If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Temat: Całki

0

punktów mistrzowskich do zdobycia

Wprowadzenie do obliczania nagromadzenia różnych wielkości

Ucz się sam(a)!
Badanie gromadzenia się różnych wielkości za pomocą całek oznaczonych
(Otwiera system)
Przykład całki oznaczonej - całkowita objętość wody w jacuzzi
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Zadania tekstowe o obliczaniu zmiany różnych wielkościRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Aproksymacja sumami Riemanna

Ucz się sam(a)!
Wstęp do przybliżania pola powierzchni sumami Riemanna
(Otwiera system)
Lewostronna i prawostronna suma Riemanna
(Otwiera system)
Zrozumienie metody trapezów
(Otwiera system)
Podsumowanie wiadomości na temat sum Riemanna
(Otwiera system)
Przybliżenie przebytej odległości za pomocą sum Riemanna
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Lewostronna i prawostronna suma RiemannaRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Przewartościowanie i niedowartościowanie sum RiemannaRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Sumy środkowe i obliczanie całek oznaczonych metodą trapezówRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Przegląd wiadomości o zapisywaniu i obliczaniu sum w notacji sigma

Ucz się sam(a)!
Notacja sigma
(Otwiera system)
Notacja sigma
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Notacja sigmaRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Suma Riemanna w notacji sigma

Ucz się sam(a)!
Suma Riemanna w notacji sigma
(Otwiera system)
Suma Riemanna w notacji sigma
(Otwiera system)
Suma Riemanna powierzchni trapezów w notacji sigma - film z polskimi napisami
(Otwiera system)
Suma Riemanna dla funkcji o wartościach niekoniecznie dodatnich
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Suma Riemanna w notacji sigmaRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Definiowanie całek za pomocą Sum Riemanna

Ucz się sam(a)!
Całka oznaczona jako granica sum Riemanna
(Otwiera system)
Całka oznaczona jako granica sum Riemanna
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Całka oznaczona jako granica sum RiemannaRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Quiz 1

Podnieś swoje umiejętności w zakresie powyższych zagadnień i zbierz 700 punktów mistrzowskich.

Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego i funkcje, zdefiniowane przez całki oznaczone

Ucz się sam(a)!
Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego i funkcje, zdefiniowane przez całki oznaczone
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Funkcje zdefiniowane przez całki oznaczoneRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Obliczanie pochodnych i podstawowe twierdzenie rachunku całkowegoRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Obliczanie pochodnych funkcji złożonych i podstawowe twierdzenie rachunku całkowegoRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Własności funkcji zdefiniowanych przez całki oznaczone

Ucz się sam(a)!
Własności funkcji zdefiniowanych przez całki oznaczone
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Własności funkcji zdefiniowanych przez całki oznaczoneRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Własności całek oznaczonych

Ucz się sam(a)!
Całka oznaczona w jednym punkcie
(Otwiera system)
Przykład: Znajdowanie całek oznaczonych używając własności algebraicznych
(Otwiera system)
Przykład: Rozłożenie przedziału całkowania
(Otwiera system)
Funkcja zadana za pomocą całki oznaczonej: przykład zamiany granic
(Otwiera system)
Funkcje określone za pomocą całki: zadania
(Otwiera system)
Podsumowanie wiadomości na temat własności całek oznaczonych
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Znajdowanie całek oznaczonych używając wzorów na poleRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Znajdowanie całek oznaczonych używając własności algebraicznychRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Całki oznaczone w sąsiadujących ze sobą przedziałachRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Quiz 2

Podnieś swoje umiejętności w zakresie powyższych zagadnień i zbierz 700 punktów mistrzowskich.

Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego i całki oznaczone

Ucz się sam(a)!
Funkcje pierwotne i całki nieoznaczone
(Otwiera system)
Dowód na podstawowe twierdzenie rachunku całkowego
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego i całki oznaczoneRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Funkcje pierwotne i całki nieoznaczoneRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Całki nieoznaczone z funkcji potęgowych

Ucz się sam(a)!
Całki nieoznaczone z funkcji potęgowych
(Otwiera system)
Przekształcanie funkcji podcałkowej przed całkowaniem
(Otwiera system)
Całkowanie funkcji potęgowych
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Całki nieoznaczone z funkcji potęgowychRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Funkcja pierwotna dla funkcji potęgowej: wykładniki ujemne i ułamkoweRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Całka nieoznaczona: suma i iloczyn funkcji potęgowychRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Całkowanie funkcji potęgowych: przekształcanie funkcji podcałkowejRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Quiz 3

Podnieś swoje umiejętności w zakresie powyższych zagadnień i zbierz 600 punktów mistrzowskich.

Całki nieoznaczone typowych funkcji

Ucz się sam(a)!
Całka nieoznaczona z 1/x
(Otwiera system)
Całki nieoznaczone z sin(x), cos(x) oraz eˣ
(Otwiera system)
Podsumowanie wiadomości na temat funkcji pierwotnych do najczęściej spotykanych funkcji elementarnych
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Całki nieoznaczone z eˣ i 1/xRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Obliczanie całek nieoznaczonych: sinus i cosinusRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Całkowanie funkcji trygonometrycznychRozwiąż co najmniej 5 z 7 pytań, aby przejść na następny poziom!

Całki oznaczone z często spotykanych funkcji

Ucz się sam(a)!
Całki oznaczone z funkcji potęgowych
(Otwiera system)
Całka oznaczona z funkcji wymiernej
(Otwiera system)
Całka oznaczona z funkcji pierwiastkowej
(Otwiera system)
Całka oznaczona z funkcji trygonometrycznej
(Otwiera system)
Całka oznaczona z funkcji potęgowej prowadząca do logarytmu
(Otwiera system)
Całka oznaczona z funkcji zdefiniowanej przedziałowo.
(Otwiera system)
Całka oznaczona z wartości bezwzględnej.
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Całki oznaczone z funkcji potęgowychRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Całki oznaczone z najczęściej spotykanych funkcjiRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Całki oznaczone z funkcji zdefiniowanych przedziałowo.Rozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Quiz 4

Podnieś swoje umiejętności w zakresie powyższych zagadnień i zbierz 600 punktów mistrzowskich.

Całkowanie przez podstawienie

Ucz się sam(a)!
Wprowadzenie do całkowania przez podstawienie
(Otwiera system)
Całkowanie przez podstawienie: mnożenie funkcji przez stałą
(Otwiera system)
Całkowanie przez podstawienie
(Otwiera system)
Całkowanie przez podstawienie: wyrażenie wymierne
(Otwiera system)
Całkowanie przez podstawienie: funkcja logarytmiczna
(Otwiera system)
Całkowanie przez podstawienie - rozgrzewka
(Otwiera system)
Całkowanie przez podstawienie: całki oznaczone
(Otwiera system)
Całkowanie przez podstawienie: całka oznaczona z funkcji wykładniczej
(Otwiera system)
Nietypowe zastosowanie całkowania przez podstawienie
(Otwiera system)
Całka, która wymaga dwukrotnego podstawienia
(Otwiera system)
Całka nieoznaczona z funkcji (2^(ln x))/x
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Całkowanie przez podstawienie: wybór podstawieniaRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Całkowanie przez podstawienie: całki nieoznaczoneRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Całkowanie przez podstawienie: całki oznaczoneRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Całkowanie z użyciem dzielenia oraz dopełnieniem do kwadratu

Ucz się sam(a)!
Upraszczanie wyrażenia wymiernego metodą dzielenia wielomianów przed wykonaniem całki
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Upraszczanie wyrażenia wymiernego metodą dzielenia wielomianów przed wykonaniem całkiRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Całkowanie z użyciem dopełnienia do kwadratuRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Całkowanie z użyciem tożsamości trygonometrycznych

Ucz się sam(a)!
Całka z cos^3(x)
(Otwiera system)
Całka z sin^2(x) cos^3(x)
(Otwiera system)
Całka z sin^4(x)
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Całkowanie z wykorzystaniem tożsamości trygonometrycznychRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Quiz 5

Podnieś swoje umiejętności w zakresie powyższych zagadnień i zbierz 600 punktów mistrzowskich.

Podstawienie trygonometryczne

Ucz się sam(a)!
Wprowadzenie do podstawienia trygonometrycznego
(Otwiera system)
Podstawienie z x=sin(theta)
(Otwiera system)
Więcej ćwiczeń z podstawienia trygonometrycznego
(Otwiera system)
Podstawienie trygonometryczne i całkowanie przez podstawienie (część 1)
(Otwiera system)
Podstawienie trygonometryczne i całkowanie przez podstawienie (część 2)
(Otwiera system)
Podstawienie trygonometryczne z tangensem
(Otwiera system)
Więcej podstawienia trygonometrycznego z tangensem
(Otwiera system)
Długi problem z podstawieniem trygonometrycznym
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Podstawienie trygonometryczneRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Całkowanie przez części

Ucz się sam(a)!
Wprowadzenie do całkowania przez części
(Otwiera system)
Całkowanie przez części: ∫x⋅cos(x)dx
(Otwiera system)
Całkowanie przez części: ∫ln(x)dx
(Otwiera system)
Całkowanie przez części: ∫x²⋅?ˣdx
(Otwiera system)
Całkowanie przez części: ∫?ˣ⋅cos(x)dx
(Otwiera system)
Całkowanie przez części: całki oznaczone
(Otwiera system)
Całkowanie przez części: wyzwanie
(Otwiera system)
Przypomnienie wiadomości o całkowaniu przez części
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Całkowanie przez częściRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!
Całkowanie przez części: całki oznaczoneRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Całkowanie funkcji wymiernych metodą rozkładu na ułamki proste

Ucz się sam(a)!
W tej chwili w tej lekcji nie ma jeszcze filmów ani materiałów tekstowych
ĆWICZENIE
Całkowanie za pomocą rozkładu na ułamki prosteRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Całki niewłaściwe

Ucz się sam(a)!
Wprowadzenie do całek niewłaściwych
(Otwiera system)
Całka niewłaściwa rozbieżna
(Otwiera system)
Przypomnienie wiadomości na temat całek niewłaściwych
(Otwiera system)
Całka niewłaściwa od minus do plus nieskończoności
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Całki niewłaściweRozwiąż co najmniej 3 z 4 pytań, aby przejść na następny poziom!

Quiz 6

Podnieś swoje umiejętności w zakresie powyższych zagadnień i zbierz 500 punktów mistrzowskich.

Filmy zawierające dowody

Ucz się sam(a)!
Dowód na podstawowe twierdzenie rachunku całkowego
(Otwiera system)
Intuicyjne wyobrażenie podstawowego twierdzenia rachunku całkowego
(Otwiera system)
Czekają na Ciebie:

Test sprawdzający

Podnieś swoje umiejętności w zakresie wszystkich tematów należących do tego rozdziału i zbierz 3700 punktów mistrzowskich.

O tym dziale

Całka oznaczona mierzy pole powierzchnii pod krzywą funkcji. Inna popularna interpretacja mówi, że całka z tempa zmian funkcji opisuje nagromadzenie ilości, której tempo zmian jest podane. Możemy przybliżać całki używając sum Riemanna, a całki oznaczone definiujemy używając granic sum Riemanna. Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego wiąże całki z pochodnymi i może być wykorzystane do policzenia różnych całek oznaczonych.