7)$ ‍ jest funkcją złożoną.
(Choice D)
Rozwiązanie Tomka jest błędne. W przypadku, gdy mamy obliczyć całkę nieoznaczoną, nie trzeba uwzględniać dowolnej stałej $C$ ‍.

Często popełniany błąd: ignorowanie czynnika wynikającego z zamiany zmiennych

Zapamiętaj: jeśli masz do czynienia z całką z funkcji złożonej, nie możesz wziąć po prostu funkcji pierwotnej z funkcji zewnętrznej. Musisz uwzględnić także czynnik, który bierze się z zamiany zmiennych.

Niech Funkcja

W

będzie funkcją pierwotną do funkcji

w

, problem można wyrazić w następujący sposób:

\int w (u (x)) d x \neq W (u (x)) + C

Jeszcze jeden często popełniany błąd: mylenie funkcji wewnętrznej z jej pochodną

Wyobraź sobie, że chcesz obliczyć

\int x^{2} \cos (2 x) d x

. Do głowy może przyjść Ci taka myśl: "skoro

2 x

jest pochodną

x^{2}

, możemy obliczyć tę całkę przez podstawienie." Jednakże, całkowanie przez podstawienie wymaga by to

x^{2}

było pochodną

2 x

. Tak nie jest, więc całkowanie przez podstawienie nie pomoże w tym przypadku (tę całkę można obliczyć całkując przez części).

Czasem, by sprowadzić funkcję podcałkową do odpowiedniej postaci, musimy pomnożyć lub podzielić ją przez stały czynnik.

Załóżmy, że chcemy obliczyć

\int \sin (3 x + 5) d x

. Zauważ, że funkcja podcałkowa jest funkcją złożoną

\sin (3 x + 5)

,ale brakuje nam czynnika, który mógłby spełnić rolę pochodnej funkcji wewnętrznej. Jak sobie z tym poradzić?

W tym wypadku, funkcja wewnętrzna jest funkcją liniową, więc podstawiając

u = 3 x + 5

, otrzymamy

d u = 3 d x

. Jeśli chcemy dokonać takiego podstawienia, musimy zrobić jeszcze jedną sprytną sztuczkę, a mianowicie zapisać:

\int \sin (3 x + 5) d x = \frac{1}{3} \int \sin (3 x + 5) 3 d x

Widzisz, co się stało? Potrzebowaliśmy otrzymać pod całką

3 d x

, więc pomnożyliśmy całe wyrażenie przez

1 = \frac{3}{3}

. W ten sposób możemy wykonać podstawienie, nie zmieniając wartości tej całki.

Zróbmy jeszcze ostatni krok:

\begin{aligned} \frac{1}{3} \int \sin (\underset{u}{\underset{⏟}{3 x + 5}}) \underset{d u}{\underset{⏟}{3 d x}} \\ = \frac{1}{3} \int \sin (u) d u \\ = - \frac{1}{3} \cos (u) + C \\ = - \frac{1}{3} \cos (3 x + 5) + C \end{aligned}

Kluczowe spostrzeżenie: w przypadku, gdy funkcja wewnętrzna jest funkcją liniową, wystarczy pomnożyć i podzielić całkę przez ten sam stały czynnik aby zapisać funkcję podcałkową w postaci, która umożliwia wykonanie podstawienia.

Zadanie 3

\int (2 x + 7)^{3} d x = ?

Chcesz zdobyć więcej wprawy? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.