Pokazujemy, że wektory własne tworzą bazę w przestrzeni wektorowej - film z polskimi napisami

Mówiłem sporo o tym, że wektory własne mogą Mówiłem sporo o tym, że wektory własne mogą stanowić dobrą bazę, być dobrymi wektorami bazowymi. Zajmijmy się tym pomysłem trochę głębiej. Powiedzmy, że mam jakieś przekształcenie. Powiedzmy, że to jest przekształcenie z Rn do Rn, które może być reprezentowane przez macierz A. Czyli przekształcenie x jest równe iloczynowi macierzy A wymiaru n na n razy x. Powiedzmy teraz, że mamy n liniowo niezależnych wektorów własnych macierzy A. Tak nie musi być zawsze, ale często tak jest. Z pewnością jest to możliwe. Załóżmy, że A ma n liniowo niezależnych wektorów własnych. wektorów własnych. Nazwę je v1, v2, i tak dalej aż do vn. Teraz, n liniowo niezależnych wektorów w Rn może oczywiście stanowić bazę Rn. Widzieliśmy to wiele razy. To co chcę wam pokazać w tym filmie, to że jest to bardzo dobry wybór bazy dla tego przekształcenia. Zajmijmy się tym. Przekształcenie każdego z tych wektorów -- napiszę to tutaj. Przekształcenie wektora v1 jest równe A razy wektor 1 a ponieważ wektor jest wektorem własnym A, to będzie równało się iloczynowi wartości własnej lambda 1 razy wektor 1. Możemy to zrobić dla wszystkich wektorów. Przekształcenie wektora 2 jest równe A razy v2 co jest równe wartości własnej lambda 2 razy v2. Opuszczam wszystkie pozostałe i idę od razu do n-tego wektora. Mamy n takich wektorów własnych. Moglibyśmy mieć więcej. Zakładamy, że A ma przynajmniej n liniowo niezależnych wektorów własnych. Ogólnie, moglibyśmy wziąć przeskalowane wersje tych wektorów i one też byłyby wektorami własnymi. Zobaczmy, czyli przekształcenie wektora vn jest równe A razy vn. I ponieważ to wszystko są wektory własne, A razy vn będzie po prostu równe lambda n, jakaś wartość własna, razy wektor vn. Teraz, czemu to jest dalej równe? Cóż, to się równa -- i to będzie dla was niewiarygodnie oczywiste, ale to jest to samo co lambda 1 razy v1 dodać o razy v2 i tak dalej aż do 0 razy vn. A to tutaj będzie równe 0 razy v1 dodać lambda 2 razy v2 i tak dalej, same zera razy wszystkie inne wektory aż do vn. A ten koleś tu na dole będzie równy 0 razy v1 dodać 0 razy v2 dodać 0 razy wszystkie wektory bazowe, te wektory własne, ale lambda n razy vn. To jest zaskakująco oczywiste, tak? Po prostu przepisałem to jako to plus banda wektorów zerowych Ale powód dla którego to napisałem jest taki, że za sekundę weźmiemy to jako bazę i będziemy szukali współrzędnych względem tej bazy, więc współrzędnymi tego kolesia będą lambda 1, 0, 0, ponieważ to są współczynniki przy naszych wektorach bazowych. Zróbmy to więc. Powiedzmy więc, że bierzemy to jako pewną bazę. Niech B będzie zbiorem -- właściwie nie potrzebuję tego pisać w ten sposób. Powiedzmy, że B, mam pewną bazę B, która jest równa temu. Chcę wam pokazać, że kiedy zmieniam bazę -- -- widzieliśmy to wcześniej -- w moich standardowych współrzędnych, czyli we współrzędnych względem bazy standardowej, dajecie mi jakiś wektor w Rn, ja mnożę go przez macierz A i dostaję obraz wektora w tym przekształceniu. To też będzie się działo w Rn. Wiemy teraz, że możemy zrobić zmianę bazy. Wiemy teraz, że możemy zrobić zmianę bazy. A jak zmieniamy bazę, jeżeli chcemy robić to w ten sposób, mnożymy przez odwrotność c, co jest -- pamiętacie macierz zmiany bazy C -- jeżeli chcecie iść w tę stronę, mnożycie przez C. Macierz zmiany bazy jest po prostu macierzą złożoną z tych wszystkich wektorów jako kolumn. Bardzo łatwo ją skonstruować. Ale kiedy zmieniamy bazę z x na naszą nową bazę, mnożymy przez odwrotność tego. Widzieliśmy to wiele razy. Jeżeli one wszystkie są ortonormalne, to wtedy to jest to samo co transpozycja. Możemy to też przyjąć jako założenie. Czyli to będzie x w naszej nowej bazie. I jeżeli chcemy znaleźć transformację, jeżeli chcemy znaleźć macierz zmiany bazy dla T względem naszej nowej bazy, to będzie to jakaś macierz D. I jeżeli pomnożymy D razy x, to dostaniemy tego kolesia, ale dostaniemy przedstawienie tego kolesia w bazie B. Obraz wektora x względem bazy B. A jeżeli chcemy przechodzić w tę i z powrotem między tym kolesiem i tym kolesiem, jeżeli chcemy iść w tę stronę, możemy pomnożyć to razy macierz C i dostaniemy transformację x. A jeżeli chcemy iść w tę stronę, to możemy pomnożyć przez odwrotność macierzy zmiany bazy. Widzieliśmy to już wiele razy. Ale twierdziłem, czy wspominałem, że jeżeli mam bazę złożoną z wektorów własnych A, to w tej bazie będzie to bardzo prosta macierz, że to może być układ współrzędnych w którym chcemy pracować, w szczególności jeżeli zamierzamy używać dużo tej macierzy. Jeżeli będziemy stosować to przekształcenie wobec wielu różnych rzeczy, będziemy je powtarzać raz za razem być może w działaniu na ten sam zbiór, to może warto jest zainwestować w zmianę układu współrzędnych i użyć naszego układu. Zobaczmy więc że to rzeczywiście będzie ładna macierz, łatwa do obliczenia i właściwie diagonalna. Wiemy, że to przekształcenie -- co jest przekształceniem -- zapiszmy to na kilka różnych sposobów. Przesunę trochę obraz. Czyli jeżeli chciałem napisać przekształcenie v1 we współrzędnych B, jak by to było? To będzie po prostu równe -- cóż, to są wektory bazowe, tak? Czyli to jest współczynnik przy wektorach bazowych. Czyli to będzie równe lambda 1, a potem same zera. To jest lambda 1 razy v1 dodać 0 razy v2 dodać 0 razy v3 i same zera aż do vn. Tyle to jest równe. Ale to jest również równe D i możemy zapisać D tak. D jest przekształceniem z Rn w Rn, po prostu zmianą układu współrzędnych. Czyli D będzie kolekcją wektorów kolumnowych d1, d2, i tak dalej aż do dn -- to jest to samo co D razy B w naszej reprezentacji wektora v1. Ale jaka jest nasza reprezentacja wektora v1 w bazie B? Cóż, wektor v1 to jest po prostu 1 razy v1 dodać 0 razy v2 dodać 0 razy v3 i same zera aż do vn. v1 jest wektorem bazy. To jest po prostu 1 razy on sam dodać 0 razy cokolwiek innego. Czyli to jest jego reprezentacja we współrzędnych B. Teraz, czemu to będzie równe? Widzieliśmy to już wcześniej. To wszystko jest powtórzenie. Być może was zanudzam nawet. To jest równe 1 razy d1 dodać 0 razy d2 dodać 0 razy wszystkie pozostałe kolumny. To jest równe d1. Czyli tak po prostu, mamy naszą pierwszą kolumnę macierzy d. Możemy robić to dalej. Zrobię to wiele razy. Przekształcenie v2 w naszym nowym układzie współrzędnych względem naszej nowej bazy będzie równe -- cóż, wiemy co jest obrazem v2. To jest 0 razy v1 dodać lambda 2 razy v2, potem dodać zero razy pozostałe wektory. zero razy pozostałe wektory. A to jest to samo, co D, d1, d2 i tak dalej aż do dn razy nasza reprezentacja wektora 2 w bazie B. No ale wektor 2 jest jednym z naszych wektorów bazowych. To jest po prostu 0 razy v1 dodać 1 razy v2 dodać 0 razy v3 wszędzie dalej są 0. Czyli czemu to się będzie równać? To jest 0 razy d1 dodać 1 razy d2 i 0 razy wszystko inne, czyli to będzie równe d2. Myślę, że zaczynacie rozumieć ogólny schemat. Zrobię to jeszcze raz, żeby dobrze to wam utrwalić. Obraz n-tego wektora bazowego, który jest również wektorem własnym naszej oryginalnej macierzy A, naszego przekształcenia w standardowych współrzędnych, we współrzędnych B będzie równy czemu? No cóż, napisaliśmy to tu na górze. To będzie kolekcja zer. To będzie 0 razy wszyscy ci kolesie dodać lambda razy vn. I to będzie teh koleś d1, d2, aż do dn razy przedstawienie w bazie B n-tego wektora bazowego, czyli 0 razy v1, 0 razy v2 i 0 razy pozostałe z wyjątkiem na 1 razy vn. Czyli to będzie równe 0 razy d1 dodać 0 razy d2 dodać 0 razy wszyscy ci kolesie aż do 1 razy dn. Czyli to będzie równe dn. I tak po prostu, wiemy jak nasza macierz przekształcenia będzie wyglądać w naszej nowej bazie, która jest złożona z n liniowo niezależnych wektorów własnych naszej oryginalnej macierzy A. Czyli jak wygląda macierz D? Nasza macierz D będzie wyglądać -- jej pierwsza kolumna jest tutaj. Obliczyliśmy ją. Lambda 1, a potem same zera. Jej druga kolumna jest tutaj. d2 jest równe temu. To jest 0, lambda 2 a potem same zera. I to jest ogólna zasada. n-ta kolumna będzie miała wszędzie zera z wyjątkiem diagonali. Tu będzie lambda n. To jest wartość własna dla n-tego wektora własnego. Czyli diagonala będzie wyglądać -- będziemy mieli lambda 3 i tak dalej aż do lambda n. I nasza n-ta kolumna ma lambda n i same zera poza tym. Czyli D, jeżeli wybraliśmy -- to jest bardzo ładny wynik. Jeżeli A ma n liniowo niezależnych wektorów własnych, co nie zawsze zachodzi, ale możemy znaleźć wektory własne i powiedzieć: hej, mogę wybrać kolekcję n liniowo niezależnych spośród nich, wtedy będą one stanowiły bazę Rn. n liniowo niezależnych wektorów w Rn jest bazą Rn. Ale kiedy używamy tej bazy, kiedy używamy liniowo niezależnych wektorów własnych A jako bazy, nazywamy to bazą własną. bazą własną. Macierz przekształcenia w tej bazie własnej przyjmuje bardzo, bardzo ładną postać. Jest bardzo łatwa do mnożenia. Bardzo łatwo ją odwrócić. Super łatwo obliczyć jej wyznacznik. Widzieliśmy to wiele razy. Ma bardzo dużo fajnych własności. To jest dobra baza do pracy. Czyli to jest bardzo duży zysk. W algebrze liniowej zajmowaliśmy się przestrzeniami wektorami i tak dalej, ale w ogólności wektory są abstrakcyjną reprezentacją realnych obiektów. Możemy reprezentować za pomocą wektora wyniki giełdowe, albo możemy mieć wektor pogody w określonym miejscu kraju i możemy stworzyć przestrzenie oparte na liczbie wymiarów i tak dalej. wymiarów i tak dalej. Czasami, jak kiedy uczymy się o łańcuchach Markowa, naszymi przekształceniami są prawdopodobieństwa po jednym kroku czasowym, jak jakiś stan zmienia się w inny, wtedy działamy tą macierzą wiele, wiele, wiele razy, żeby zobaczyć jaki jest stan stabilny. I teraz nie staram się tego dobrze wyjaśnić, ale chciałem powiedzieć wam, że ta cała algebra liniowa to po prostu bardzo ogólna metoda rozwiązywania uniwersalnych problemów. I to co jest użyteczne, to że możemy mieć macierze przekształceń które definiują te funkcje na zbiorach danych. I to czego się teraz nauczyliśmy, to że kiedy patrzymy na wektory i wartości własne, to możemy zmienić bazę tak, że możemy rozwiązywać zadania dużo prościej. Wiem, że to jest na razie bardzo abstrakcyjne, ale macie teraz narzędzia, a przez resztę życia musicie nauczyć się jak stosować te narzędzia do konkretnych problemów w rachunku prawdopodobieństwa, statystyce, finansach, czy modelowaniu pogody i kto wie w czym jeszcze. i kto wie w czym jeszcze.