Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:14:34
0 punktów energii
Uczysz się do testu? Skorzystaj z tych 5 lekcji na temat Alternatywne układy współrzędnych (podstawy).
Zobacz 5 lekcji
Transkrypcja filmu video (w języku angielskim)
W poprzednim filmie, zaczęliśmy badać macierz 2 na 2 A W poprzednim filmie, zaczęliśmy badać macierz 2 na 2 A równą 1, 2, 4, 3. Wykorzystaliśmy fakt, że lambda jest wartością własną A, wtedy i tylko wtedy gdy wyznacznik labda razy macierz jednostkowa - w tym wypadku macierz jednostkowa 2 na 2 -- -- odjąć A jest równy 0. W ten sposób otrzymaliśmy wielomian charakterystyczny i znaleślismy jego pierwiastki. Powiedzieliśmy, że wartości własne A są równe 5 oraz minus 1. Tyle widzieliśmy w poprzednim filmie. Powiedzieliśmy, że jeżeli chcemy rozwiązać równanie macierz A razy jakiś wektor własny równa się labda razy ten wektor, to dwie labdy, dla których to równanie ma rozwiązanie, to labda równe 5 lub minus 1. to labda równe 5 lub minus 1. Zakładając, że wektory własne są niezerowe. Zakładając, że wektory własne są niezerowe. Czyli mamy nasze wartości własne, ale to nie jest jeszcze nawet połowa sukcesu. To co na prawdę chcemy mieć to nasze wektory własne i nasze wartości własne. Zobaczmy, czy możemy je znaleźć. Jeżeli przekszałcimy trochę to równanie, robilismy już wcześniej -- właściwie, nawet dostaliśmy w ten sposób to stwierdzenie tutaj. Możemy przepisać to tutaj jako: wektor 0 równa się labda razy mój wektor własny odjąć A razy mój wektor własny. Po prostu odjąłem Av od obu stron. Wiemy, że lambda razy wektor to jest to samo, co lambda razy macierz jednostkowa, razy ten wektor. Czyli przepiszę to teraz tak. Mnożymy macierz jednostkową razy wektor własny albo dowolny wektor, po prostu dostaniemy ten wektor. Czyli te dwie rzeczy są równoważne. Odjąć Av. Odjąć Av. To wszystko musi być ciągle równe wektorowi zerowemu. To co do tej pory zrobiłem, to przekształcanie tego. To jest dokładnie to samo, co robilismy żeby dostać to równanie tutaj. Wyciągamy v za nawias, bo wiemy, że mnożenie macierzy i wektorów jest rozdzielne względem dodawania. I dostajemy lambda razy macierz jednostkowa odjąć A razy wektor własny ma być równe 0. Inny sposób wysłowienia tego, to dla każdej wartości własnej lambda, napiszę: dla każdej wartości własnej lambda, wektory własne odpowiadające tej lambdzie, możemy je nazywać przestrzenią własną tego lambda. To jest nowy termin: przestrzeń własna. To jest nowy termin: przestrzeń własna. Przestrzeń własna oznacza wszystkie wektory własne, które odpowiadają pewnej wartości własnej. Przestrzeń własna dla jakiejś określonej wartości własnej jest zbiorem wektorów, spełniających to równanie. A zbiór wektorów spełniających to równanie, jest po prostu jądrem tego tutaj. Czyli jest jądrem tej macierzy tutaj. Jądrem macierzy lambda razy macierz jednostkowa odjąć macierz A. I wszystko co tu taj zrobiłem, to jest przypadek ogólny. A teraz możemy zastosować ten wynik do macierzy A którą mam tu. Wiemy, że 5 jest wartością własną. Powiedzmy, że dla lambda równego 5, przestrzeń własna odpowiadająca piątce jest równa jądru czego? A co to jest 5 razy macierz jednostkowa? To będzie macierz jednostkowa 2 na 2. 5 razy macierz jednostkowa to będzie 5, 0, 0, 5, odjąć A. Czyli 1, 2, 4, 3. Czyli to jest równe jądru tej macierzy. 5 odjąć 1 daje 4. 0 odjąć 2 daje minus 2. 0 odjąć 4 daje minus 4. A potem 5 odjąć 3 daje 2. A więc jądro tej macierzy tutaj -- a ta macierz jes po prostu numeryczną reprezentacją tej macierzy tutaj. Jądro tej macierzy jest zbiorem wszystkich wektorów, które spełniają to równanie, albo wszystkich wektorów własnych odpowiadających tej wartości własnej. Albo, przestrzenią własną odpowiadającą wartości własnje 5. To wszystko są równoważne stwierdzenia. Czyli musimy tylko znaleźć jądro tej macierzy, czyli wszystkie wektory które spełniają równanie 4, -2, -4, 2 razy jakiś wektor własny jest równe wektorowi zerowemu. I jądro macierzy jest równe jądru macierzy wierszowo zredukowanej. Jak wygląda postać wierszowo zredukowana tego kolesia? No cóż, myślę że dobrym punktem startowym -- zostawię pierwszy wiersz bez zmian, 4, -2. A drugi wiersz zastąpię sumą drugiego i pierwszego wiersza. Czyli -4 dodać 4 daje 0. 2 dodać minus 2 daje 0. Teraz podzielę pierwszy wiersz przez 4 i dostanę 1, minus 1/2. A tu mam 0, 0. Jakie jest jądro tego? To odpowiada v. To razy v1, v2 -- to jest inny sposób zapisania mojego wektora własnego v -- ma być równe 0. Albo inaczej można powiedzieć, że pierwsza składowa v1, która odpowiada tej kolumnie, dodać, albo odjąć 1/2 razy druga składowa musi być równe temu zeru tutaj. Albo, v1 równa się 1/2 razy v2. Czyli jeżeli chciałbym napisać wszystkie wektory własne które to spełniają, mógłbym to zapisać w ten sposób. Moja przestrzeń własna odpowiadająca wartości własnej 5, odpowiadająca wartości własnej 5, jest równa zbiorowi wszystkich wektorów v1, v2, które są równe jakiemuś czynnikowi skalującemu -- niech to będzie t -- razy co? Jeżeli powiemy, że v2 jest równe t, czyli v2 będzie równe t razy 1. A wtedy v1 będzie równe 1/2 razy v2 albo 1/2 razy t. albo 1/2 razy t. Tak po prostu. Tak po prostu. Dla dowolnego t należącego do zbioru liczb rzeczywistych. Jeżeli chcielibyśmy, moglibyśmy to przeskalować. Moglibyśmy powiedzieć dowolna liczba razy 1, 2. To też by rozpinało. Właściwie pozwólcie mi to napisać. Zrobi się trochę jaśniej. Właściwie, nie muszę tego robić. Czyli moglibyśmy napisać, że przestrzeń własna dla wartości własnej 5 jest równa przestrzeni rozpiętej na wektorze 1/2, 1. Czyli jest to linia w R2. To są wszystkie wektory własne, które spełniają -- to działa dla równania, w którym wartość własna jest równa 5. A co z wartością własną równą minus 1? równą minus 1? Zajmijmy się tym przypadkiem. Kiedy lambda jest równe minus 1, to mamy -- to będzie jądro... Czyli przestrzeń własna dla lambda równego minus 1 będzie równa jądru macierzy lambda razy macierz jednostkowa, czyli -11, 0, 0, -1, będzie równa minus 1 razy 1, 0, 0, 1, czyli minus 1 tutaj, odjąć A. Czyli odjąć 1, 2, 4, 3. A to jest równe jądru macierzy -- minus 1, odjąć 1 daje minus 2. 0 odjąć 2 daje minus 2. 0 odjąć 4 daje minus 4, a minus 1 odjąć 3 daje minus 4. A to ma być równe jądru macierzy w postaci wierszowo zredukowanej. Czyli możemy wykonać jakieś operacje na wierszach tej macierzy. Sprowadzę ją do postaci wierszowo zredukowanej. A więc jeżeli zastąpię drugi wiersz dodając do niego 2 razy pierwszy wiersz, czyli pierwszy pozostawiam bez zmian, minus 2, minus 2, a teraz drugi wiersz -- zastąpię go sumą drugiego wiersza i pierwszego pomnożonego przez 2. Albo lepiej zastąpię go sumą drugiego i pierwszego pomnożonego przez minus 2. Czyli minus 4 dodać 4 da 0. Minus 4 dodać 4 da 0. A teraz jeżeli podzielę górny wiersz przez minus 2, to dostanę macierz w postaci zredukowanej, czyli macierz 1, 1, 0, 0. A więc przestrzeń własna odpowiadająca wartości własnej minus 1 jest równa jądru tej macierzy tutaj. To jest zbiór wszystkich wektorów, które spełniają to równanie: 1, 1, 0, 0, pomnożone przez v1, v2 równa się 0. Czyli mamy v1 dodać -- to nie są wektory -- to są składowe. v1 dodać v2 równa się 0. v1 dodać v2 równa się 0. Ponieważ 0 jest równe temu tutaj. Czyli 1 razy v1 dodać 1 razy v2 będzie równe temu 0 tutaj. Albo mogę napisać v1 równa się minus v2. Albo jeżeli powiemy, że v2 równa się t, co v1 jest równe minus t. Możemy też powiedzieć, że przestrzeń własna dla wartości własnej minus 1 składa się ze wszystkich wektorów, v1, v2, któe są równe jakiemuś skalarowi t pomnożonemu przez -- v1 równa się minus t, a v2 równa się plus t. Albo możemy powiedzieć, że to jest równe przestrzeni rozpiętej na wektorze minus 1 i 1. A teraz zróbmy rysunek, żeby lepiej zrozumieć co właśnie zrobiliśmy. Udało nam sie znaleźć dwie wartości własne 5 i minus 1. Udało nam się też znaleźć wszystkie wektory, które -- albo udało nam się znaleźć zbiór wektorów które są wektorami własnymi, które odpowiadają każdej z tych wartości własnych. A więc narysujmy je. Mamy zatem R2, narysuję osie. To jest moja oś pionowa. To jest moja oś pozioma. Wszystkie wektory, które odpowiadają lambda równemu 5 leżą na tej linii: 1/2, 1. Poprzestrzeni rozpiętej na wektorze 1/2, 1. Czyli to jest 1. To 1. Czyli mamy 1/2 i 1, tak po prostu. To jest ten wektor, wektor rozpinający. Ale wszystko co jest na tym rozpięte, wszystkie jego wielokrotności są dobrymi wektorami własnymi. Czyli wszystko wzdłuż tej linii, wszystkie wektory, które tutaj narysujecie pomiedzy punktami na tej linii. Wszystkie te wektory, każdy z nich będzie dobrym wektorem własnym, a odpowiadająca mu wartość własna jest równa 5. Czyli dajecie mi tego kolesia tutaj. Kiedy działamy na niego transformacją, to on się pomnoży przez 5. to on się pomnoży przez 5. Jeżeli ten koleś to jest x, T(x) będzie równe 5 razy ten koleś. Jakikolwiek wektor wybierzecie na tej linii, transformacja tego kolesia, transformacja oznacza pomnożenie go przez macierz A. Gdzie ja miałem macierz A? Macierz A tutaj na górze. Po prostu skalujemy tego kolesia mnożąc go przez 5 w każdym kierunku. To było dla lambda równego 5. A dla lambda równego 1 mamy przestrzeń rozpiętą na tym wektorze równym minus 1, 1. Wygląda on tak. Czyli ten wektor wygląda tak. Zajmujemy się podprzestrzenią na nim rozpiętą. Zajmujemy się podprzestrzenią na nim rozpiętą. Każdy wektor, kiedy narysujemy go zaczepionego w zerze, leży na tej linii, albo wskazuje punkt na tej linii i jest wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej minus 1. Czyli labda równa się minus 1. Powiedzmy, że mamy tutaj wektor rozpinający. Działamy transformacją i dostajemy minus 1 razy ten wektor. Czyli jeżeli to jest x, to transformacja x będzie tym tutaj. Ta sama długość, tylko przeciwny zwrot. Jeżeli mamy tego kolesia tutaj i działamy transformacją to będzie leżał na tej samej linii, tak po prostu. Czyli dwie przestrzenie własne dla macierzy -- gdzie to napisałem? Wydaje mi się, że to była macierz 1, 2, 3 -- 1, 2, 4, 3. Jej wartości własne, to było 5 i minus 1. I ta macierz ma nieskończenie wiele wektorów własnych, które tworzą dwie przestrzenie własne. Każda z nich odpowiada jednej z wartości własnych A linie reprezentują te dwie przestrzenie własne. Jak dacie mi dowolny wektor z jednego z tych zbiorów, to będzie on wektorem własnym. Za dużo używam słowa wektor. Dacie mi dowolny wektor z jednego z tych zbiorów, a on będzie wektorem własnym macierzy A. A potem, w zależności od tego na której linii on leży wiemy, jak będzie się transformował. Jeżeli będzie leżał na tej linii, po transformacji przekształcony wektor będzie równy pięć razy temu wektorowi. Jeżeli weźmiemy jeden z tych wektorów własnych i przetransformujemy go, przekształcony wektor będzie równy minus 1 razy wyjściowy wektor. Tak czy siak, wiemy już co to są wartości własne, wektory własne i przestrzenie własne. A nawet lepiej, bo wiemy jak je znaleźć. A nawet lepiej, bo wiemy jak je znaleźć.