Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:9:19
0 punktów energii
Uczysz się do testu? Skorzystaj z tych 5 lekcji na temat Alternatywne układy współrzędnych (podstawy).
Zobacz 5 lekcji
Transkrypcja filmu video (w języku angielskim)
Mam przekształcenie T, czyli odwzorowanie z Rn w Rn, które może być reprezentowane przez macierz A. Czyli x jest przekształcane na A razy x. Widzielismy w poprzednim filmie, że warto szukać wektorów, które podlegają jedynie skalowaniu przez to odwzorowanie. Czyli interesują nas wektory, dla których przekształcenie tego specjalnego wektora, jest równe oczywiście A razy v i mówimy, że ten wektor jest jedynie skalowany przez, jakiś czynnik -- lambda razy v. Te wektory są ciekawe, ponieważ przydają się jako szczególne wektory bazowe. Wiecie, macierz przekształcenia w takiej bazie -- -- to jest jeden z wektorów bazy -- może być łatwiejsza do obliczenia. Mogą to być lepsze współrzędne. Ale, takie wektory są ogólnie interesujące. Wektory spełniające to równanie, nazywamy wektorami własnymi. Ich czynniki skalujące nazywamy wartościami własnymi związanymi z tym odwzorowaniem i tym wektorem własnym. Mam nadzieję, że dzięki poprzedniemu filmowi, doceniacie choć trochę, dlaczego te wektory są użyteczne. A teraz w tym filmie spróbujmy ustalić czym są niektóre z nich. Opierając się na tym, co już wiemy, że jeżeli dacie mi wektor własny, to mogę sprawdzić, że on rzeczywiście nim jest albo obliczyć wartość własną. Moge to sprawdzić. Ale nie znamy systematycznej metody znajdowania wartości i wektorów własnych. Zobaczmy, czy uda nam się coś wymyślić. Czyli ogólnie szukamy rozwiązania równania A razy v jest równe lambda razy v. Równa się lambda razy wektor. Jedno rozwiązanie możemy od razy zgadnąć, po prostu v równe wektorowi zerowemu. I to oczywiście jest rozwiązanie, chociaż normalnie 0 nie jest uważane za wektor własny, ponieważ nie jest to użyteczny wektor bazowy. Nie wnosi nic do bazy. Nie zwiększa ilości wektorów jakie można rozpiąć na bazie do której go dodamy. W dodatku nie jest jasne, jaka jest odpowiadająca mu wartość własna. Ponieważ jeżeli v jest równe 0, to dowolna wartość własna będzie tu pasować. Czyli normalnie, kiedy szukamy wektorów własnych, ro robimy założenie, że szykamy niezerowych wektorów własnych. Czyli szukamy wektorów, które nie są równe wektorowi zerowemu. Uwzględniając to, zobaczmy, czy możemy się pobawić z tym równaniem i zobaczyć, czy przynajmniej znajdziemy w tym filmie wartości własne. Odejmijmy Av od obu stron równania, dostaniemy wektor 0 równa się lambda v odjąć A razy v. Teraz możemy przepisać v jako -- v jest tym samym co macierz jednostkowa razy v, zgadza się? v jest elementem Rn. Macierz jednostkowa n na n. Mnożymy i dostajemy v spowrotem. Czyli jeżeli przepiszemy v w ten sposób, przynajmniej w tej części wyrażenia -- i pozwólnie że zamienię strony -- to dostaniemy lambda razy -- zamiast v napiszę macierz jednostkową macierz jednostkową n na n razy v odjąć A razy v, równa się wektorowi zerowemu. Teraz mam macierz razy wektor v odjąć inna macierz razy v. Iloczyn macierzy i wektora ma własność rozdzielności mnożenia względem dodawania. Czyli to jest równoważne macierzy lambda razy macierz jednostkowa odjąć A razy vektor v. I całość jest równa zero, tak? Tutaj mamy jakąś macierz. I cały powód, dla którego zrobiłem to podstawienie, był taki, żeby zapisać to jako iloczyn macierzy i wektora zamiast zwykłego mnożenia wktora przez skalar. I w ten sposób, mogłem wyciągnąć za nawias wektor v i zapisać po prostu całe to równanie jako iloczyn macierzy i wektora i przyrównać do 0. Teraz -- jeżeli założymy, że to równanie jest spełnione i pamiętajcie o założeniu, że v nie jest równe 0. To co to znaczy? Widzimy, że v jest elementem jądra tej macierzy tutaj. Pozwólcie, że to zapiszę. v należy do jądra macierzy labda I odjąć A. Wiem, że to może wyglądać na trochę zawiłe, ale wyobraźcie sobie, że to jest jakaś macierz B. Tak może będzie prościej. To jest po prostu jakaś macirz, dobrze? To jest B. Zróbmy takie podstawienie. Wtedy to równanie przyjmuje postać Bv równa się 0. Teraz, jeżeli chcemy popatrzeć na jądro tego, jądro B składa się ze wszystkich wektorów x należących do Rn, dla których B razy x równa się 0. No cóż, v jest oczywiście jednym z nich. Prawda? Ponieważ B razy v jest równe 0. Zakładamy, że B spełnia to równanie i wszystko sprowadza się do założenia, że B musi spełniać to równanie. A v nie jest równe 0. Czyli v jest elementem jądra i w dodatku nietrywialnym elementem jądra. Powiedziliśmy już, że wektor 0 jest zawsze elementem jądra i to by wystarczyło. Ale zakładamy, że v jest różne od zera. Interesują nas tylko niezerowe wektroy własne. A to oznacza, że jądro tego kolesia musi byc nietrywialne. Czyli oznacza to, że jądro macirzy lambda I odjąć A jest nietrywialne. Wektor 0 nie jest jedynym elementem jądra. I być może pamiętacie, że ogólnie -- napiszę to ogólnie. Jeżeli mam macierz -- no nie wiem. Użyłem już A i B. Powiedzmy, że mam macierz D. Kolumny D są liniowe niezależne wtedy i tylko wtedy jądro D zawiera jedynie wektor 0. Zgadza się? Czyli jeżeli mam jakąś macierz tutaj, której jądro zawiera nie tylko wektor 0, to ta macierz ma liniowo zalezne kolulmny. Napisałem to, że pokazać wam co wiemy i fakt, że ta macierz nie ma trywialnego jądra mówi nam, że mamy doczynienia z liniowo zależnymi kolumnami. Czyli lambda I odjąć A -- wygląda to może dziwnie, ale to po prostu macierz -- musi mieć liniowo zależne kolumny. Albo inny sposób powiedzenia tego: jeżeli mamy liniowo zależne kolumny to macierz nie jest odwracalna, co oznacza również, że jej wyznacznik musi być równy 0. Wszystko to jest prawda. Jeżeli wyznacznik jest równy 0, to macierz nie jest odwracalna. Mamy liniowo zalezne kolumny. Jeżeli wyznacznik jest równy 0, to oznacza to również, że mamy nietrywialne elementy w jądrze. Czyli, jeżeli wyznacznik jest równy 0, to oznacza że istnieją pewne wartości lambda, dla których to zachodzi, dla niezerowych wektorów v. Czyli jeżeli istnieją jakieś rozwiązania, jeżeli istnieją niezerowe wektory v, które spełniają równanie, to ta macierz tutaj musi mieć wyznacznik równy 0. I to zachodzi też w drugą stronę. Jeżeli ten koleś ma wyznacznik 0, to musi istnieć -- albo jeżeli istnieją takie lambdy, dla których ten koleś ma wyznacznik równy 0, to te lambdy spełniają to równanie. I moglibyśmy wnioskować w tę stronę. Jeżeli istnieją jakieś lambdy, które spełniają to, to wtedy te lambdy sprawią, że wyznacznik tej macirzy będzie równy zero. Napiszę to. Av jest równe lambda v, dla niezerowego v wtedy i tylko wtedy gdy wyznacznik z lambda I odjąć A jest równy 0. Nie, nie wektorowi zerowemu. Przepraszam, to po prostu równa się 0. Wyznacznik jest po prostu liczbą. I to jest nasze wielkie osiągnięcie. I wiem, że mówicie teraz: Sal, do czego mi sie to przyda? No wiecie, przeprowadziliśmy te wszystkie przekształcenia. Mówiłem trochę o jądrach macierzy. I moim wielkim osiągnięciem jest to ustalenie, że żeby to było spełniona dla jakiegoś niezerowego v, lambda musi mieć jakąś konkretną wartość. Czyli jeżeli wezmę wyznacznik z lambda razy macierz jednostkowa odjąć A, to musi to się równać 0. I powód, dla którego to jest użyteczne jest taki, że możecie napisać to równanie dla waszej macierzy, a potem rozwiązać, żeby znaleźć lambdy. I zrobimy to w następnym filmie.