Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:15:28
0 punktów energii
Uczysz się do testu? Skorzystaj z tych 5 lekcji na temat Alternatywne układy współrzędnych (podstawy).
Zobacz 5 lekcji
Transkrypcja filmu video (w języku angielskim)
Wiemy, czym jest baza ortonormalna, ale następnym oczywistym pytaniem jest, co jest w nich dobrego? Jedną z wielu odpowiedzi na to pytanie jest, że prowadzą one do dobrych układów współrzędnych czy też dobrych baz współrzędnych. dobry układ współrzędnych Na przykład, baza standardowa lub standardowe współrzędne -- napiszmy standardową bazę w Rn. Jeśli mamy do czynienia z Rn -- baza standardowa dla Rn jest równa -- mógłbym napisać to jako e1, e2 i wszystko to, ale napiszę nasze wektory. e1 to jest po prostu 1 i dalej zbiór zer. To będzie n zer tutaj. e2 to będzie 0,1 i dalej same zera. I tak dalej aż do en, który będzie mieć zbiór zer, a następnie będziesz miał 1. Baza standardowa, z którą mieliśmy do czynienia poprzez tą playlistę, jest zbiorem ortonormalnym, jest ortonormalną bazą. Oczywiście długość każdego z nich jest 1. Jeśli weźmiesz ten wektor pomnożony przez siebie, dostaniesz 1 razy 1, plus zbiór 0 razy pozostałe. Więc to będzie 1 do kwadratu. To będzie 1. I to jest prawda dla każdego z tych wektorów. Oczywiście są one prostopadłe. Weź iloczyn skalarny każdego z nich z dowolnym innym, dostaniesz 1 razy 0, i 1 razy 0, a potem zbiór zer. Dostaniesz zera. Oczywiście wektory mają długość 1. I wszystkie są prostopadłe. Jest to dobry układ współrzędnych. Jest to dobry układ współrzędnych. Ale co z innymi bazami ortonormalnymi? Oczywiście to jest tylko jeden specyficzny przykład. Próbuję pokazać Ci, że wszystkie bazy ortonormalne prowadzą do dobrych układów współrzędnych. Powiedzmy, że mam pewien zbiór, pewien ortonormalny zbiór wektorów. To jest v1, v2 i tak dalej aż do vk. To jest baza ortonormalna dla jakiejś podprzestrzeni V. To jest k-wymiarowa podprzestrzeń, ponieważ masz k wektorów bazowych w Twojej bazie, masz k wektorów w Twojej bazie. Teraz poeksperymentujmy trochę. Twierdzę, że układ współrzędnych, z uwzględnieniem tego, jest dobry. Ale co to znaczy "dobry" ? Mam na myśli, standardowa baza jest dobra, ale tak jest po prostu, ponieważ używamy jej i wydaje się, że łatwo sobie z nią poradzić. Ale zobaczmy, kiedy mówię "dobry" w tym kontekście, co mam na myśli? Poeksperymentujmy. Jeśli mówię, że jakiś wektor x jest elementem V, to znaczy, że x może być przedstawiony jako linowa kombinacja tych tu wyżej. Więc x może być przedstawiony jako pewna stała razy v1, plus jakaś stała razy v2, plus i-ta stała razy vi, i tak dalej aż do k-tej stałej razy vk. To właśnie oznacza bycie elementem podprzestrzeni. Ta podprzestrzeń jest rozpięta przez te wektory, więc ten może być przedstawiony jako liniowa kombinacja tych. Teraz, co się stanie jeśli weźmiemy iloczyn skalarny obu stron tego równania z vi? Więc będę brał vi, będę mnożył obie strony przez vi. Dostanę więc vi pomnożone przez x, czemu to będzie równe? To będzie -- możemy wyłączyć stałe -- to będzie c1 razy vi, kropka v1, plus c2 razy v1 kropka v2,plus i tak dalej, ci razy vi kropka vi i tak dalej aż do ck razy vi kropka vk. Teraz, to jest zbiór ortonormalny. To znaczy, jeśli weźmiesz dwa wektory, które są różne od każdych innych w naszej bazie, to jeśli weźmiesz ich iloczyn skalarny, dostaniesz 0. Są wzajemnie prostopadłe. Więc to są dwa różne wektory z naszego zbioru. Będą prostopadłe, więc to wyrażenie będzie 0. To będzie 0 razy c1, więc to będzie 0. To wyrażenie także będzie 0, zakładając, że i jest różne od 2. Załóżmy to. To wyrażenie tutaj, załóżmy, że i jest różne od k. To także będzie równe 0. Więc wszystkie te wyrażenia będą równe 0, z wyjątkiem przypadku gdzie v z indeksem i będzie równe, w tym przypadku, v z indeksem i. Z wyjątkiem przypadku, gdzie ten indeks jest równy temu indeksowi. Czym jest v z indeksem i razy v z indeksem i? Wiesz, ortonormalność ma dwie strony. Są one prostopadłe względem wszystkich pozostałych i wszystkie są unormowana, mają długość 1. Więc v z indeksem i razy v z indeksem i to będzie równe 1. Więc to całe równanie uprościło się do v z indeksem i -- co jest jednym z tych (wektorów) , to jest i-ty element naszego zbioru bazowego -- kropka x -- gdzie x jest jakimś elementem z podprzestrzeni -- jest równe jedynej rzeczy, która jest po lewej stronie, czyli 1 razy ci. 1 razy ci. To jest po prostu ci. Dlaczego jest to użyteczne? Wiesz, eksperymentowaliśmy i dostaliśmy ten miły wynik tutaj. Dlaczego jest to użyteczne z punktu widzenia posiadania układu współrzędnych w odniesieniu do tej bazy? Przypomnijmy sobie, czym tu jest układ współrzędnych. Jeśli chcieliśmy przedstawić wektor x, który jest elementem naszej podprzestrzeni, we współrzędnych, które uwzględniają bazę naszej przestrzeni -- podprzestrzeń może mieć wiele baz, ale to jest baza, którą wybraliśmy. Chcemy więc zapisać x w odniesieniu do bazy B. Co robimy? Współrzędnymi będą współczynniki przy różnych wektorach bazowych. To wszystko jest w ramach powtórzenia. To będzie c1, c2 i dojdziemy do ci i tak dalej do ck. Będziesz miał k wyrażeń, ponieważ to jest k-wymiarowa podprzestrzeń. Zazwyczaj nie jest to taka łatwa rzecz do wyliczenia. Jeśli dam Ci jakiś wektor x -- mam na myśli, widzieliśmy to już wcześniej. Jeśli masz x Jeśli masz x przedstawiony w układzie współrzędnych B, potem możesz pomnożyć go przez macierz zamiany bazy i możesz dostać prawdziwy x. Ale jeśli masz prawdziwy x i potrzebujesz go znaleźć, jeśli C jest odwracalna, możesz potem zastosować to równanie tutaj, które nie zawsze występuje. Tak jest tylko, gdy C jest odwracalna tylko gdy C jest odwracalna. Przede wszystkim, C nie zawsze będzie odwracalna. Jeśli to nie jest macierz kwadratowa, wtedy to nie zostanie zastosowane. To jest jeden sposób, jeśli dam Ci Twój x, żeby dostać przedstawienie x w B. Ale jeśli C nie jest odwracalna, wtedy będziesz musiał rozwiązać to równanie. Będziesz musiał mieć coś po prawej stronie. Będziesz miał macierz zamiany bazy. I wtedy będziesz musiał rozwiązać to równanie. Dla ustalonej bazy, która może być bardzo uciążliwa. Ale co mamy tutaj? Mamy bardzo proste rozwiązanie na znalezienie różnych współrzędnych x. To jest to samo, co bycie równym -- c1 będzie równe mojemu pierwszemu wektorowi bazowemu pomnożonemu przez x. Mówimy, że ci jest i-tym wektorem bazowym pomnożonym przez x. Więc c1 będzie pierwszym wektorem bazowym pomnożonym przez x. c2 będzie moim drugim wektorem bazowym pomnożonym przez x. I tak dalej aż do ck, które będzie moim k-tym wektorem bazowym pomnożonym przez x. Pokażę Ci, że to jest faktycznie łatwiejsze. Zróbmy konkretny przykład. Chcę pozostawić ten wynik tutaj. Powiedzmy, że mam dwa wektory. Powiedzmy, że v1 jest wektorem 3/5. Zapiszę to w ten sposób. Powiedzmy, że to jest 3/5 i 4/5. v2 jest równy minus 4/5, 3/5. 3/5 Powiedzmy, że zbiór B jest równy -- składa się z dwóch wektorów, v1 i v2. Teraz, twierdzę, że to jest zbiór ortonormalny. Sprawdźmy to. Jaka jest długość v1 do kwadratu? To jest v1 pomnożone przez siebie. Więc to jest 3/5 do kwadratu, co jest 9/25, plus 4/5 do kwadratu, co jest 16/25, co jest równe 25/25, co jest równe 1. Więc ten zdecydowanie ma długość 1. Jaka jest długość v2 do kwadratu? To będzie ten (wektor) do kwadratu. Minus 4/5 do kwadratu to 9/25, plus 3 -- Przepraszam, minus 4/5 do kwadratu to jest 16/25. Następnie 3/5 do kwadratu jest 9/25. I ponownie, kwadrat długości będzie 1, czyli długość będzie 1. Więc oba wektory zdecydowanie mają długość 1. Teraz musimy sprawdzić, że są wzajemnie prostopadłe. Czym jest v1 kropka v2? To będzie 3/5 razy minus 4/5. To będzie minus 12/25 plus 4/5 razy 3/5, co będzie plus 12/25, co jest równe 0. Więc zdecydowanie te wektory są prostopadłe względem pozostałych i ich długości są równe 1, więc to jest zdecydowanie zbiór ortonormalny. To mówi nam także, że są liniowo niezależne. Powiedzmy, że mój zbiór B jest bazą dla pewnej podprzestrzeni V dla pewnej podprzestrzeni V. Prawdę mówiąc, to nie jest -- nie musimy nawet mówić, że -- to jest baza dla R2. To jest baza dla R2. Skąd wiemy, że to jest baza dla R2? Mam dwa liniowo niezależne wektory w mojej bazie i rozpinają one dwuwymiarową przestrzeń R2, więc to może być baza dla wszystkiego z R2. Teraz, biorąc pod uwagę to, co już widzieliśmy, wybierzmy jakiś losowy element z R2. Jeśli wybierzemy pewien przypadkowy element R2, powiedzmy, że x jest równy -- nie wiem, wybiorę pewne przypadkowe liczby -- 9 i minus 2 9 i minus 2. Jeśli nie wiedzielibyśmy, że to była ortonormalna baza i chcielibyśmy wyliczyć x we współrzędnych B, co musielibyśmy zrobić, to stworzyć macierz zamiany bazy. Więc macierz zamiany bazy byłaby 3 -- zapiszę to jakby to było -- 3/5, 4/5, minus 4/5 i potem 3/5. Powiedzielibyśmy, że to razy moje przedstawienie x we współrzędnych B będzie równe mojemu prawdziwemu przedstawieniu x czy też standardowym współrzędnym x. Musiałbym rozwiązać układ 2 na 2, a w przypadku 2 na 2 nie jest to takie złe. Ale mamy tu porządne narzędzie dla zbiorów ortonormalnych, czy też baz ortonormalnych. Zamiast rozwiązywać równanie, możemy powiedzieć, że przedstawienie x we współrzędnych B będzie równe pozwól mi przesunąć to trochę w dół -- to będzie równe v1, które jest tym (wektorem) tutaj, pomnożone przez x. Więc to będzie v1 kropka x. Wtedy ten tutaj będzie v2 kropka x. Mogę to zrobić, ponieważ to jest baza ortonormalna. Czemu to będzie równe? x jest 9 minus 2. x jest 9 minus 2. Jeśli mnożę to z v1, dostanę 9 razy 3/5, co jest 27/5. 9 razy 3 jest 27/5, plus minus 2 razy 4/5,więc to jest minus 8/5. Minus 2 razy 4/5 jest minus 8/5 minus 8/5 Potem drugim wyrażeniem jest v2 kropka x. Więc v2 kropka x. Dostaję 9 razy -- przesunę to trochę -- 9 razy minus 4/5, to jest minus 36/5, plus minus 2 razy 3/5, to jest plus minus 2 razy 3/5, to jest minus 6/5. Więc przedstawienie x we współrzędnych B, używając tej własności baz ortonormalnych, jest równe -- Co to jest? 27 minus 8 to 19/5, a potem minus 36, minus 6 jest minus 42/5. Nieładna odpowiedź, ale , wiesz, mielibyśmy tą brzydką odpowiedź tak czy inaczej. Ale mam nadzieję, widzisz, że kiedy mamy ortonormalną bazę, znalezienie współrzędnych względem tej bazy staje się dużo łatwiejsze. To jest tylko przykład w R2. Możesz sobie wyobrazić, jak trudne mogłoby to być, jeśli miałbyś do czynienia z, jeśli miałbyś do czynienia z R4 lub R100. Wtedy rozwiązanie tych układów nie jest tak łatwe, ale biorąc iloczyny skalarne jest to zawsze dość proste. Więc wcześniej w tym filmie, gdy powiedziałem, baza ortonormalna, wiesz, do czego dobrego prowadzi? Powiedziałem, że standardowa baza jest dobra. To są dobre układy współrzędnych. Używałeś ich wcześniej. Nie będę podawała wielu kontekstów, co znaczy "być dobrym". Ale teraz widzimy jedną wersję, do czego to dobrego prowadzi. Jest bardzo łatwo znaleźć współrzędne w ortonormalnej bazie, czy też współrzędne względem bazy ortonormalnej.