Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:7:43
0 punktów energii
Uczysz się do testu? Skorzystaj z tych 5 lekcji na temat Alternatywne układy współrzędnych (podstawy).
Zobacz 5 lekcji
Transkrypcja filmu video (w języku angielskim)
Dla każdej transformacji która przekształca z Rn do Rn, czyniliśmy to bezpośrednio ale jest warto jest znaleźć wektory które tylko skalują się poprzez transformację Tak więc wektory które przyjmują formę, taką żę mój wektor jest równy przeskalowanej wersji wektora. Jeśli nie wydaje Ci się to znajome, możemy sobie troche przypomnieć. Kiedy szukaliśmy wektorów bazy dla przekształcenia - pozwól, że to narysuję To było z R2 do R2 pozwól mi narysować tutaj R2 i powiedzmy, że miałem wektor v1 który był równy wektorowi [1 2] i mamy linię rozciągającą się przez ten wektor Mieliśmy ten przykład kilka filmów temu I miałem transformację, która zamieniała wektory na symetryczne względem tej linii (przerzucała) więc jeśli nazwiemy tą linię I, T była transformacją z R2 do R2, która przerzucała przez tą linię przerzucała wektor przez l (lustrzane odbicie) W tej transformacji, jeśli miałem jakiś przykładowy wektor który wyglądał tak, powiedzmy że to x to jest wektor x, to transformacja x wygląda jakoś tak Jest po prostu przerzucona przez linię To była transformacja x i jeśli pamiętasz to wideo, to szukaliśmy takiej zmiany podstawy (bazy), która pozwoliłaby nam wymyślić macierz przekształcenia, chociażby w alternatywnej bazie. i wtedy moglibyśmy wymyślić macierz przekształcenia w standardowej bazie i baza jaką wybraliśmy, miała takie wektory bazowe które nie zmieniały się przez transformację albo takie które tylko były przez tą transformację skalowane. Dla przykładu, jeśli wezmę transformację wektora v1 to w wyniku dostaję v1. Czyli mogę powiedzieć, że transformacja v1 równa była 1 razy v1. Jeśli teraz zastosujemy tutaj ten wzór który napisałem tutaj, lambda była byłaby równa 1 i oczywiście, wektor w tym przypadku to v1. Transformacja po prostu skaluje wektora v1 o 1. W tym samym zagadnieniu, mieliśmy też inny wektor na który patrzyliśmy. to był wektor minus. Powiedzmy, że jest to wektor v2 który, powiedzmy jest [2;-1] i jeśli jego przetransformujesz, to ponieważ był ortogonalny do linii po prostu po prostu się odwrócił i to także był ciekawy wektor ponieważ transformacja v2 w tej sytuacji była równa czemu? po prostu minus v2 Jest równa minus v2. Albo moglibyśmy powiedzieć, że transformacja v2 jest równa minus 1 razy v2 i to są interesujące wektory ponieważ jeśli zdefiniujemy nową bazę (układ współrzędnych) z nimi jako wektorami bazowymi jest o dużo łatwiej wymyślić macierz transformacji i z tą bazą o wiele łatwiej się liczy. W przyszłości pogłębimy ten temat na ten moment, wierzę że zdajesz sobie sprawę, że te wektory są interesujące. Są też przykłady, gdzie mamy płaszczyzny opisane jakimiś wektorami. i mieliśmy jakiś wektor który wystawał z płaszczyzny w ten sposób. I transformowaliśmy rzeczy poprzez branie lustrzanego obrazu i w tej transformacji, te czerwone wektory zupełnie się nie zmieniają a ten koleś zostaje odwrócony. Więc może te może by się nadawały bazę. albo te mogły by być dobrymi wektorami bazowymi. I tak było. Więc uogólniając, zawsze jesteśmy zainteresowani wektorami które tylko skalują się przez transformację. To nie będą dowolne wektory, tak? Ten wektor, który tu narysowałem, nie tylko się skaluje, ale się zmienia, ten kierunek się zmienia. Wektory które się skalują mogą zmienić strony - mogą iść z tego kierunku w ten kierunek, albo stąd dotąd . albo może to jest x i jego transformacja jest przeskalowaną wersją x albo może jest tak ta linia na której się rozciągają, się nie zmieni. i tym się będziemy zajmować. One mają specjalną nazwę. i mają specjalną nazwę i chcę to mocno podkreślić bo są przydatne. To nie jakaś matematyczna gra w która gramy, chociaż czasem wpadamy w tą pułapkę. One są faktycznie użyteczne. Są przydatne do definiowania podstaw, ponieważ w tych podstawach jest łatwiej znaleźć macierze przekształcenia. Są bardziej naturalnymi układami współrzędnych. I często, macierze przekształcenia w tych bazach są łatwiejsze do obliczenia. więc mają one specjalne nazwy Dowolny wektor który spełnia to tutaj jest nazwany wektorem własnym przekształceniaT. a ta lambda, współczynnik staje się wartością własną związaną z tym wektorem własnym. Więc w tym przykładzie, który dałem gdzie transformacja przerzucała przez linię, v1, wektor [1;2] jest wektorem własnym naszej transformacji Więc [1;2] jest wektorem własnym. i związana z nim wartość własna wynosi 1. Ten koleś też jest wektorem własnym wektor [2;-1] On też jest wektorem własnym. To tylko słowo ale oznacza, że ten wektor tylko jest skalowany przez transformację. Nie zmienia się w żaden znaczący sposób tylko jest czynnikiem skalującym. I odpowiadającą mu wartość własna wynosi minus 1 Jeśli ta transformacja - nie pamiętam ile wynosi jej macierz transformacji. Zapomniałem. Jakiś czas temu ją rozszyfrowaliśmy. Jeśli ta transformacja może być reprezentowana jako iloczyn macierzy i wektora- a powinna ponieważ jest liniową transformacją - to każde v które spełnia transformację- napiszę transformacja v jest równa lambda v i spełnia również równanie A v To te też nazwalibyśmy wektorami własnymi A, ponieważ A jest po prostu macierzowym przedstawieniem tej transformacji. Więc w tym przypadku, to byłby wektor własny A a to byłaby przypisana mu wartość własna Więc jeśli dasz mi macierz, która reprezentuje jakieś liniowe przekształcenie. Możemy odkryć też te rzeczy. W następnym wideo wymyślimy sposoby wymyślania tych rzeczy. Ale w tym wideo chcę abyś załapał że łatwo powiedzieć, 'a' wektory, które się mało zmieniają Ale zrozum co to znaczy To po prostu oznacza, że się skalują albo odwracają. Kierunek tych linii się nie zmienia. i przyczyna dla których to jest dla nas ciekawe jedna z przyczyn, dla których są one dla nas ciekawe jest to że są ciekawymi wektorami bazowymi -- wektorami bazowymi których macierze transformacji są, może obliczeniowo łatwiejsze, albo czynią lepsze układy współrzędnych.