Przykład ortonormalizacji Gramma-Schmidta w przestrzeni trójwymiarowej — film z polskimi napisami

Zróbmy jeszcze jeden przykład ortonormalizacji Grama-Schmidta. Powiedzmy, że mamy podprzestrzeń V rozpiętą przez wektory -- powiedzmy, że mamy do czynienia z R4, czyli pierwszy wektor to 0,0,1,1. Drugi wektor: 0, 1, 1, 0. A trzeci wektor -- czyli to będzie trójwymiarowa podprzestrzeń R4 -- ma współrzędne 1, 1, 0, 0. Trójwymiarowa podprzestrzeń w R4. Chcemy znaleźć bazę ortonormalną przestrzeni V. Czyli chcemy zastąpić tych trzech kolesi trzema innymi wektorami które są do siebie nawzajem prostopadłe i mają długość 1. Czli robimy to samo, co robiliśmy wcześniej. Możemy powiedzieć -- oznaczmy tego kolesia v1, tego v2, a tego nazwijmy v3. Pierwszą żeczą, którą zrobimy jest zastąpienie -- wybieram losowo tego kolesia, bo był pierwszy w kolejce. Chcę zastąpić v1 jego znormalizowaną wersją. Oznaczę więc przez u1 -- po prostu obliczę długość v1. Myślę, że nie muszę za dużo mówić o teorii w tym momencie. Po prostu chcę pokazać przykład. A więc długość v1 jest równa pierwiastkowi z 0 kwadrat dodać 0 kwadrat dodać 1 kwadrat dodać 1 kwadrat, co daje pierwiastek z 2. Definiuję mój nowy wektor u1 jako 1 przez długość v1, 1 przez pierwiastek z 2, razy v1, czyli razy 0, 0, 1, 1. Tak po prostu, przestrzeń rozpięta na v1, v2, v3 jest tym samym, co przestrzeń rozpięta na u1, v2 i v3. Czyli to jest mój pierwszy wektor, który znormalizowałem. Czyli teraz mogę powiedzieć, że V jest przestrzenią rozpiętą na wektorach u1, v2 i v3. Ponieważ mogę zastąpić v1 tym kolesiem, bo ten koleś jest po prostu przeskalowaną wersją tego kolesia. Czyli zdecydowanie mogę reprezentować go tym, czyli mogę reprezentować dowolną kombinację liniową tych kolesi za pomocą kombinacji liniowej tych kolesi tutaj. Dobra, zrobiliśmy nasz pierwszy wektor. Znormalizowaliśmy ten. Ale musimy zastąpić te pozostałe wektory, wektorami które są prostopadłe do tego kolesia tutaj. Zajmijmy się najpierw v2. Zastąpmy go -- oznaczmy go y2 równy v2 odjąć rzut v2 na podprzestrzeń rozpiętą przez u1 albo -- no wieciem mogłem nazwać to c razy u1, albo w poprzednich filmach nazywaliśmy to przestrzenią V1, przestrzenią rozpiętą przez u1. A to będzie równe, y2 jest równe v2, czyli 0, 1, 1, 0 odjąć v2 zrzutowane na podprzestrzeń czyli iloczyn skalarny v2 (0, 1, 1, 0) z wektorem rozpinającym tę przestrzeń. Jest tylko jeden taki, czyli będziemy mieli jeden składnik, jak ten z u1, czyli mnożymy przez1 przez pierwiastek z 2 razy 0, 0, 1, 1, a potem całe to razy u1. Czyli 1 przez pierwiastek z 2 razy wektor 0, 0, 1, 1. Czyli to będzie równe v2, czyli 0, 1, 1, 1. Pierwiastek z 2 -- wyciągniemy go. Czyli dostajemy poprostu -- mnożymy oba pierwiastki. Czyli dostajemy 1 przez pierwiastek z 2 razy 1 przez pierwiastek z 2 daje minus 1/2. A ile jest równy iloczyn skalarny tych dwóch kolesi? Mamy 0 razy 0 dodać 1 razy 0, ciągle 0, dodać 1 razy 1, dodać 0 razy 0. Czyli dostaniemy 1 razy to tutaj: 0, 0, 1, 1. Zapiszę to trochę ładniej. Robię się trochę niedbały. 1, 1. Czyli to będzie równe 0, 1, 1, 0 odjąć 1/2 razy 0 daje 0. 1/2 razy 0 daje 0. Potem mam dwie połówki tutaj. Czyli y2 jest równe -- zobaczmy, 0 odjąć 0 daje 0, 1 odjąć 0 daje 1, 1 odjąć 1/2 daje 1/2 i wreszcie 0 odjąć 1/2 daje minus 1/2. Czyli V możemy teraz zapisać jako podprzestrzeń rozpiętą na u1, y2 i v3. I to jest postęp. u1 jest prosopadłę, y2 -- przepraszam, u1 jest unormowane. Ma długość 1. y2 jest prostopadłę to niego, albo one są prostopadłe do siebie nawzajem, ale y2 nadal nie jest unormowane. Czyli teraz zastąpię y2 jego unormowaną wersją. Długość y2 jest równa pierwiastkowi z 0 dodać 1, czyli 1 dodać 1/2 kwadrat, czyli 1/4 dodać minus 1/2 kwadrat, czyli to też jest 1/4, czyli dodać 1/4. Czyli to jest 1 i 1/2. Czyli to jest równe pierwiastkowi z 3/2. Pozwólcie, że zdefiniuję inny wektor tutaj. u2, który jest równy 1 prez pierwiastek z 3/2, albo możemy powiedzieć pierwiastek z 2/3, po prostu odwracam to. To jest 1 przez długość y2. Wziąłem po prostu odwrotność, czyli to jest pierwiastek z 2 przez 3 razy y2, razy ten koleś tutaj, razy 0, 1, 1/2, -1/2. Czyli to te wektory rozpinają tę samą przestrzeń co wektory u1, u2 i v3. Czyli to jest nasz drugi wektor bazowy. Robimy duży postęp. Ci kolesie są prostopadli do siebie. Obaj mają długość 1. Musimy jeszcze zająć się v3. I zrobimy to tak samo. Znajdziemy wektor, który jest prostopadły do tych kolesi i jak dodam ten wektor do pewnej kombinajci tych kolesi to otrzymam v3 i zamierzam nazwać ten wektor y3. y3 jest równe v3 odjąć rzut v3 na podprzestrzeń rozpiętą przez u1 i u2. Czyli mogłbym to nazwać podprzestrzenią -- napiszę to tu. Podprzestrzeń rozpięta na u1 i u2, dla porządku, nazwę ją V2. Czyli to jest V3 i właściwie, nie muszę nawet tego pisać. Odjąć rzut v3 na to. I czemu to będzie równe? To będzie równe v3 razy skalarnie u1 razy u1, razy wektor u1. I jeszcze dodać v3 razy skalarnie u2 razy wektor u2. Ponieważ to jest baza ortonormalna, to rzut na nią obliczamy biorąc iloczyn skalarny v2 z każdym z jej wektorów bazowych i mnożąc je przez ortonormalny wektor bazowy. Widzieliśmy to kilka filmów temu. To jest jedna z fajnych własności baz ortonormalnych. Czyli czemu to będzie równe? Trochę więcej liczenia tutaj. y3 jest równe v3, które jest tutaj. To jest v3. v3 wygląda tak. To jest 1, 1, 0, 0 odjąć v3 razy skalarnie u1. Czyli mamy minus v3 1, 1, 0, 0, razy u1. Czyli razy 1 przez pierwiastek z 2 razy 0, 0, 1, 1. To jest u1 -- czyli to jest ta część tutaj -- razy u1, czyli 1 przez pierwiastek z 2 razy 0, 0, 1, 1. Ta cęść tutaj jest tą częścią tutaj. A teraz możemy pomnożyć przez minus 1, czyli tu będzie plus. No wiecie, mamy plus, ale mamy minus tutaj, czyli piszemy minus v3. Zmienię kolory. Minus v3, czyli 1, 1, 0, 0 pomnożone skalarnie przez u2, czyli pierwiastek z 2/3 razy 0, 1, 1/2, -1/2 razy u2, razy wektor u2, razy pierwiastek z 2/3, razy wektor 0, 1, 1/2, -1/2. I co dostaniemy? Obliczmy to. Czyli możemy wziąć -- a więc to będzie równe wektorowi 1, 1, 0, 0 odjąć -- czyli jeden przez pierwiastek z 2 i 1 przez pierwiastek z 2 --mnożymy je. Dostajemy 1/2. A potem, kiedy weźmiemy iloczyn skalarny tych dwóch, 1 razy 0 -- zobaczmy to właściwie będzie, kiedy weźmiemy iloczyn skalarny tego wszystkiego, to dostaniemy 0, zgadza się? Czyli ten koleś, v3, był już prostopadły do u1. Czyli to będzie po prostu zero, co jest fajne. Nie będziemy mieli tutaj tego składnika. Wziąłem iloczyn skalarny 1 razy 0 dodać 1 razy 0 dodać 0 razy 1 doać 0 razy 1, co razem daje 0. Czyli cały ten składnik wypada. Możemy go pominąć, co upraszcza nasze obliczenia. A potem tutaj mamy minus pierwiastek z 2/3 razy pierwiastek z 2/3, czyli 2/3 razy iloczyn tych dwóch kolesi. Czyli to jest 1 razy 0, czyli 0, dodać 1 razy 1, czyli 1, dodać 0 razy 1/2, czyli 0 dodać 0 razy minus 1/2, czyli 0, a więc dostajemy tutaj 1 razy wektor 0, 1, 1/2, -1/2. A potem co dostajemy? Dostajemy -- to już ostatnia prosta -- 1, 1, 0, 0 odjąć 2/3 razy wszyscy ci kolesie. Czyli 2/3 razy 0 daje 0. 2/3 razy 1 daje 2/3. 2/3 razy 1/2 daje 1/3. A potem 2/3 razy minus 1/2 daje minus 1/3. Czyli to będzie równe 1 odjąć 0, czyli 1, 1 odjąć 2/3, czyli 1/3, 0 odjąć 1/3 czyli minus 1/3 i potem 0 odjąć minus 1/3, czyli plus 1/3. Czyli ten wektor y3 jest prostopadły to tych dwóćh wektorów co jest miłe, ale ciągle jeszcze nie jest unormowany. Czyli musimy go jeszcze unormować i będzie po wszystkim. Będziemy mieli bazę ortonormalną. Będziemy mieli u1, u2 i teraz obliczymy u3. Czyli długość mojego wektora y -- właściwie zróbmy coś jeszcze lepszego. To uprości nam trochę spawy. Zamiast pisać to w ten sposób, mógłbym przeskalować y, prawda? Wszystko czego potrzebuję to mieć wektor prostopadły do dwóch pozostałych który rozpina tę samą przestrzeń. Czyli mogę przeskalować tego kolesia. Czyli mógłbym powiedzieć, no nie wiem -- oznaczmy go y3 prim. Robię to żeby uprościć obliczenia. Mogę po prostu przeskalować tego kolesia, pomnożyć go przez 3. Czyli co dostaję? Mogłem prawdopodobnie zrobić to samo z innymi. 3, 1, minus 1 i 1. Czyli mogę zastąpić y3 tym kolesiem, a potem unormować tego kolesia. Tak będzie trochę prościej. Czyli długość y3 prim, który właśnie zdefiniowałem jest równa pierwiastek z 3 kwadrat, czyli 9 dodać 1 kwadrat dodać minus 1 kwadrat, dodać 1 kwadrat, co daje razem pierwiastek z 12, a ile to jest? To są 2 pierwiastki z 3. To równa się 2 pierwiastki z 3, zgadza się? Pierwiastek z 4 razy pierwiastek z 3, co daje 2 pierwiastki z 3. Czyli moje u3 jest równe y3 razy 1 przez długość y3, czyli 1 przez 2 pierwiastki z 3 razy wektor 3, 1, minus 1 i 1. No i zrobione. Mamy bazę ortonormalną złożoną z tego kolesia -- przeniosę pozostałe tutaj na dół -- i tych kolesi. One razem tworzą -- przeniosę je tutaj na dół. Jeżeli mam kolekcję tych trzech wektorów, to mam bazę ortonormalną przestrzeni V, ci trzej kolesie tutaj. Ten zbiór stanowi bazę ortonormalną mojej oryginalnej podprzestrzeni V od któej zaczynałem.