Zbieżność szeregów harmonicznych rzędu p

Szereg postaci ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n^{{}^p}}}}$‍, gdzie $p$‍ jest dowolną, dodatnią liczbą rzeczywistą, nazywamy szeregiem harmonicznym rzędu $p$‍. Szeregi harmoniczne rzędu $p$‍ są zbieżne dla $p>1$‍ i rozbieżne dla $0<p\le 1$‍.

Program kursu rachunku różniczkowego AP nie wymaga znajomości dowodu tego twierdzenia, ale naszym zdaniem warto poznać ten dowód, tym bardziej że leży on całkowicie w naszym zasięgu. Zawsze warto zastanowić się nad dowodem, albo przynajmniej uzasadnieniem twierdzenia, które właśnie poznajesz.