Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:6:42
0 punktów energii
Uczysz się do testu? Skorzystaj z tych 5 lekcji na temat Alternatywne układy współrzędnych (podstawy).
Zobacz 5 lekcji
Transkrypcja filmu video (w języku angielskim)
Widzieliśmy w ostatnim filmie, że jeśli mam jakąś bazę ortonormalną -- powinienem mieć na to skrót -- jeśli mam bazę ortonormalną, wtedy żeby znaleźć -- dla podprzestrzeni V -- jeśli chcę znaleźć rzut jakiegoś wektora x w Rn na V, macierz przekształcenia upraszcza się do A razy A transponowane razy x. gdzie A jest równe macierzy z wektorami bazowymi jako kolumnami. Niech więc v1,v2 i tak dalej aż do vk będą wektorami bazowymi. Baza ortonormalna, może napiszę to tak, ortonormalna baza wektorów dla V. Widzieliśmy to w ostatnim filmie i to był inny powód dlaczego lubimy bazy ortonormalne. Zróbmy konkretny przykład. Niech V będzie równe przestrzeni rozpiętej przez wektor 1/3, 2/3 i 2/3. I wektor 2/3, 1/3 i minus 2/3. Teraz, widzieliśmy już, że te dwa wektory są liniowo niezależne i oba mają długość 1 i wtedy są wzajemnie prostopadłe. Możemy powiedzieć, że zbiór -- napiszmy to w ten sposób -- nazwę ten wektor v1 dla skrótu -- jeśli to jest v1 i to jest v2, wiemy że zbiór złożony z v1 i v2 jest ortonormalną bazą dla V. Teraz, chcemy użyć tego wyniku do znalezienia rzutu. Chcemy znaleźć macierz przekształcenia dla rzutu każdego wektora x w R -- w tym przypadku to będzie w R3, na naszą podprzestrzeń, na V. Podprzestrzeń będzie płaszczyzną w R3. Czym ona będzie? Musimy skonstruować musimy skonstruować macierz A, która jest równa -- która ma te wektory jako kolumny. Więc 1/3, 2/3, 2/3 i 2/3, 1,3 i minus 2/3. Jeśli skonstruujemy A w ten sposób, wtedy rzut x na V, to liniowe przekształcenie może być przedstawione jako A razy A transponowane razy x. Więc żeby znaleźć naszą macierz przekształcenia, musimy pomnożyć to przez jego transpozycję. Zróbmy to. Skopiuję i wkleję to. OK, zrobię to tutaj. Wkleję to. To jest A. Potrzebuję pomnożyć to przez A transponowane. A transponowane to będzie 1/3, 2/3, 2/3, 1/3 i potem 2/3, minus 2/3. 2/3, minus 2/3. To jest A transponowane. Czemu to będzie równe? Mamy 3 na 2, razy macierz 2 na 3, więc w wyniku będzie macierz 3 na 3 macierz 3 na 3. Co ma sens, bo to po prawej tu powinno być przekształceniem z R3 w R3. Zgadza się? Daj mi element z R3, a ja dam Ci inny element R3, który jest w mojej podprzestrzeni V, i to jest rzut x na V, i widzieliśmy także, najbliższy element V dla x. Czym to będzie? To będzie macierz 3 na 3. Mamy macierz 3 na 3. A więc pierwsze wyrażenie, będziemy mnożyć ten wektor przez ten wektor. To będzie 1/3 razy 1/3, co jest równe 1/9, plus 2/3 razy 2/3. To będzie 1/9 plus 4/9. Myślę, że zgodzimy się z tym, że jest tu za dużo dziewiątek, możemy więc podzielić wszystko przez dziewięć. To będzie 1/9 plus 4/9, co będzie 5/9, ale napiszemy tu po prostu 5. Po prostu wiemy, że będziemy na końcu dzielić wszystko przez 9. To jest ten wektor pomnożony przez ten. Pomnożmy teraz ten wektor przez ten. Dostanę 2/9 plus 2/9, dobrze? To jest 4/9. Teraz będę mnożyć ten wektor przez ten wektor. 2/9 minus 4/9, to jest minus 2/9. Teraz wymnóżmy ten wiersz, jesteśmy w drugim wierszu i będziemy mieli, 2/3 razy 1/3, to jest 2/9 plus 2/9, to jest 4/9. Połóżmy 4 tutaj, mamy 4/9. Potem mamy 2/9 plus 1/9, czyli 3/9. Upewnijmy się, że to jest dobrze. 2/9 -- przepraszam, 2/3 razy 2/3 to 4/9, więc to jest 4 - przepraszam, 2/3 razy 2/3 to jest 4/9, plus 1/9, to 5/9. Następnie mamy 4/9 minus 2/9, to jest 2/9. Zróbmy ten ostatni, to prawie koniec. Mam nadzieje, że już zdajesz sobie sprawę z tego, że to jest o wiele mniej męczące niż gdybyśmy wzięli A A transponowane, a potem to odwrócili. Bierzemy A razy A transponowane. Więc 2/3 razy 1/3, to jest 2/9 minus 4/9, to jest minus 2/9. Potem mamy 4/9 minus 2/9, to jest 2/9. Następnie mamy 4/9 plus 4/9, to jest 8/9. Właśnie tak wyliczyliśmy macierz przekształcenia dla rzutu każdego wektora w R3 na naszą podprzestrzeń V. To było o wiele mniej męczące niż sposób w jaki robiliśmy to w przeszłości.