Przykład ortogonalizacji Grama-Schmidta — film z polskimi napisami

W poprzednim filmie wyprowadziliśmy metodę generowania bazy ortonormalnej i nie było to nowe odkrycie. Nazywamy ją ortogonalizacją Grama-Schmidta. Zastosujmy ją teraz do jakichś konkretnych przykładów i mam nadzieję, że zobaczycie, że jest to bardziej konkretne, niż mogło się wydawać w poprzednim filmie. Powiedzmy, że mam płaszczyznę x1 dodać x2 dodać x3 równa się 0. To jest płaszczyzna w R3. Powiedzmy, że ta podprzestrzeń V jest równa płaszczyźnie zdefiniowanej przez to równanie tutaj: x1 dodać x2 dodać x3 równa się 0. Dla wszystkich wektorów w podprzestrzeni, jeżeli weźmiemy ich składowe i dodamy je, to dostaniemy 0. Czyli najpierw potrzebujemy jakąkolwiek bazę przestzreni V, czyli zobaczmy czy temu podołamy. Czyli jeżeli odejmiemy x2 i x3 od obu stron tego równania, wiemy że x1 jest równe minus x2 minus x3. Albo możemy powiedzieć, że podprzestrzeń V jest równa zbiorowi wszystkich wektorów w R3 -- x1, x2 i x3 -- któte spełniają równanie, powiedzmy minus -- zapiszę to w ten sposób. Powiedzmy, że x2 jest równe c1, a x3 jest równe c2. Wtedy to równanie zamieni się w x1 równa się minus c1 minus c2. Czyli jeżeli zapiszemy to w tem sposób, to podprzestrzeń V będzie zbiorem wszystkich wektorów W R3, takich że c1 razy wektor -- napiszę to w ten sposób -- c1 razy -- napiszę to tak -- plus c2 razy jakiś inny wektor, gdzie c1 i c2 są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, czyli c1 i c2 są elementami zbioru liczb rzeczywistych. Czyli co to jest x1? x1 jest równe minus c1 minus c2. Czyli x1 jest równe minus 1 c1 minus 1 c2. x2 jest po prostu równe c1. Czyli x2 jest równe 1 razy c1 dodać 0 razy c2. A potem x3 jest równe c2, czyli 0 razy c1 dodać 1 razy c2. Czyli V jest przestrzenią rozpiętą na tych wektorach i składa się ze wszystkich kombinacji liniowych tych wektorów. To reprezentuje tę płaszczyznę. Pozwólcie, że zapiszę to tak. Czyli V jest przestrzenią rozpiętą na wektorze minus 1, 1, 0 i wektorze minus 1, 0, 1. I możecie się przekonać, że to są wektory liniowe niezależne. Oczywiste jest, że nie ma wielokrotności tego kolesia, która może dać 1 tutaj i nie istnieje wielokrotność tego kolesia, która da nam 1 tutaj. Czyli to jest V. Ale chcemy, celem tego filmu jest znalezienie ortonormalnej bazy V. To jest po prostu baza. Ci kolesie tutaj stanowią zwykłą bazę V. Znajdźmy bazę ortonormalną. Nazwijmy ten wektor tutaj na górze v1 a ten tutaj nazwijmy v2. Jeżeli chcielibyśmy znaleźć bazę ortonormalną przestrzeni rozpiętej na v1 -- zapiszę to. Zdefiniuję pewną podprzestrzeń V1 rozpiętą tylko na wektorze v1. Widzieliśmy w poprzednim filmie, że jeżeli tylko podzielimy v1 przez jego długość, to będzie to wektor jednostkowy, a przestrzeń którą rozpina będzie tą samą podprzestrzenią V1. To jest po prostu linia w R3. A więc zróbmy to. Jaka jest długość v1? Długość v1 jest równa pierwiastkowi z minus 1 do kwadratu, czyli 1, dodać 1 do kwadratu, czyli 1 dodać 0 do kwadratu, czyli 0, czyli to się równa pierwiastek z 2. Czyli zdefiniujmy pewien wektor u1 równy v1 podzielonemu przez długość v1, czyli 1 przez pierwiastek z 2 razy v1, razy minus 1, 1, 0. Potem przestrzeń rozpięta na v1 jest tym samym co przestrzeń rozpięta na u1. Czyli to jest baza ortonormalna. Ten wektor tutaj stanowi bazę ortonormalną dla przestrzeni rozpiętej na v1. Ale nie chcemy tylko przestrzeni rozpiętej na v1, chcemy przestrzeni rozpiętej na v1 i v2. Narysuję to. Czyli na razie mamy bazę, jeżeli mam tylko u1... Nie mam zamiaru rysować jak to dokładnie wygląda. Może to wygląda jakoś tak i on rozpina całą prostą w R3. Jeden wektor rozpina linię w Rn, która składa się ze wszystkich jego wielokrotności. Czyli to tutaj jest podprzestrzeń V1. Teraz mamy v2 tutaj, który jest liniowo niezależny od tego kolesia, co oznacza, że jest linowo niezależny od tego kolesia, bo on jest przeskalowaną wersją tego kolesia. Czyli v2 będzie wyglądać tak. To jest v2 tutaj. To oczywiście było nasze u1. I to co chcemy zrobić to chcemy znaleźć podprzestrzeń V. Nazwę ją teraz V2. V2 jest podprzestrzenią rozpiętą na v1 i v2, która jest tą samą rzeczą co przestrzeń rozpięta -- wszystko rozpinane przez v1 jest rozpinane przez u1 -- przestrzeń rozpięta przez u1 i v2. Czyli chcemy ogarnąć wszystko co może być wygenerowane jako kombinacje liniowe wektorów u1 i v2. I oczywiście to tutaj jest naszą płaszczyzną, o której mówimy. To co rozpinają ci dwaj kolesie, jest całą podprzestrzenią, którą zajmujemy się w tym zadaniu. Czyli to jest równe V. Czyli jeżeli znajdziemy to, jeżeli znajdziemy ortonormalną wersję tej pary rozpinającej, to będzie po wszystkim. Czyli jak możemy to zrobić? Cóż, jeżeli mogę znaleźć wektor, który jest prostopadły do wszystkich wielokrotności tego, czyli jeżeli dodam wielokrotność tego do tego wektora v2, otrzymam wektor którym mogę zastąpić v2. Czyli możemy ten wektor nazwać y2, tak? Jeżeli mogę znaleźć y2, ten y2 jest oczywiście prostopadły do wszystkiego tutaj i mogę wziąć jakiś wektor w V1, na tej linii i dodać go do y2 i mogę dostać v2. Czyli kombinacje tych kolesi, są tak samo dobre nak V2. Czyli to będzie równe podprzestrzeni rozpiętej na u1 i y2. A teraz ile jest równe y2? No cóż, widzieliśmy to w poprzednim filmie, to po prostu rzut wektora v2. Ten wektor tutaj jest rzutem v2 na podprzestrzeń V1. A jak go znajdujemy -- a potem ile będzie równy y2? y2 będzie równy v2 odjąc to. Czyli y2 jest równe v2 odjąć rzut v2 na V1. Albo jeżeli chcemy to napisać, to czemu to się będzie równać? A więc to będzie się równało -- v2 jest wektorem tutaj. Czyli mamy minus 1, 0, 1. To jest v2. v2 odjąć rzut v2 na v1. Rzut wektora v2 na podprzestrzeń V1 jest po prostu v2 odjąć 1, 0, 0 pomnożone skalarnie przez bazę ortonormalną V1. Bazą ortonormalną dla V1 jest po prostu u1. No i rozwiązaliśmy ze względu na u1 tutaj, czyli to będzie to pomnożone skalarnie przez 1 przez pierwiastek z 2 razy -- zrobię to na żółto, właściwie widzicie, że to jest u1. Czyli mnożene skalarne przez u1, czyli przez 1 przez pierwiastek z 2 razy minus 1, 1, 0 -- lubię mieć 1 przez pierwiastek z 2 na zewnątrz, żeby zapis był prostszy -- to wszystko podzielone przez -- właściwie podzielone przez nic. Ponieważ jeżeli mieliśmy rzut na prostą, musielibyśmy podzielić przez iloczyn wektora bazy z samym sobą, ale jego długość jest 1, więc nie musimy dzielić i wydzieliśmy to już wcześniej. Właściwie pozwólcie -- przepiszę to trochę. Przesunę trochę w dół. Sprawdzę czy mogę to przesunąć. To jest równe temu kolesiowi, tak? Uproszczę te liczby. To jest v2 odjąć rzut v2 na podprzestrzeń 1. Czyli to jest po prostu v2 pomnożone skalarnie przez moją bazę ortogonalną dla V1, mój pierwszy wektor w mojej bazie ortogonalnej. Jest tu tylko jeden, czyli będę miał tu tylko jeden składnik, a potem to wszystko razy mój ortonormalny wektor bazowy dla V1. Czyli 1 przez pierwiastek z 2 razy wektor minus 1, 1, 0. Teraz to wygląda na prawdę fajnie. To tutaj jest naszą bazą ortonormalną dla przestrzeni V1, ale do czego to się upraszcza? Czyli to będzie równe -- pamiętajcie o tym tutaj, tym kawałku tutaj, to jest rzut v2 na V1. To właśnie to znaczy tutaj. Czyli to będzie równe wektorowi minus 1, 0, 1, odjąć -- teraz mogę wyciągnąć 1 przez pierwiastek z 2 na zewnątrz. Właściwie, mogę wyciągnąć obie te rzeczy na zewnątrz. Czyli 1 przez pierwiastek z 2 razy 1 przez pierwiastek z 2, to będzie równe jedna druta, zgadza się? Czyli tutaj mamy 1/2 razy iloczyn skalarny tych kolesi. Zapiszę to w ten sposób. A więc ile wynosi iloczyn skalarny tych kolesi? To będzie liczba. Minus 1 razy minus 1 daje 1, dodać 0 razy 1, czyli 0 dodać 1 razy 0 czyli dodać 0. Czyli to całe razy -- właściwie już użyliśmy tej części tego, czyli tylko to nam zostało -- razy minus 1, 1, 0. To był iloczyn skalarny i wyciągneliśmy dwa współczynniki liniowe. Potem mnożymy je i dostajemy 1/2, czyli to będzie1, co bardzo upraszcza sprawę. Czyli to będzie równe wektorowi minu 1, 0, 1, minus 1/2 razy to, albo moglibyśmy po prostu napisać -- 1/2 razy minus 1 daje minus 1/2. Mamy 1/2 a potem mamy 0. A więc to będzie równe minus 1, minus minus 1/2. Czyli plus 1/2, czyli to będzie równe minus 1/2, 0 minus 1/2 daje minus 1/2. A potem 1 odjąc 0 daje 1. Czyli to jest nasz wektor y2. I jeżeli weźmiemy u1 stąd i y2, to one rozepmną naszą podprzestrzeń V. Ale nie mamy jeszcze bazy ortonormalnej. Ci kolesię są do siebie prostopadli, ale ten koleś nie ma długości równej 1. A więc, żeby mieć wektor o długości 1 musimy go zastąpić. Zdefiniujmy inny wektor u2, równy 1 przez długość wektora y2 razy y2. Jak jest długość y2? Długość y2 jest równa pierwiastkowi z minus 1/2 do kwadratu, czyli 1/4 dodać 1/4 dodać 1 do kwadratu. Czyli to jest pierwiastek z 1 i 1/2, czyli z 3/2. Czyli to jest pierwiastek z 3/2, zgadza się? Tak to jest 1/2 dodać 1, czyli 1 i 1/2, czyli 3/2. Czyli to jest pierwiastek z 3/2. Czyli zdefiniowałem u2, u2 jest równe 1 przez pierwiastek z 3/2, albo to jest to samo co pierwiastek z 2/3 razy y2, czyli to jest tek koleś tutaj, minus 1/2, minus 1/2 i 1. Wcześniej zdefiniowałem u1 tutaj. u1 było tu na górze. Skopiuję i wstawię. Właściwie, przesunę go na dół. Czyli obliczyłem u1 tutaj. Mamy teraz dwa wektory, które są do siebie prostopadłe (inaczej mówiąc ortogonalne). Czyli jeżeli mam zbiór u1 i u2, ci kolesie obaj mają długość 1. Są prostopadłe (ortogonalne) do siebie i rozpinają przestrzeń V. Czyli to jest baza ortonormalna płaszczyzny, od której zaczeliśmy, czyli V. No i skończone. Zrobiliśmy ortogonalizację Grama-Schmidta. To są nasze nowe ortonormalne wektory bazowe.