Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:16:14
0 punktów energii
Uczysz się do testu? Skorzystaj z tych 5 lekcji na temat Alternatywne układy współrzędnych (podstawy).
Zobacz 5 lekcji
Transkrypcja filmu video (w języku angielskim)
Widzieliśmy w ostatnim filmie, że bazy ortonormalne prowadzą do dobrych układów współrzędnych, układów współrzędnych gdzie łatwo jest wyliczyć współrzędne. łatwo jest wyliczyć współrzędne. To robiliśmy w ostatnim filmie. Zobaczmy, że są inne użyteczne powody, żeby mieć bazę ortonormalną. Powiedzmy, że mam pewną podprzestrzeń V. Powiedzmy, że V jest podprzestrzenią Rn. I powiedzmy, że mamy B, który jest bazą ortonormalną. B jest równe v1, v2 i tak dalej aż do vk. I to jest baza ortonormalna dla V, co jest fantazyjnym sposobem powiedzenia, że wszystkie wektory mają długość 1 i wszystkie są prostopadłe względem pozostałych. Wcześniej widzieliśmy wiele razy, że jeśli mam dowolny element z Rn -- Powiedzmy, że mam jakiś wektor x, który jest elementem Rn, wtedy x może być przedstawiony jako suma pewnego elementu z V, jako pewien wektor v, który jest w naszej podprzestrzeni i pewien wektor w, który jest w dopełnieniu prostopadłym naszej podprzestrzeni. Zapiszę to. Gdzie v jest elementem z mojej podprzestrzeni, a w jest elementem dopełnienia prostopadłego mojej podprzestrzeni. Widzieliśmy to, kiedy robiłem cały zestaw filmów o dopełnieniach prostopadłych. Teraz, czym jest ta rzecz tutaj? Czym jest to tutaj? Z definicji, to jest rzut x na V. To byłby rzut x na dopełnienie prostopadłe V. Wiemy z przeszłości, że nie jest to łatwa rzecz do znalezienia. Powiedzmy, że utworzyłem jakąś macierz A, która ma moje wektory bazowe jako kolumny -- jeśli utworzę macierz A, która wygląda tak, v1,v2 i tak dalej aż do vk, uczyliśmy się wcześniej, że jeśli chcieliśmy wyliczyć i mieć ogólną metodę wyliczania, czym jest rzut, uczyliśmy się, że rzut pewnego wektora x na V jest równy A razy A transponowane A odwrotność, razy A , razy x. I wyliczenie tego było męczące. Obliczenie tego jest utrapieniem. Ale zobaczmy, że jeśli założę, że te wektory są ortonormalne albo że to jest ortonormalny zbiór, w każdym razie to się uprości. Pierwszą rzeczą, którą możemy zrobić, jest zgłebienie tego nieco. Ten wektor v, to jest element naszej podprzestrzeni, co znaczy, że może być przedstawiony jako liniowa kombinacja moich wektorów bazowych. Mogę napisać, że x jest równy, zamiast v mogę napisać c1 razy v1, plus c2 razy v2, i tak dalej aż do plus ck razy vk. To jest taki sam element jak każdy inny element z mojej podprzestrzeni V. To jest v, właśnie tutaj, możesz także spojrzeć na to jak na rzut x na podprzestrzeń V. x może być przedstawiony jako pewien element V i jako pewien element dopełnienia prostopadłego V, plus w, właśnie tam. Co się teraz stanie jeśli weźmiemy dwie strony równania, jeśli pomnożymy to przez jeden z tych wektorów, powiedzmy vi? Pomnóżmy obie strony równania przez vi. Jeśli pomnożę vi razy x, lub vi przez i-ty wektor bazowy, i-ty wektor bazowy z bazy mojej podprzestrzeni B, co dostanę? To będzie c1 razy vi, razy v1, plus c2 razy vi, razy v2, plus i tak dalej. Wreszcie dostaniesz i-te wyrażenie, którym będzie ci razy vi pomnożone przez vi. Potem zakładając, że i nie jest 1,2, lub k, wreszcie dostaniemy ck razy vi pomnożone przez vk. Widzieliśmy to w ostatnim filmie. Po prostu pomnożyłem obie strony. Ale także mamy wyrażenie w. Dalej dodamy vi kropka w. Teraz, żeby to wyjaśnić, w ostatnim filmie założyliśmy, że x był wewnątrz podprzestrzeni, więc ten x mógł być przedstawiony w tych współrzędnych. Teraz x może być dowolnym elementem Rn i tylko patrzymy na rzut x. Ponieważ jest dowolnym elementem, będzie pewną kombinacją tych (wektorów) plus jakiś element z dopełnienia prostopadłego B. Teraz jeśli wezmę iloczyn skalarny jednego z moich bazowych wektorów, i-tego wektora bazowego, z obiema stronami tego równania, to ta strona jest tym , ale po prawej stronie dzieje się coś bardzo podobnego do tego, co widzieliśmy w ostatnim filmie. Czym jest vi kropka v1? Są różnymi elementami tego ortonormalnego zbioru, więc są prostopadłe. Więc to będzie 0, vi kropka v2, to będzie 0, zakładając że i nie jest równe 2. vi kropka vi jest 1. Więc to wyrażenie to będzie ci, vi kropka vk , to jest także 0. Nie ma znaczenia czym jest nasza stała, ponieważ 0 razy cokolwiek jest 0. Czym jest vi kropka w? Z definicji w jest elementem naszego dopełnienia prostopadłego V, co znaczy, że jest prostopadły do każdego elementu V. To jest element V, więc te dwa (wektory) są prostopadłe. Więc to jest także równe 0. Właśnie tak dostajesz, że ci jest równe vi razy xi. Przepraszam, razy x, właśnie tak. Co to robi? To jest bardzo podobny wynik do tego, który dostaliśmy ostatnim razem. Ale pamiętaj, nie szukamy -- nie zakładaliśmy, że x jest elementem V. W tym przypadku wiemy, że ci byłyby współrzędnymi dla x. W tym przypadku, szukamy rzutu x na V, albo elementu V, który jest dopełnieniem x w V, lub który przedstawia rzut x na V. Więc jeśli teraz chcemy znaleźć rzut x na V, to jest równy ci razy odpowiadające im bazowe wektory, ale teraz wiemy czym te ci są. Są wektorami bazowymi pomnożonymi przez Twój wektor x. Właśnie tak dostaliśmy bardzo prosty sposób na wyliczenie rzutu na podprzestrzeń z bazą ortonormalną. Zobaczmy, c1 to będzie v1 kropka x. To jest c1, następnie pomnożymy to razy wektor v1. To także jest wektor. Potem następny, sądzę, że możemy powiedzieć następnym współczynnikiem przy v2 będzie v2 kropka x razy wektor v2. I tak dalej aż do plus vk kropka x razy vk. Nie wiem, czy pamiętasz, co robiliśmy gdy braliśmy rzut x na pewną prostą, Kiedy braliśmy rzut x na pewną prostą, gdzie L jest rozpięte przez pewien wektor jednostkowy, gdzie miał on długość 1. Dla t, które jest dowolną liczbą rzeczywistą, to jest prosta, suma rozpiętości pewnego wektora jednostkowego. Gdzie założyliśmy, że ma on długość 1. Wtedy rzut na prostą upraszcza się do wzoru x kropka -- zapiszę to w ten sposób -- x kropka u razy wektor u. To był rzut na prostą. Zauważ, że kiedy mamy do czynienia z bazą ortonormalną dla podprzestrzeni, kiedy weźmiesz rzut dowolnego wektora w Rn na podprzestrzeń, po prostu znajdujesz rzut na prostą rozpiętą przez każdy z tych wektorów, tak? x kropka v1 razy wektor v1. x razy v1 razy wektor v1. Bierzesz rzut x na prostą rozpiętą przez każdy z tych wektorów. To jest wszystko. Ale oczywiście jest to o wiele, wiele łatwiejsza droga do znalezienia rzutu niż przechodzenie przez ten bałagan i mówienie A razy odwrotność A, A transponowane razy A transponowane -- zapomniałem że A transponowane, kiedy pisałem pierwszy raz -- razy x. To jest oczywiście o wiele łatwiejsze. Ale możecie powiedzieć, OK, to jest łatwiejsze, ale mówiłeś, że rzut jest liniowym przekształceniem. Mówiłeś mi, że to jest liniowe przekształcenie, więc chcę obliczyć naszą macierz. Zobaczmy, czy ortonormalność w tym przypadku to ułatwia. Możemy zawsze obliczyć tylko dla jakiegokolwiek konkretnego x. Możemy wziąć iloczyn skalarny każdego z bazowych wektorów, tamte będą współczynnikami, a następnie pomnożyć bazowe wektory przez te współczynniki, zsumować je i znasz Twój rzut. Ale wiesz, ktoś z nas może faktycznie chce macierz przekształcenia. Obliczmy więc, czym ona jest. Przepiszę tylko, co już wiemy. Wiemy już, że rzut x na podprzestrzeń V jest równy A razy A transponowane A odwrotność, razy A , razy x. Gdzie kolumnami A są wektory bazowe v1, v2 i tak dalej aż do vk. Teraz, zobaczmy, czy założenie, że te wektory są bazą ortonormalną, zobaczmy, czy to w ogóle coś ułatwia. Weźmy w tym szczególnym przypadku A, A transponowane. Czemu będzie równe A , A transponowane? To będzie równe A transponowane -- Pomyślmy nad tym. Te wektory są elementami Rn, więc to bedzie macierz n na k. Więc to jest n na k, ta tutaj jest k na n, razy n na k. Będziemy mieć iloczyn k na k. k na n razy n na k to będzie k na k. A transponowane, A będzie k na k. Czemu będzie równe A transponowane ? Każda z tych kolumn stanie się wierszem. Więc pierwszym wierszem tutaj będzie v1 transponowane v1 transponowane. Drugą kolumną będzie v2 transponowane. Następnie zejdziesz w dół. k-tą kolumną będzie vk transponowane. Właśnie tak. A jest oczywiście tym tutaj. Więc A wygląda tak. Masz v1, właśnie tak. Masz v2. Dalej tak samo i masz vk, właśnie tak. Co się stanie, jeśli weźmiemy ten iloczyn? Zróbmy tutaj kilka wierszy. Jeśli wezmę ten iloczyn, dostanę macierz k na k. Napiszę to duże, mogę to sensownie wyjaśnić. Co będzie w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie? To będzie ten wiersz pomnożony przez tą kolumnę, czyli v1 kropka v1. v1 kropka v1, to jest miłe, to jest po prostu 1. Co jest w drugim wierszu i drugiej kolumnie? To będzie v2. Dostaniesz Twój wiersz stąd i Twoją kolumnę stąd. Ten wiersz pomnożony z kolumną , więc v2 kropka v2, to jest miłe. To będzie 1. Ogólnie, jeśli znajdujesz Aii lub znajdujesz wszystko wzdłuż przekątnej, to bierzesz , powiedzmy, i-ty wiersz z i-tą kolumną. Będziesz miał jedynki na przekątnej. Co poza tym? Powiedzmy, że szukasz tej pozycji tutaj, która jest w pierwszym rzędzie, drugiej kolumnie. To tutaj będzie iloczynem skalarnym v2 To będzie iloczyn skalarny tego wiersz -- przepraszam. Iloczyn skalarny v1 to będzie iloczyn skalarny tego wiersz z tą kolumną. To będzie v1 kropka v2. Ale te dwa wektory są prostopadłe, więc czemu to będzie równe? To będzie równe 0. To tutaj będzie równe v1 razy v3. To będzie 0. v1 razy cokolwiek innego niż v1 będzie 0. Podobnie, wszystko tu w drugim wierszu, to będzie v2 Pierwsza kolumna w drugim wierszu to będzie v2 kropka v1, co jest oczywiście 0. Następnie masz v2 kropka v2, co jest równe 1. Następnie v2 razy cała reszta to będzie 0. Wszystkie są prostopadłe względem pozostałych. A więc wszystko, jeśli Twój wiersz i Twoja kolumna nie są takie same -- jeśli Twój wiersz i Twoja kolumna są takie same, będziesz mnożyć takie same wektory, więc dostaniesz 1, ponieważ długość każdego jest 1. Ale jeśli Twój wiersz i kolumna nie są takie same, weźmiesz iloczyn skalarny dwóch różnych elementów Twojej bazy ortonormalnej. I wszystkie są prostopadłe, więc dostaniesz zbiór zer więc dostaniesz zbiór zer. Teraz, co to jest? Masz zera wszędzie poza jedynkami na przekątnej. To jest macierz k na k. To jest macierz identyczności w Rk. To była nasza definicja. To była nasza definicja, to był nasz sposób na znalezienie naszej macierzy przekształcenia dla rzutu x na jakąś podprzestrzeń. Po prostu, jeśli założymy ortonormalność bazy, wtedy A transponowane A staje się macierzą identyczności k na k. A co jest odwrotnością macierzy identyczności? A transponowane A odwrotność staje się odwrotnością macierzy identyczności k na k, co jest po prostu macierzą identyczności k na k. To upraszcza rzut naszego wektora x na V, upraszcza do wyrażenia A razy odwrotność macierzy identyczności -- to jest po prostu macierz identyczności. Więc to jest A razy Ik, razy A transponowane --zawsze zapominam o drugim A transponowanym tutaj -- razy x. Możemy to pominąć. To nic nie robi z tym. Więc to jest równe A razy A transponowane, razy x, co jest ogromnym uproszczeniem. Ciągle mam iloczyn macierzy, ale znalezienie transpozycji macierzy jest bardzo proste. Po prostu zamieniasz wiersze i kolumny, Pierwsze mnożenie transpozycji razy A, to jest dużo pracy. Ale to jest ogromna ilość pracy , żeby znaleźć odwrotność tej rzeczy. Teraz, stąd że założyliśmy, że te kolumny tutaj tworzą zbiór ortonormalny, to daje redukcję do macierzy identyczności. Rzut x na V jest równy po prostu A razy A transponowane, gdzie A jest macierzą, której każde wektory kolumn są wektorami bazowymi z naszej podprzestrzeni V. W każdym razie, mam nadzieję, że sprawiło to, że masz teraz jeszcze większe uznanie dla baz ortonormalnych.