Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:14:08
0 punktów energii
Uczysz się do testu? Skorzystaj z tych 5 lekcji na temat Alternatywne układy współrzędnych (podstawy).
Zobacz 5 lekcji
Transkrypcja filmu video (w języku angielskim)
Obliczyliśmy wartości własne macierzy 2 na 2, Obliczyliśmy wartości własne macierzy 2 na 2, zobaczmy więc czy uda nam się znaleźć wartości własne macierzy 3 na 3. I myślę że docenimy, że jest to trochę trudniejsze, dlatego, że rachunki robią się trochę bardziej skomplikowane. A więc lambda jest wartością własną A. Z definicji, wtedy i tylko wtedy -- napiszę to tak Wtedy i tylko wtedy gdy A razy jakiś niezerowy wektor v równa się lambda razy ten niezerowy wektor v. Napiszę to: dla jakiegoś niezerowego Napiszę to: dla jakiegoś niezerowego Mógłbym nazwać go wektorem własnym v, ale napiszę po prostu dla pewnego niezerowego wektora v, albo dla jakiegoś niezerowego v. Teraz to jest prawda wtedy i tylko wtedy gdy, to prowadzi do -- napiszę to tak. To jest prawda wtedy i tylko wtedy gdy -- to jest powtórzenie, ale lubię powtarzać, bo jak będziecie to robić za 10 lat, to nie chcę żebyście pamiętali wzory. Chcę, żebyście pamiętali ideę, jak do nich doszliśmy. Czyli to jest prawda wtedy i tylko wtedy gdy -- odejmiemy tylko Av od obu stron -- wektor 0 jest równy lambda -- zamiast pisać lambda razy v, napiszę lambda razy macierz jednostkowa razy v. To jest to samo. Macierz jednostkowa razy v to jest po prostu v. Odjąć Av. Odjąłem Av od obu stron, przepisałem v jako macierz jednostkowa razy v. To jest prawda wtedy i tylko wtedy gdy wektor 0 jest równy lambda razy macierz jednostkowa odjąć A razy v. Wyciągnąłem wektor v z obu tych kolesi za nawias po prawej stronie i dostałem iloczyn macierz razy wektor v. To jest prawda tylko -- przepiszę to tutaj, to równanie w postaci którą możecie rozpoznać. Lambda razy macierz jednostkowa razy A. To jest po prostu jakaś macierz. Ta macierz razy v ma być równa 0 dla jakiegoś niezerowego wektora v. To oznacza, że jądro tej macierzy musi być nietrywialne. Inny sposób myślenia o tym, to że jej kolumny są liniowo zależne. Jeszcze inny sposób myślenia o tym, to że ona jest nieodwracalna czyli ma wyznacznik równy 0. Czyli lambda jest wartością własną macierzy A, wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi każdy z tych warunków. A to jest prawda wtedy i tylko wtedy gdy -- dla pewnego niezerowego wektora, wtedy i tylko wtedy gdy, wyznacznik lambda razy macierz jednostkowa odjąć A jest równe 0. I to był nasz wynik. Wydaje mi się, że to było dwa albo trzy filmy temu. Ale zastosujmy to teraz do macierzy A wymiaru 3 na 3. Będziemy używać macierzy jednostkowej 3 na 3. A więc chcemy zająć się -- lambda razy macierz jednostkowa będzie równa -- razy macierz jednostkowa 3 na 3 będzie równa -- napiszę to. To lambda razy macierz jednostkowa w R3. Czyli to będzie lambda, lambda, lambda. A po za tym będą same zera. Macierz jednostkowa miała tutaj jedynki, czyli to są jedyne elementy, które pozostają niezerowe, kiedy mnożymy ją przez lambda. Wszędzie poza tym są zera. Czyli to jest macierz jednostkowa razy lambda. Czyli lambda razy macierz jednostkowa odjąć A będzie równe -- to jest właściwie bardzo łatwe do obliczenia. Wszystko na diagonali będzie równe lambda odjąć -- zróbmy to. Lambda odjąć minus 1 -- zrobię tutaj elementy diagonalne. Lambda odjąć minus 1 daje lambda dodać 1. A potem 0 odjąć 2 -- zrobię to innym kolorem. 0 odjąć 2 daje minus 2. 0 odjąć 2 daje minus 2. 0 odjąć 2 daje minus 2. Obliczmy to. 0 odjąć 2 daje minus 2. 0 dodać albo odjąć minus 2 daje 0 dodać 1, czyli 1. A teraz obliczmy to. 0 odjąć minus 1. To jest 1. Skończę teraz diagonalę. A tutaj mamy lambda odjąć 2. A tutaj mamy lambda odjąć 2. A tutaj mamy lambda odjąć 2. Czyli lambda jest wartością własną macierzy A, wtedy i tylko wtedy gdy wyznacznik tej macierzy jest równy 0. Obliczmy więc jej wyznacznik. Najłatwiejszy sposób, jaki znam, żeby to zrobić, to użyć reguły Sarrusa. A więc wykorzystajmy regułę Sarrusa, żeby obliczyć wyznacznik. Czyli po prostu przepisuję te kolumny tutaj. Mogę je po prostu skopiować i wkleić. Biorę po prostu te dwie kolumny. I potem wklejam je tutaj. Wyszło trochę za blisko tego kolesia, ale myślę, że rozumiecie o co chodzi. A teraz reguła Sarrusa: biorę ten iloczyn dodać ten iloczyn dodać ten iloczyn, a potem odejmuję ten iloczyn i ten iloczyn i ten iloczyn. To zrobimy później. A więc ten iloczyn jest równy lambda dodać 1, razy lambda odjąć 2, razy lambda odjąć 2. To jest ten tutaj. A potem dodać, zobaczmy, minus 2 razy minus 2. To daje plus 4. A potem mamy minus 2 razy minus 2 dodać 4 razy 1. To znowu jest plus 4. A potem mamy minus ta kolumna razy ta kolumna. Odjąć ta kolumna odjąć ta kolumna, a potem -- właściwie nie powinienem mówić kolumna, tylko diagonala. Czyli mamy minus 2 razy minus2. Napiszę to. Minus 2 razy minus 2, czyli 4. Razy lambda odjąć 2. To była ta diagonala. A potem mamy minus -- co to będzie? To będzie minus 1 razy lambda dodać 1, czyli minus lambda dodać 1. A potem mamy tę diagonalę. Minus 2 razy minus 2 daje 4. Czyli to będzie 4 razy lambda odjąć 2 i odejmujemy. Czyli minus 4 razy lambda odjąć 2. Zobaczmy czy możemy to uprościć. Czyli ten niebieski bałagan tutaj -- zobaczmy, ci kolesie tutaj dadzą w sumie 8, a potem to stanie się -- to będzie równe lambda dodać 1. Razy -- jeżeli pomnożę tych dwóch kolesi, lambda kwadrat odjąć 4 lambda. Odjąć 2 lambda a potem minus 2 lambda. Czyli odjąć 4 lambda. Dodać 4. A potem mam to dodać 8 tutaj. A potem mam -- zobaczmy. Mam minus 4 razy lambda. Pozwólcie, że wszystko uproszczę. Czyli mam minus 4 lambda, dodać 8, odjąć lambda, odjąć 1, odjąć 4 lambda dodać 8. A potem pozwólcie mi trochę uprościć to tutaj. Czyli ten koleś tutaj -- zobaczmy. Wyrazy wolne, mam 8 mam minus 1, mam 8 i mam 8. Czyli 24 odjąć 1, co daje 23. A potem składniki zawierające lambda. Mam minus 4 lambda, mam minus lambda i mam minus 4 lambda. Czyli to daje minus8, minus 1. Czyli mam minus 9 lambda. Dodać 23. A teraz muszę uprościć to. Najpierw mogę wziąć lambda i pomnożyć przez całe to wyrażenie tutaj. Czyli dostanę lambda do trzeciej odjąć 4 lambda kwadrat dodać 4 lambda. A potem mogę wziąć tę jedynkę i pomnożyć przez nią to wyrażenie. Czyli mam dodać lambda kwadrat, odjąć 4 lambda dodać 4. A teraz oczywiście, mamy te dwa składniki tutaj. Czyli musimy uprościć je znowu. Czyli jakie są nasze wszystkie wyrazy wolne? Mamy 23 i mamy dodać 4. Czyli mamy 27. Plus 27. A potem, jakie są nasze wszystkie czynniki zawierające lambdę? Mamy minus 9 lambda a potem mamy -- zobaczmy. Mamy minus 9 lambda, mamy dodać 4 lambda, a potem mamy minus 4 lambda. Czyli te dwa się odejmują. Czyli mamy tylko minus 9 lambda. A potem, jakie są moje składniki z lambda kwadrat? Mam plus lambda kwadrat i mam minus 4 lambda kwadrat. Czyli jeżeli dodamy te dwa, to będzie minus 3 lambda kwadrat. minus 3 lambda kwadrat. No i wreszcie, mam tylko jedno lambda do trzeciej, to tutaj. Czyli to jest wielomian charakterystyczny naszej macierzy. Czyli to jest wielomian charakterystyczny, a to przedstawia wyznacznik dla dowolnego lambda. Wyznacznik tej macierzy dla dowolnego lambda. A powiedzieliśmy, że to ma być równe 0, wtedy i tylko wtedy gdy, lambda jest wartością własną. Czyli musimy przyrównać to do 0. No i na nieszczęście, lub na szczęście dla nas, nie ma trywialnych rozwiązań. Istnieje ogólna metoda rozwiązania, ale bardzo skomplikowana, i jest to zwykle strata czasu. Czyli będziemy tutaj uprawiać sztukę faktoryzowania wielomianu. Wziąłem to zadanie z książki i myślę, że mogę spokojnie powiedzieć, że jeżeli kiedykolwiek będziecie to robić, na zajęciach na zajęciach z algebry -- to niekoniecznie w kontekście wartości własnych -- będziecie mieli prawdopodobnie do czynienia z całkowitymi rozwiązaniami. A jeżeli macie do czynienia z całkowitymi rozwiązaniami, to wasze pierwiastki będą dzielnikami tego składnika tutaj. Szczególnie, jeżeli współczynnik tutaj jest równy 1. Czyli wasze potencjalne pierwiastki -- w tym wypadku, jakie są dzielniki 27? Mamy 1, 3, 9 i 27. Czyli to są wszystko potencjalne pierwiastki. Możemy je po prostu sprawdzić. 1 do trzeciej daje 1 odjąć 3. Czyli spróbuję 1. Czyli jak próbujemy 1, to mamy 1 odjąć 3 odjąć 9 dodać 27. To nie jest równe 0. To jest minus 2 minus 9, czyli minus 11. Plus 16. To nie jest równe 0. Czyli 1 nie jest pierwiastkiem. Jeżeli wypróbujemy 3, to dostaniemy 3 do trzeciej, czyli 27. Odjąć 3 razy 3 kwadrat, czyli minus 3 razy 3, czyli minus 27. Minus 9 razy 3, czyli minus 27. Dodać 27. To jest równe 0. Czyli szczęśliwie dla nas, w naszej drugiej próbie znaleźliśmy jedno zero tego. Czyli jeżeli 3 jest pierwiastkiem, to oznacza że x odjąć 3 jest jednym z czynników tego. Czyli to oznacza, że to będzie x odjąć 3 razy coś innego. Powinienem raczej powiedzieć lambda odjąć 3. A więc zobaczmy jaki będzie inny pierwiastek. Czyli jeżeli wezmę lambda odjąć 3 i podzielę to tutaj, lambda do trzeciej odjąć 3 lambda kwadrat odjąć 9 lambda dodać 27, to co dostanę? Lambda pomnożona przez lambda kwadrat daje lambda do trzeciej. Lambda kwadrat razy to. Lambda kwadrat razy lambda daje lambda do trzeciej. Lambda kwadrat razy minus 3 daje minus 3 lambda kwadrat. Odejmujemy tych kolesi i dostajemy 0. Dostajemy 0. I możemy tu wstawić -- właściwie mogliśmy to zrobić inaczej. Mogliśmy wstawić tutaj minus 9. Możemy właściwie wszystko na dole przepisać. Czyli mamy minus 9 lambda dodać 27. Możecie sobie wyobrazić, że po prostu odjęliśmy to od tego całego wyrażenia tutaj. I zostały nam te składniki tutaj. Czyli lambda odjąć 3 ma dać to. No cóż lambda ma dać 9 lambda. Żeby to dostać trzeba pomnożyć przez minus 9. Czyli piszę minus 9 tutaj. Minus 9 razy lambda minus 3 daje minus 9 lambda dodać 27. Czyli poszło bardzo ładnie. Dostajemy 0. Nasz wielomian charakterystyczny uprościł się do iloczynu lambda odjąć 3 razy lambda kwadrat odjąć 9. I oczywiście to ma się równać 0, jeżeli lambda jest rzeczywiście wartością własną naszej macierzy. A to się łatwo rozkłada na czynniki. Czyli dostajemy lambda odjąć 3 razy -- lambda kwadrat odjąć 9 to jest po prostu lambda dodać 3 razy lambda odjąć 3. I to wszystko równa się 0. A te pierwiastki -- jeden z nich już znamy. Wiemy, że 3 jest pierwiastkiem, a to też mówi nam, że 3 jest pierwiastkiem. Czyli możliwe wartości własne naszej macierzy A, naszej macierzy 3 na 3 którą mieliśmy tutaj na górze -- tej macierzy A tutaj-- -- możliwe wartości własne to: lambda równe 3 albo lambda równe minus 3. To są dwie wartości, dla których nasz wielomian charakterystyczny, albo wyznacznik tej macierzy, jest równy 0, co jest warunkiem, który musi być spełniony żeby lambda było wartością własną dla jakiegoś niezerowego wektora v. W następnym filmie znajdziemy wektory własne, wiedząc już jakie są wartości własne. wiedząc już jakie są wartości własne.