Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:12:59

Wprowadzenie do szeregów Taylora i Maclaurina (część 1) - film z polskimi napisami

Transkrypcja filmu video

Narysowałem tu dowolną funkcję i tym czym chcemy się zająć jest przybliżenie tej przypadkowej funkcji, której nie znamy. Używając wielomianu będziemy dodawać wyrażenia do tego wielomianu. Jednak w tym celu musimy założyć, że możemy można obliczyć wartość funkcji w zerze, że przyjmuję ona jakąś wartość i że możemy różniczkować tę funkcje i wyliczyć pierwszą, drugą trzecią pochodną w zerze itd. itd. Więc zakładamy, że znamy wartość f(0) Zakładamy, że wiemy jaka jest f'(0), zakładamy, że znamy drugą pochodną w zerze zakładamy, że znamy trzecią pochodną w zerze. Więc może zapiszę ją jako f potrójne prim od zera itd. itd. Zastanówmy się więc jak możemy przybliżyć funkcję za pomocą wielomianu o coraz większej liczbie wyrazów. Jeśli moglibyśmy mieć wielomian z tylko jednym składnikiem i byłby to stały składnik. Więc to byłoby wielomian stopnia zerowego. I jeśli mielibyśmy stały wyraz to tym co przynajmniej możemy zrobić z tym stałym wielomianem (tak naprawdę jest to funkcja stała) to zrównać ją z funkcją w punkcie f(0). Więc najpierw chcemy tylko p(0), gdzie p jest wielomianem, który chcemy skonstruować. Chcemy, żeby p(0) była równa f(0). Więc jeśli chcemy to zrobić używając wielomianu p z tylko jednym składnikiem, możemy po prostu określić p(x) = f(0) Jak narysowałbym go wykresie będzie wyglądał tak; będzie on po prostu linię poziomą w f(0). I możesz powiedzieć Sal, to jest okropne przybliżenie, jest ono poprawne jedynie w tym punkcie wygląda też, że mamy szczęście jeszcze co do paru punktów, ale poza tym jest naprawdę kiepsko wszędzie indziej i ja wtedy zaproponuje Ci, abyś znalazł(a) jakieś lepsze przybliżenie używając poziomej linii. Przynajmniej mamy poprawność w f(0) i to jest po prostu najlepsze co możemy zrobić ze stałą. I mimo, że (chce tylko przypomnieć) może nie wyglądać to na stałą, ale zakładamy, że z danej funkcji możemy obliczyć jej wartość w zerze i to da nam liczbę. Więc niezależnie tej liczby możemy wstawić ją tutaj. Tak, że p(x) jest równy liczbie. To po prostu będzie pozioma linia dokładnie tutaj na f(0). Ale to oczywiście nie jest takie super więc może dodajmy trochę wymogów Poza faktem, że chcemy, aby p(0) była równa f(0) powiedzmy, że chcemy również równość p'(0) = f'(0) Napiszę to innym kolorem. Więc chcemy także, w nowym kolorze, chcemy także, to nie nowy kolor. Chcemy również p', chcemy pierwszą pochodną naszego wielomianu podczas podczas wyliczania jej w zerze, aby była taka sama jak pierwsza pochodna funkcji w zerze. I nie chcemy stracić tego tutaj. To co zrobić, jeśli ustalimy p(x) jako równe f(0), więc bierzemy nasze stare p(x), ale teraz dodamy nawy składnik, tak aby pochodne się zgadzały, dodać f'(0) razy x. Pomyślmy o tym trochę, zatem jeśli używamy tego jako naszego nowego wielomianu-co się dzieje? p...co to jest p(0)? p(0) będzie równe, będziemy mieć f(0) dodać niezależnie od tego czym ta pochodna jest razy zero. Jeśli umieścisz zero zamiast x to ten wyraz stanie się, po prostu, zerem. Tak więc zostaniesz z p(0) = f(0). To spoko;) Jest tak dobrze, jak przy naszej pierwszej wersji. Teraz to, co jest pochodną tutaj? Pochodną jest p'(x) = (weźmy pochodną tego, to jest tylko stała więc pochodna wynosi zero i pochodną współczynnika razy x będzie współczynnik) dlatego to będzie f'(0). Jeśli wyznaczymy ją w zerze to p'(0) czy pochodna z naszego wielomianu wyznaczona w zerze. Wiem, że to trochę dziwne ponieważ nie używamy wiesz, bierzemy p'(x) i f'(0), ale po prostu zapamiętaj czym tu jest zmienna a czym stała, wtedy nabierze to sensu. Więc to oczywiście będzie f'(0). Jej pochodna jest wartością stałą. To tutaj jest stałą wartością. Zakładamy, że możemy różniczkować naszą funkcje i wyznaczyć jej wartość w 0, aby nadać jej stałą wartość. A więc jeśli p'(x) jest równe tej stałej wartości to, oczywiście, p'(x) wyznaczone w 0 będzie tą wartością. Ale to co jest tutaj fajne to to, że ten wielomian ma wyraz stopnia zerowego i wyraz stopnia pierwszego, a także jest teraz równy naszej funkcji w punkcie x = 0 i posiada także taką samą pierwszą pochodna! Posiada także takie same naczylenie w x = 0. To będzie tak wyglądać, ten nowy wielomian z dwoma wyrazami staje się trochę lepszy Będzie on wyglądał jakoś jak to. (Będzie zdecydowanie mieć), będziesz wyglądać jak styczna w f(0), przy x = 0. Tak więc radzimy sobie lepiej, ale nadal nie jest to super dobre przybliżenie. W pewnym sensie zmierza ono w tym samym kierunku co nasza funkcja w okolicy 0, ale być może osiągniemy coś lepszego upewniając się, że funkcję mają takie same drugie pochodne. I spróbujmy mieć te same drugie pochodne nie tracąc takiej samej pierwszej pochodnej oraz tej samej wartości w zerze. Spróbujmy zrobić coś interesującego. Zdefiniujmy p(x), niech będzie jasne, to było nasze pierwsze podejście To jest nasze drugie podejście, tutaj, a ja zaraz rozpocznę naszą trzecią próbę. Więc, w naszym trzecim podejściu, moim celem jest, aby wartość mojego wielomianu była taka sama jak wartość funkcji na 0, żeby miały tę samą pochodną w zerze, i aby miały taką samą drugą pochodną w zerze. Zdefiniujmy wielomian jako równy: na początku spełnię pierwsze dwa warunki tych chłopaków tutaj Tak więc to będzie f(0) dodać f'(0) razy x to dokładnie to co zrobiliśmy tutaj, ale teraz pozwól mi dodać kolejny wyraz. (Narysuję kolejny składnik w innym kolorze) Dodać, dam tu jedną drugą i miejmy nadzieję, że zaraz nabierze sensu czemu chce to zrobić Dodać 1/2 razy f" - druga pochodna naszej funkcji wyliczona w zerze x^2 A kiedy wyliczymy pochodną z tego, myślę, że okaże się czemu tutaj jest 1/2. Ponieważ teraz obliczmy to i pochodną tego w 0. Więc, jeśli obliczymy p(0) czemu będzie równe p(0)? Będziesz miał ten stały składnik jeśli wyliczysz go w 0, ten x oraz x^2 - oba będą równe zero Te składniki znikną, więc p(0) jest wciąż równe f(0) Jeśli zróżniczkujesz p(x), pozwól mi wziąć pochodną tego tutaj. Zrobię to na żółto. Tak więc pochodna mojego nowego p(x) będzie się równać; ten składnik zniknie, jest on stały, będzie więc równość z f'(0) - to współczynnik tego - dodać, według zasad różniczkowania , 1/2 razy 2 to jest po prostu jeden dodać f''(0) razy x. Tę dwójkę pomnóż przez 1/2 i obniż tę dwójkę tutaj myślę, że już nabrało to dla Ciebie sensu czemu daliśmy tu 1/2 powoduję to, że nie kończymy z '2' tutaj z przodu. Teraz, co to jest p'(0)? p'(0) to co? Dobrze, ten składnik tutaj będzie zerem, zostajemy z tą tutaj stałą wartością Tak więc będzie to f'(0). Jak dotąd nasza trzecia generacja wielomianów zachowywała wszystkie właściwości dwóch pierwszych. I zobaczmy jak się zachowuję trzecia pochodna zobaczmy - powinienem powiedzieć - że druga pochodna p"(x) jest równa to jest stałą, więc jego pochodnych wynosi 0 w skutek tego bierzemy sam współczynnik drugiego wyrazu równy f"(0). Czym właściwie jest druga pochodna p"(0) Po prostu będzie to ta stała wartość f''(0). Zauważ, że dodając te składniki, nie tylko wartość wielomianu jest taka sama jak naszej funkcja w 0, ale również jego pochodne w zerze są takie same jak naszej funkcji w zerze. Jego druga pochodna 0 jest taka sama jak druga pochodna funkcji w zerze - więc stajemy się coraz lepsi :) i teraz możesz zgadnąć, że jest pewien wzorzec tutaj, każdy składnik który dodamy pozwoli nam sprawić, aby n-ta pochodna naszego przybliżenia była taka sama jak n-ta pochodna naszej funkcji w 0. Z tej przyczyny jeśli chcielibyśmy to dalej robić, jeśli mielibyśmy dużo czasu i chcielibyśmy po prostu dodawać wyrazy do naszego wielomianu - moglibyśmy - pozwól mi to zrobić nowym kolorem(wcześniej używanym) moglibyśmy uczynić nasze przybliżenie wielomianem takim, że naszym pierwszym składnikiem byłby f(0) następnym byłby f'(x) razy x. Później byłby f"(0) razy 1/2 razy x^2 - po prostu przepisałem to w troszkę innym porządku. Dalej następny składnik (jeśli trzecie pochodne mają być takie same w 0) byłby to f'''(0), trzecią pochodna funkcji w 0, razy 1/2 razy 1/3 razy x^3. Moglibyśmy tak w nieskończoność, może zaczniesz dostrzegać wzorzec dodać (jeśli czwarte pochodne mają być takie same w 0) czwarta pochodna naszej funkcji (o tutaj mógłbym napisać 4 ) w zerze razy 1 przez - zmienię kolejność - 4 razy 3 razy 2 razy x^4 - możesz sprawdzić to samemu Jeśli mieliśmy jedynie to i musiałbyś policzyć czwartą pochodną w 0 byłoby ona taka sama jak czwarta pochodna funkcji(f) w 0. I ogólnie, można tak ciągle dodawać wyrazy, a n-ta pochodna będzie wyglądać tak: n-ta pochodna funkcji w 0 razy x^n podzielić przez n silnia. Zauważ, to jest takie samo jak cztery silnia czyli 4!= 4<i>3</i>2*1. to tutaj to 3!=3<i>2</i>1, a to tu 2!=2*1 To jest to samo, ale tego nie napisaliśmy, ale można było to podzielić przez 1!, co jest tym samym co 1 i mógłbyś podzielić to przez 0! co również jest tym samym co 1 - nie będziemy rozwodzić się tutaj czemu tak jest. Ten ogólny szereg, który tutaj stworzyłem jest nazywany szeregiem Maclaurin`a Dzięki niemu można przybliżać wielomianem, później zobaczymy jakie potężne efekty on daję. Ale zobaczmy co się stanie (ciężko mi będzie narysować wykres odpowiednio) gdy tylko funkcja jest równa - otrzymujemy poziomą linie. Kiedy powodujemy, że funkcja w 0 jest równa i pochodne także się zgadzają w zerze, wtedy dostajemy coś co w przybliżeniu wygląda jak linia styczna. Kiedy dodamy kolejny stopień to można przybliżać wielomianem w ten sposób. Po dodaniu kolejnego stopnia może to wyglądać jakoś tak: I tak dodając kolejne i kolejne wyrazy zbliżamy się coraz bliżej, szczególnie przy punkcie x = 0, ale w teorii, jeśli dodasz nieskończenie wiele wyrazów, Jeszcze tego Ci nie dowiodłem, dlatego mówię 'teoretycznie', ale jeśli dodasz nieskończoną liczbę wyrazów to wszystkie pochodne powinny być takie same, a wtedy funkcje powinny być do siebie bardzo podobne W następnym filmiku, przetestujemy tę metodę na konkretnej funkcji, tak aby lepiej to zrozumieć Pamiętaj, że szereg Maclaurina jest tylko specjalnym przypadkiem szeregu Taylora jak rozwiniemy go wokół zera. Kiedy stosujesz szereg Taylora, możesz wybrać jakikolwiek punkt jako centralny ale w tym momencie skupmy się na szeregu Maclaurina.