Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:5:39
0 punktów energii
Uczysz się do testu? Skorzystaj z tych 5 lekcji na temat Alternatywne układy współrzędnych (podstawy).
Zobacz 5 lekcji
Transkrypcja filmu video (w języku angielskim)
. W poprzednim filmie pokazaliśmy, że jeżeli liczba lambda spełnia to równanie dla jakichś niezerowych wektorów v, to wyznacznik z lambda razy macierz jednostkowa odjąć A musi się rónwać 0. Albo możemy przepisać to, stwierdzając, że lambda jest wartością własną macierzy A, wtedy i tylko wtedy gdy, wyznacznik z lambda razy macierz jednostkowa odjąć A jest równe 0. Zobaczmy teraz, czy możemy wykorzystać ten fakt do znalezienia wartości włashych w jakimś konkretnym przypadku. Zróbmy więc prosty przykład 2 na 2, zróbmy R2. Powiedzmy, że A jest równe macierzy 1, 2 i 4, 3. I chcę znaleść wartości własne macierzy A. A więc jeśli lambda jest wartością własną macierzy A, to wtedy ta własność mówi nam, że wyznacznik z lambda razy macierz jednostkowa, czyli to będzie macierz jednostkowa w R2. Czyli lambda razy 1, 0, 0, 1, odjąć A, 1, 2, 4, 3 ma być równe 0. A czemu to jest równe? To tutaj to jest wyznacznik. Lambda razy to oznacza lambda pomnożone przez wszystkie te składowe. A więc lambda razy 1 daje lambda, lambda razy 0 daje 0, lambda razy 0 daje 0, lambda razy 1 daje lambda. I od tego odejmujemy A. Czyli dostajemy 1, 2, 4, 3 i to ma się równać 0. A potem ta macierz, albo ta różnica macierzy, to jest żeby pamiętać o wyznaczniku. To jest wyznacznik. Pierwszy element macierzy będzie równy lambda odjąć 1. Drugi jest równy 0 odjąć 2, czyli minus 2. Trzeci jest równy 0 odjąć 4, czyli minus 4. I wreszcie czwarty element, jest po prostu równy lambda odjąć 3. Powtarzam w skócie co się stało. Elementy na diagonali -- przede wszyskim wszędzie zmieniliśmy znak, prawda? Zmieniliśmy wszędzie znak. A elementom na diagonali przybyła lambda na początku. To był produkt uboczny tego wyrażenia tutaj. Czyli ile wynosi wyznacznik tej macierzy 2 na 2? No cóż wyznacznik tego jest po prostu równy temu razy to, odjąć to razy tamto. Czyli mamy lambda odjąć 1, razy lambda odjąć 3, odjąć iloczyn tych dwóch kolesi. Czyli minus 2 razy minus 4 daje plus 8, czyli odejmujemy 8. To jest wyznacznik tej macierzy tutaj, albo tej macierzy tutaj, która sprowadza się do tej macierzy. I to musi być równe 0. Powodem dla którego to ma być równe 0, jest fakt który widzieliśmy wcześniej, że ta macierz ma nietrywialne jądro. A ponieważ ma nietrywialne jądro, nie może być odwracalna i jej wyznacznik musi być równy 0. Czyli teraz mamy tutaj ciekawe równanie wielomianowe. Możemy to wymnożyć. Co dastaniemy? Pomnóżmy to. Dostajemy lambda kwadrat, odjąć 3 lambda, odjąć lambda, dodać 3, odjąć 8, równa się 0. Albo lambda kwadrat, odjąć 4 lambda, odjąć 5, równa się 0. I jeżeli chcecie znać terminologię to wyrażenie tutaj nazywa się wielomianem charakterystycznym. wielomianem charakterystycznym. Trochę terminologii: wielomian charakterystyczny. Ale jeżeli chcemy znaleść wartości własne macierzy A, musimy rozwiązać to równanie tutaj. To jest zwykłe równanie kwadratowe. Łatwo znaleźć rozkład na czynniki. Zastanówny się: dwie liczby, których iloczyn jest minus 5, a suma jest równa minus 4. Rozwiązaniem jest minus 5 i plus 1, czyli mamy lambda odjąć 5 razu lambda dodać 1, równa się 0, zgadza się? Minus 5 razy 1 daje minus 5, a minus 5 dodać 1 lambda równa się minus 4 lambda. Czyli dwa rozwiązania naszego równania charakterystycznego, pierwiastki wielomianiu charakterystycznego to lambda równe 5 lub lambda równe minus 1. Czyli korzystając po prostu z własności, którą udowodniliśmy w poprzednim filmie, byliśmy w stanie obliczyć, że dwie wartości własne macierzy A, to labda równe 5 i lambda równe minus 1. No ale to jest tylko rozwiązanie części problemu, prawda? Wiemy, że szukamy wartości własnych i wektorów własnych, prawda? Wiemy, że to równanie jest spełnione przez lambdy równe 5 albo minus 1. Czyli znamy wartości własne, ale musimy teraz znaleźć wektory własne. Tym zajmiemy się w następnym filmie. Tym zajmiemy się w następnym filmie.