Główna zawartość

Rachunek całkowy

Kurs: Rachunek całkowy > Rozdział 5

Lekcja 2: Nieskończone szeregi geometryczne

Dowód wzoru na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego

Powiedzmy, że mamy dany nieskończony szereg geometryczny, którego pierwszy wyraz wynosi

a

, a iloraz równa się

r

. Jeśli

r

należy do przedziału otwartego pomiędzy

- 1

1

(tzn.

| r | < 1

), to taki szereg jest zbieżny do następującej wartości:

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 0}^{n} a \cdot r^{i} = \frac{a}{1 - r}

Program kursu rachunku różniczkowego AP nie wymaga znajomości dowodu tego twierdzenia, ale naszym zdaniem warto poznać ten dowód, tym bardziej że leży on całkowicie w naszym zasięgu. Zawsze warto zastanowić się nad dowodem, albo przynajmniej uzasadnieniem twierdzenia, które właśnie poznajesz.

Zacznijmy od zastanowienia się, dlaczego ten wzór jest prawdziwy. To nie będzie dowód formalny, ale pomoże nam zbudować intuicję.

Filmy wideo na Khan Academy

Infinite geometric series formula intuitionZobacz transkrypcję filmu

Teraz możemy przedstawić bardziej formalny dowód.

Filmy wideo na Khan Academy

Proof of infinite geometric series as a limitZobacz transkrypcję filmu

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.