Przykład wykorzystania macierzy zmiany bazy do wyznaczenia macierzy odwzorowania

W ostatnim filmie nauczyliśmy się, że jeśli mam jakąś macierz, nazwijmy ją C, powiedzmy, że jest to macierz n na k. I wszystkie kolumny macierzy C -- powiedzmy, że to jest kolumna 1, kolumna 2 i tak dalej aż do kolumny k -- jeśli wszystkie z tych kolumn wektorów tworzą zbiór ortonormalny -- pozwól mi to zapisać -- kolumny tworzą zbiór ortonormalny, lub zbiór kolumn jest zbiorem ortonormalnym, pokazaliśmy w ostatnim filmie, że jeśli pomnożę C transponowaną przez C, to otrzymam macierz identyczności. Otrzymam macierz identyczności o wymiarach k na k. Otrzymam macierz identyczności, ponieważ to będzie k na n, razy n na k. I widzieliśmy jak wszystko się kasuje, z wyjątkiem przekątnej. Wtedy po prostu mnożyliśmy wektory przez siebie, i były one wszystkie wektorami jednostkowymi. Tak więc otrzymujesz kwadrat ich długości i dostajesz 1 wzdłuż przekątnej. Widzieliśmy to w ostatnim filmie. Teraz, co się stanie, jeśli k jest równe n? Co się stanie, gdy k jest równe n? No, ta tutaj będzie macierzą kwadratową będzie macierzą kwadratową. A jeśli to jest macierz kwadratowa, co więcej o niej wiemy? No, wiemy że te wektory tworzą zbiór ortonormalny. Widzieliśmy -- myślę, że było to 2 lub 3 filmy wcześniej -- że to znaczy, że kolumny są liniowo niezależne. Wiemy więc także, że mamy liniowo niezależne kolumny. I widzieliśmy to wcześniej wiele, wiele razy . Jeśli mamy macierz kwadratową z liniowo niezależnymi kolumnami, to znaczy, że C jest odwracalna. C jest odwracalna. To znaczy także, że jeśli mamy n z nich, to znaczy także, że te kolumny, lub te kolumny wektorów, jeśli były w zbiorze, wtedy ten zbiór byłyby bazą dla Rn. Więc ja to zapiszę na boku, ponieważ to także znaczy, że c1,c2 i tak dalej aż do cn - ponieważ mówiliśmy, że n jest równe k - byłyby bazą dla Rn. Ale teraz zostawmy to na boku. Po prostu warto było to zaznaczyć. Teraz, jeśli C jest odwracalna, co to znaczy? To znaczy, że istnieje macierz odwrotna do C, taka że odwrotność C pomnożona przez C jest równa macierzy identyczności n na n. W tym przypadku k i n są równe, więc po prostu zastąpmy k przez n. Teraz te dwa wyrażenia wyglądają bardzo podobnie. Jeśli te kolumny są zbiorem ortonormalnym, i jest to macierz n na n, wtedy uczyliśmy się w ostatnim filmie, że C transponowane razy C jest równe macierzy identyczności n na n. Wiemy także, ponieważ jest to macierz kwadratowa z liniowo niezależnymi kolumnami, że C jest odwracalna. Więc w tej sytuacji, jeśli masz macierz n na n, której kolumny tworzą zbiór ortonormalny, wtedy odwrotność C musi być równa C transponowanej. Mam na myśli,że możesz po prostu powiedzieć, że coś razy C jest równe macierzy identyczności. Coś razy C jest macierzą identyczności. Te "coś" muszą być takie same. Wtedy odwrotność C jest równa C transponowanej. I to jest wielka oszczędność czasu. Jeśli założymy, że jest to macierz kwadratowa ze zbiorem ortonormalnym. Ponieważ znajdowanie odwrotności macierzy jest męczące, szczególnie gdy wyjdziesz poza n równe 3. Jeśli musiałbyś znaleźć odwrotność macierzy 10 na 10, to zajęłoby to wieczność. Ale znalezienie transpozycji macierzy 10 na 10 jest o wiele łatwiejsze. Po prostu zamieniasz rzędy i kolumny. Więc zobaczmy, czy możemy zastosować ten nowo znaleziony sposób do uproszczenia problemów, które napotkaliśmy w przeszłości. Mam tu pewne wektory, v1,v2,v3. I powiedzmy, że -- skopiuję i wkleję to tu poniżej, bo myślę, że się to przyda. Kopiuję i wklejam to właśnie tutaj. I wklejam. Mamy te wektory tutaj. Zostawiam Ci do sprawdzenia, że wszystkie one są wektorami jednostkowymi i razem tworzą zbiór ortonormalny, czyli że mogłyby być ortonormalną bazą dla R3. W każdym razie możesz to zbadać, możesz to sprawdzić we własnym czasie. Ale to co chcę zrobić w tym filmie, to skonstruować interesujące liniowe przekształcenie w R3. Powiedzmy, że mam płaszczyznę utworzoną przez v1 i v2. v1 i v2 będą prostopadłe względem siebie. To jest zbiór ortonormalny. Więc v1 i v2 są prostopadłe. Powiedzmy, że to jest v1 -- nie rysuję ich takich, jakie faktycznie są. Robię po prostu coś w rodzaju abstrakcyjnej wizualnej reprezentacji tego. v1, v2 będą rozpinać pewną płaszczyznę. Postaram się narysować tą płaszczyznę najlepiej jak potrafię. Jeśli weźmiesz wszystkie liniowe kombinacje v1 i v2, to będzie to płaszczyzna w R3. To jest więc moja płaszczyzna i rozchodzi się ona w każdym kierunku nieskończenie. Ale tak to wygląda. Będziemy mieć wektor 0 w tym miejscu. Nazwę moją płaszczyznę, tą płaszczyznę, to będzie jakaś podprzestrzeń V w R3, która jest równa tej rozpiętej przez v1 i v2. Teraz, v3 jest prostopadły do obu tych wektorów. Narysuję tu po prostu v3 dla zabawy. Być może v3 wygląda jakoś tak. Jest prostopadły do obu tych wektorów, więc będzie prostopadły do wszystkich ich liniowych kombinacji. Jeśli więc widzisz, że ta płaszczyzna to V, wtedy prosta rozpięta przez v3 , jeśli tak to sobie wyobrazisz, będzie prostopadłym dopełnieniem Twojej płaszczyzny. Ale pozwól mi narysować v3 tu. v3 byłby elementem dopełnienia prostopadłego lub dopełnieniem prostopadłym byłaby prosta rozpięta przez v3. To wszystko w ramach powtórzenia. Porozmawiajmy teraz o liniowym przekształceniu, które chcę skonstruować w tym filmie. Chcę skonstruować liniowe przekształcenie w R3 -- pamiętaj, mamy tutaj do czynienia z R3 -- które istotnie odbija każdy wektor od tej płaszczyzny. Pozwól mi więc narysować trochę wskazujących przykładów. Mam nadzieję, że możemy sobie to dobrze wyobrazić. Powiedzmy, że mam taki wektor. Nazwijmy go wektor x. I powiedzmy, że wygląda on jakoś tak. Jest ponad płaszczyzną. Niby wyskakuje. Nie jest on w mojej podprzestrzeni. Ale chcę, żeby obraz x był lustrzanym odbiciem poniżej tego. Jeśli wyobrazicie sobie, że ta płaszczyzna jest nieco przezroczysta, to to byłoby tu na dole. Mój wektor x wyglądałby jakoś tak. To byłby obraz x, który chcę wygenerować. Jeśli mam wektor -- wybiorę kolor, którego wcześniej nie używałem -- jeśli mam wektor, który jakoś tak wygląda wygląda tak. Wtedy jego obraz będzie poniżej tej płaszczyzny i będzie po prostu lustrzanym odbiciem. To będzie lustrzane odbicie, właśnie tak. Wiesz o co chodzi. Teraz, co będzie, po prostu żeby zrozumieć nasze przekształcenie trochę lepiej, co będzie obrazem v1? No więc, v1 jest w płaszczyźnie, więc jego lustrzane odbicie się nie zmieni. Więc obrazem v1 będzie v1. Co jest obrazem v2? To też jest w płaszczyźnie. Więc obrazem v2 będzie po prostu v2. A co będzie obrazem v3? co będzie obrazem v3? v3 jest bezpośrednio prostopadły do płaszczyzny. Coś jakby wyskakiwał prosto do góry z płaszczyzny. Więc jeśli chcesz otrzymać jego lustrzane odbicie, powinneś wziąć dokładnie wektor przeciwny do v3. To byłby wektor przeciwny do v3. Zrobię to prosto do góry. Niekoniecznie wiemy, czy v3 nie idzie prosto do góry. Narysowałem po prostu, narysowałem go względem tej płaszczyzny. Ta płaszczyzna może być bardziej pochylona, niż narysowana przez mnie. Ale w każdym razie, obraz v3 będzie równy minus v3. Wydaje się to być dość trudne przekształcenie do skonstruowania. Możemy spróbować zastosować to przekształcenie do naszej standardowej bazy wektorów w R3, tak jak robiliśmy to w przeszłości. Ale wydaje się to naprawdę skomplikowane, mnóstwo trygonometrii. Musielibyśmy wyliczyć nachylenie tej płaszczyzny i co z nim robimy. Byłoby to po prostu trudno zwizualizować. Macie prawdopodobnie poczucie, że może to przekształcenie będzie o wiele łatwiejsze do opisania, jeśli zmienimy bazę. jeśli zmienimy naszą bazę. Powiedzmy, że to jest nasza standardowa baza. I nasza baza standardowa, nasze przekształcenie, mnożylibyśmy to przez jakąś macierz x - -przepraszam, przez jakąś macierz A -- żeby otrzymać obraz x. Teraz mówimy, że jest to trudne do znalezienia, ponieważ jest trudno wyliczyć, jakie jest to przekształcenie, gdy zastosujesz je do Twojej standardowej bazy. Więc to co zamierzam zrobić, to próbować skonstruować pewną bazę, tak że kiedy przedstawię x w tej nowej bazie, jeśli pomnożę x przez odwrotność macierzy zamiany bazy, wtedy dostanę x w nowej bazie współrzędnych. I może będzie łatwiej znaleźć D w tej nowej bazie i potem otrzymamy przedstawienie w B obrazu x. I potem możemy pomnożyć to przez C. Więc jeśli jesteśmy gotowi do wyliczenia D, to możemy zauważyć, że obrazem x będzie A razy x. Widzieliśmy dawno temu, że każde liniowe przekształcenie może być przedstawione jako iloczyn macierzy i wektora. Ale powiedzmy, że jest to trudne do znalezienia. To jest trudne. Wtedy możemy obejść to w inny sposób. Możemy powiedzieć, że obraz x jest równy temu, że bierzesz x, najpierw mnożysz go przez odwrotność C, żeby dostać wersję B dla x. Więc najpierw mnożysz go przez odwrotność C. Potem mnożysz to przez D, żeby znaleźć wersję B dla obrazu x. Więc potem mnożysz to przez D. A potem mnożysz to przez C, żeby wrócić do naszej standardowej bazy dla przekształcenia. Więc potem mnożysz to przez C. Widzieliśmy ten wzór wcześniej. Więc jeśli możemy znaleźć dobrą bazę, gdzie D jest łatwe do wyliczenia, wtedy możemy mnożyć to w ten sposób, razy macierz zamiany bazy i jej odwrotność i dostaniemy nasze A. Ponieważ to musi być tym samym co to tutaj. A nawet więcej, jeśli wybierzemy bazę ortonormalną, jeśli B jest ortonormalną bazą z trzema wektorami, wtedy C będzie odwracalna. Wiemy już, że jeśli jest bazą ortonormalną, to C transponowane razy C jest równe macierzy identyczności. I wiemy także, że C jest odwracalna , jeśli C jest istotnie macierzą 3 na 3. Odwrotność C istnieje. Na początku tego filmu powiedzieliśmy, co znaczy, że C transponowane będzie równe odwrotności C, ponieważ to jest po prostu działanie jak odwracanie. I wtedy, jeśli C jest macierzą n na n, lub w tym przypadku mamy do czynienia z macierzą 3 na 3, mamy do czynienia z R3, wtedy to upraszcza się i A będzie równe C razy D, razy C transponowana, którą jest łatwiej znaleźć, łatwiej znaleźć niż próbować odwracać macierz 3 na 3. Zauważ, że możemy zrobić to efektywnie. Co byłoby dobrą bazą? Myślę, że naturalne byłoby użycie v1,v2 i v3, ponieważ jest bardzo prosto domyślić się, co jest obrazem tych wektorów bazowych. Zapiszmy to. Mam zamiar zrobić moją bazę, którą będę zamieniał na v1,v2,v3. Więc żeby być pewnym, że rozumiemy to, co robimy, każdy z tych wektorów, jak one wyglądają w mojej nowej bazie? No więc, v1 jest równy 1 razy v1, plus 0 razy v2, plus 0 razy v3. Więc v1, w moje nowej bazie, gdzie v1 jest pierwszym wektorem bazowym, będzie po prostu równy 1,0,0. Taki sam argument. v2, czemu będzie równy w moje nowej bazie? Nawet nie będę tego liczył, mam nadzieję, że wiecie o co chodzi. Przepiszę to tutaj. v2 w mojej nowej bazie będzie równe 0 razy v1 -- pamiętacie, te liczby, te współrzędne są po prostu współczynnikami w mojej bazie - to będzie 0 razy v1, plus 1 razy v2, plus 0 razy v3. I ostatecznie, v3 w mojej nowej bazie to będzie 0 razy v1, plus 0 razy v2, plus 1 razy v3. To jest niemal banalnie proste. Teraz, jaka będzie moja macierz zamiany bazy? Zostawię to na później, Moja macierz zamiany bazy będzie po prostu macierzą z tymi wektorami jako kolumnami. I oczywiście jej odwrotnością będzie jej transpozycja. Ale odłóżmy to na trochę później. Teraz, jak możemy wyliczyć D? Napiszmy D. Napiszmy D. D będzie miała trzy kolumny. d1,d2,d3 Wciąż jest to przekształcenie z trójwymiarowej , sądzę, że możemy nazwać to trójwymiarową macierzą wektorów w trójwymiarowe wektory. Każdy z nich jest elementem R3. Więc jaki jest obraz v1 przedstawiony we współrzędnych B? To będzie równe D razy przedstawienie v1 we współrzędnych B, które są równe d1,d2,d3 razy to, zgadza się? To jest przedstawienie v1 we współrzędnych bazy B. Więc razy 1,0,0. To jest po prostu równe d1. Widzieliśmy to wcześniej. Tak więc jeśli chcemy się dowiedzieć czym jest d1, to jest to po prostu obraz v1 we współrzędnych B. Teraz możemy użyć dokładnie tego samego argumentu - -przesuńmy się trochę w lewo. Zabrakło mi miejsca z prawej strony. Obraz v2 we współrzędnych B jest równy D, co jest równe d1,d2,d3 razy v2 przedstawione we współrzędnych B. v2 we współrzędnych B jest równe 0,1,0. Więc to będzie równe d2. I ostatecznie, po prostu to uzupełnijmy. Obraz v3 przedstawiony we współrzędnych B będzie równy d1,d2,d3 razy v3 przedstawiony we współrzędnych B. Więc razy 0,0,1. To będzie 0 razy d1, plus 0 razy d2, plus 1 razy d3, jest równe d3. I to jest poniekąd dowód, że możemy znaleźć kolumny D, znajdując wersję B tych obrazów. Więc D, możemy przepisać, D będzie równe, pierwsza kolumna to będzie po prostu to. Więc to jest obraz v1 we współrzędnych B. Drugą kolumną jest to. W porządku, d2 jest tym. To jest obraz v2 we współrzędnych B. I trzecią kolumną jest to, obraz v3 we współrzędnych B. Właśnie tak. Zobaczmy, czy możemy znaleźć to. To nie powinno być zbyt trudne. Widzieliśmy to tu wyżej. Napisaliśmy, czym są obrazy v1,v2 i v3. Teraz musimy dowiedzieć się , czym one są we współrzędnych B. Przepiszmy to, skopiuję i wkleję to tu na dole, ponieważ dobrze by to tu wyglądało. Już to znaleźliśmy. Wkleję to tu na dole. I wklejam. Mamy to. Już to znaleźliśmy. Musimy jeszcze tylko znaleźć przedstawienie tego we współrzędnych B. Więc przedstawienie obrazu v1 we współrzędnych B -- właściwie myślę, że wypiszę to. To jest nieco żmudne. To jest równoważne przedstawieniu v1 we współrzędnych B, którymi są 1,0,0. Napiszmy D tutaj. D jest równe, pierwszą kolumną jest 1,0,0. Czym jest teraz druga kolumna? Więc obraz v2, przedstawienie B będzie po prostu obrazem v2 w B lub współrzędnymi B, które są równe 0,1,0. 0,1,0. I został jeden. Jest jedna interesująca rzecz. Przedstawienie w B obrazu v3 -- pamiętaj, v3 był tym, który nie leżał w płaszczyźnie -- to jest równe -- pamiętaj, obrazem jest minus v3. Przerzucamy to, ponieważ wzięliśmy lustrzane odbicie względem płaszczyzny. Więc to byłoby przedstawienie w B minus v3 minus v3. Więc minus v3 jest po prostu 0 razy v1, plus 0 razy v2, minus 1 razy v3. Tamte są naszymi wektorami bazowymi, więc naszą trzecią kolumną będzie 0,0, minus 1. Więc wyliczyliśmy nasze przekształcenie D. To było całkiem proste. D jest tu tą macierzą, którą wyliczyliśmy. Więc żeby wyliczyć A, możemy zastosować ten wzór tam do macierzy zamiany naszej bazy. Pozwól mi skopiować te rzeczy. To będzie przydatne. Skopiujmy to wszystko. OK Skopiujmy, następnie wkleimy to tu na dole, teraz mamy nasze D. W porządku, mamy wszystkie materiały. Dowiedzmy się więc, czym jest A. Żeby to zrobić, najpierw musimy wyliczyć naszą zamianę bazy. Po prostu przepiszę to wszystko -- tak jak tutaj. Pozwól mi to usunąć, uporządkować to trochę. To jest wszystko czego potrzebuję. Tak na prawdę nie potrzebuję żadnej z tych. Uporządkujmy więc to wszystko. Zróbmy z tym porządek. Obliczmy, czym jest A. A jest równa naszej macierzy zamiany bazy. Nasza macierz zamiany bazy jest po prostu macierzą z tymi jako kolumnami. Wyciągnijmy 1/3. Więc C jest 1/3, razy 2 minus 2, 1,2,1 minus 2, a potem mamy 1,2,2, zgadza się? 1,2,2. Tutaj jest macierz A, będziemy mnożyć ją przez -- ta tutaj jest naszą macierzą zamiany bazy, to jest C -- będziemy mnożyć ją przez D, która jest 1,0,0,0,1,0 a następnie 0,0, minus 1. To prawie wygląda jak macierz identyczności, ale przerzuciliśmy nasz trzeci wektor, i dlatego dostaliśmy minus 1. Następnie mamy odwrotność C, ale ponieważ C była macierzą kwadratową z ortonormalnymi kolumnami, wiemy że odwrotność C jest tym samym co C transponowana. Przepiszmy to tutaj. Przepiszmy to tutaj. To po prostu będzie transpozycja tej macierzy. Napiszę 1/3 tutaj, żeby to uprościć. Więc razy 1/3, razy transpozycja tego, mamy zatem 2,2,1, więc będziemy mieli 2,2,1. Mamy minus 2,1,2. Mamy minus 2,1,2. Mamy 1 minus 2,2. Mamy 1 minus 2 i 2. I to tutaj, to jest odwrotność C, która jest równa C transponowanej, ponieważ C jest macierzą odwracalną, lub macierzą kwadratową, z ortonormalnymi kolumnami. Więc czemu to będzie równe? Weźmy po prostu, nie wiem, weźmy najpierw pozwól mi to napisać, to było D - więc weźmy najpierw ten iloczyn. Później będziemy się martwić o 1/3. Teraz mogę to usunąć. Mogę wykorzystać to miejsce. Usuńmy to. Pozwól mi włączyć z powrotem moje pióro. W porządku. Weźmy ten iloczyn. Więc A jest równe, weźmy 1/3, to będzie równe 1/9 razy -- teraz to będzie inna macierz 3 na 3. Więc będziemy mieli 2,2,1 razy 1,0,0. Lub będziemy mnożyć 2,2,1 i 1,0,0. Więc jedynym wyrażeniem, które nie będzie zerem, jest 2 razy 1. Więc to będzie 2. Następnie będziemy mnożyć 2,2,1 przez 0,1,0, dla drugiej kolumny. Jedynym niezerowym wyrażeniem będzie 2 Wtedy dostaniesz 2,2,1 razy 0,0, minus 1. To będzie, jedynym niezerowym wyrażeniem jest ten ostatni, który będzie ujemny, więc to będzie minus 1. To nie jest takie złe. Uprościłem to, ale to jest prawie macierz identyczności. Następnie mamy to. Mamy minus 2,1,2 pomnożone przez to, jedyny który przetrwał to mnożenie, minus 2, następnie weź ten pomnożony przez ten, jedynie ten zostanie. Potem weź ten pomnożony przez ten. Ten dostaje przeciwny znak. I jest on jedynym, który pozostał przy życiu. Myślę, że widzisz, co się dzieje. Te wiersze zostają takie same, ale trzecie wyrażenie będzie mieć przeciwny znak. Zróbmy to jeszcze raz. Weź ten wektor. Weź iloczyn skalarny tej kolumny, wektora tego wiersza z wektorem tej kolumny. Jedynie ten pozostanie. Potem ten wiersz przez tą kolumnę, masz minus 2. A potem ten wiersz przez tą kolumnę, zostanie tylko 2, ale to jest razy minus 1, więc to będzie minus 2. Mamy ten wektor tu. Pamiętaj, wzięliśmy 1/3, pomnożyliśmy i dostaliśmy 1/9. Wówczas mamy 2 minus 2,1,2,1, minus 2, i 1,2,2. To będzie trochę bardziej męczące przy mnożeniu, ale myślę, że to się uda. Ponieważ to jest ostatnia prosta. Więc A, nasza macierz przekształcenia dla tego dziwnego przekształcenia, gdzie odbijamy względem płaszczyzny w R3, będzie równa 1/9 razy -- to będzie macierz 3 na 3. To będzie 2 razy 2, czyli 4. Zapiszę to. To będzie uciążliwe. Więc 2 razy 2, co jest równe 4, plus 2 razy 2, czyli 4, następnie plus minus 1, dobrze? To będzie 4 plus 4, minus 1, czyli 7. 4 plus 4 minus 1 jest 7. Będziemy mnożyć to przez tą kolumnę. 2 razy minus 2 to jest minus 4, plus 2, czyli minus 2. Minus 2 jest minus 4. Następnie będziemy mieć 2 razy 1, czyli 2, minus 4, co jest minus 2, a potem minus 2, co jest równe minus 4. minus 4 Nie było to takie męczące. OK, teraz w drugim wierszu będziemy mieć minus 2 razy minus 2, czyli minus 4, plus 2 , co jest równe minus 2, minus 3, co jest równe minus 4. Następnie będziemy mieć minus 2 razy minus 2, co jest równe 4, plus 1, czyli 5, minus 4. Pozwól mi upewnić się, że to jest dobrze. Będziemy mieć minus 2 razy minus 2, czyli plus 4, plus 1, razy 1, co jest równe minus 3, plus minus 2 razy minus 2, co jest równe minus 4. A więc dostaniemy -- zagmatwałem się -- dostanę -- nie, łatwo będzie się tu pomylić. To jest jasne. Minus 2 razy minus 2 to 4, plus 1 to jest 5, minus 4 to 1. 1 Potem dostajemy minus 2 razy minus 2, czyli minus 4, minus 4, czyli minus 8. Ostatnia prosta. To jest męcząca część. OK, potem masz 2 minus 4, co jest równe minus 2, minus 2, co jest minus 4, minus 4 -- wszystko w porządku, teraz -- minus 2 minus 2, minus 4 i to jest minus 8. Ostatecznie mamy 1 plus 4, minus 4, co jest równe 1. Jeśli nie zrobiłem żadnych błędów wynikających z nieuwagi, to skończyliśmy. Wiemy, że nasze przekształcenie to odbicie -- teraz to robiło wszystkie te fantazyjne rzeczy -- nasze przekształcenie to odbicie wzdłuż płaszczyzny rozpiętej przez te tutaj, może być przedstawione jako ta macierz. Więc nasze przekształcenie zastosowane do x w standardowych współrzędnych jest równe A razy x, gdzie A jest równe tej macierzy. Możemy pomnożyć przez 1/9, ale to sprawi, że będzie to wyglądać bardziej myląco. Ale byłoby to naprawdę trudne do wyliczenia na własną rękę, żeby wyliczyć to, musieliśmy położyć 7 i minus 4 lub nawet zastosować przekształcenie do standardowej bazy wektorów, co normalnie robiłeś, żeby wyliczyć naszą macierz. Zamiast tego zmieniliśmy naszą bazę na bardzo naturalną bazę ortonormalną. A fakt, że była ona ortonormalna ułatwił znalezienie odwrotności naszej macierzy zamiany bazy. W każdym razie, mam nadzieję, uznasz to za pożyteczne.