Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:11:16
0 punktów energii
Uczysz się do testu? Skorzystaj z tych 5 lekcji na temat Alternatywne układy współrzędnych (podstawy).
Zobacz 5 lekcji
Transkrypcja filmu video (w języku angielskim)
Powiedzmy, że mam zbiór wektorów. Nazwę mój zbiór B. Powiedzmy, że mam wektory v1,v2 i tak dalej aż do vk. Powiedzmy teraz, że nie jest to dowolny zbiór wektorów. Jest kilka interesujących rzeczy o tych wektorach. Pierwszą rzeczą jest, że każdy z nich ma długość 1. Możemy powiedzieć, że długość wektora vi jest równa 1 dla i równego -- możemy powiedzieć między 1 i k lub i jest równe 1,2 i tak dalej aż do k. Wszystkie te wektory mają długość 1. Albo można to powiedzieć inaczej, kwadrat ich długości wynosi 1. Kwadrat vi, którego długość jest równa 1. Lub vi kropka vi jest równe 1 dla i takiego, że vi jest którymś z tych wektorów. Każde i może być 1,2,3 i tak dalej aż do k. Dla i równego 1,2 i tak dalej aż do k. To jest pierwsza interesująca rzecz. Zapiszmy to słowami. Wszystkie wektory w B mają długość 1. Albo możemy powiedzieć inaczej, wszystkie zostały unormowane. Jest to inny sposób, aby powiedzieć, że wszystkie zostały unormawane. Albo wszystkie są wektorami jednostkowymi. Unormowane wektory są wektorami, których długość zmieniłeś na 1. Przekształciłeś je w wektory jednostkowe. Wszystkie zostały unormowane. Wszystkie zostały unormowane. Więc to jest pierwsza interesująca rzecz o moim zbiorze B. Następną interesującą rzeczą o moim zbiorze B jest, że wszystkie wektory są wzajemnie prostopadłe. Jeśli pomnożysz go przez siebie, jeśli pomnożysz wektor przez siebie, dostaniesz długość 1. Ale jeśli weźmiesz wektor i pomnożysz go przez każdy inny wektor jeśli weźmiesz vi i pomnożysz go przez vj Jeśli wziąłeś v2 i pomnożyłeś go przez v1, to będzie to równe 0 dla i różnego od j. Wszystkie te wektory są prostopadłe. Pozwól mi to zapisać. Wszystkie wektory są wzajemnie prostopadłe. Oczywiście nie są prostopadłe do samych siebie, ponieważ wszystkie mają długość 1. Więc jeśli weźmiesz iloczyn skalarny wektora przez siebie, to dostaniesz 1. Jeśli weźmiesz iloczyn skalarny z dowolnym innym wektorem z Twojego zbioru, dostaniesz 0. Może napiszę to w ten sposób. vi kropka vj dla wszystkich elementów tego zbioru będzie równe 0 dla i różnego od j. A wtedy gdy te wektory są takie same -- mnożę je przez siebie -- będę miał długość 1. Więc to byłoby równe długości, czyli 1 dla i równego j. Mam więc specjalny zbiór. Wszystkie wektory mają długość 1 i wszystkie są wzajemnie prostopadłe. Są unormowane i wszystkie są prostopadłe. Mamy na to specjalne słowo. Ten zbiór nazywamy zbiorem ortonormalnym. Więc B jest zbiorem ortonormalnym. "Orto" od ortogonalny (prostopadły). Normalny od unormowany. Wszystko jest prostopadłe. Wszystkie wektory są wzajemnie prostopadłe. I wszystkie zostały unormowane. Wszystko ma długość 1. Teraz, pierwszą interesującą rzeczą o zbiorze ortonormalnym jest, że będzie to także zbiór liniowo niezależny. Więc jeśli B jest ortonormalny, B będzie również liniowo niezależny. Jak mogę Ci to pokazać? Załóżmy, że nie jest liniowo niezależny. Weźmy vi i weźmy vj, które są elementami mojego zbioru. Załóżmy, że i jest różne od j. Teraz, wiemy już, że jest to zbiór ortonormalny. Zatem vi kropka vj będzie równe 0. One są prostopadłe. Te dwa wektory są w moim zbiorze. Załóżmy teraz, że są liniowo zależne. Chcę udowodnić, że są liniowo niezależne i będę dowodził tego zakładając, że są liniowo zależne, a potem dochodząc do sprzeczności, a potem dochodząc do sprzeczności. Załóżmy, że vi i vj są liniowo zależne. To znaczy, że mogę przedstawić jeden z nich jako skalar pomnożony przez drugi. Mogę wybrać którykolwiek sposób. Powiedzmy, na potrzeby dyskusji, że mogę przedstawić vi -- powiedzmy, że vi jest równy pewien skalar c razy vj. To właśnie oznacza liniowa zależność. Jeden z nich może być przedstawiony jako skalar pomnożony przez drugi. Jeśli jest to prawdą, to mogę podstawić to z powrotem za vi. Co dostanę? Dostanę c razy vj , co jest innym sposobem zapisania vi ponieważ założyłem liniową zależność. To kropka vj musi być równe 0. To było vi. To jest vj. Są do siebie prostopadłe. Ale to tutaj jest równe c razy vj kropka vj, co jest równe c razy kwadrat długości vj. A to musi być równe 0. Wektory są prostopadłe, więc to musi być równe 0, co implikuje, ze długość vj musi być równa 0. Jeśli założymy, że to jest jakiś niezerowy mnożnik, a to musi być niezerowy mnożnik-- powinienem napisać to tutaj -- c jest różne od 0. Dlaczego musi to być niezerowy mnożnik? Ponieważ to były dwa niezerowe wektory. To jest niezerowy wektor. Więc to nie może być 0. Ten ma długość 1. Więc jeśli to jest niezerowy wektor, nie ma możliwości, żeby tu położyć 0. Ponieważ jeśli położę 0, wtedy dostałbym wektor 0. Więc c nie może być 0. Zatem jeśli c jest różne od 0, to ten tutaj musi być 0. I dostajemy, ze długość vj wynosi 0. Co wiemy, że jest nieprawdą. Długość vj jest 1. To jest zbiór ortonormalny. Długość wszystkich elementów z B jest 1. Więc dotarliśmy do sprzeczności. To jest nasza sprzeczność. vj nie jest wektorem 0. Ma długość 1. Sprzeczność. Więc jeśli masz zbiór wektorów ortonormalnych i są niezerowe, to muszą być liniowo niezależne. Co jest bardzo interesujące. Więc jeśli mam zbiór, ten ortonormalny zbiór tutaj, jest on także zbiorem liniowo niezależnych wektorów, więc może być bazą podprzestrzeni. Powiedzmy, że B jest bazą pewnej podprzestrzeni V. Albo możemy powiedzieć, że V jest równe przestrzeni rozpiętej przez v1,v2 aż do vk. Wtedy nazwaliśmy B -- jeśli to był tylko zbiór, nazwaliśmy go zbiorem ortonormalnym, ale to może być ortonormalna baza, jeśli rozpina pewną podprzestrzeń. Możemy napisać, możemy powiedzieć, że B jest ortonormalną bazą dla V. Teraz wszystko co zrobiłem jest bardzo abstrakcyjne, ale zrobię dla Ciebie szybki przykład. Żebyś zrozumiał, jak wygląda baza ortonormalna z liczbami rzeczywistymi. Powiedzmy, że mam dwa wektory. Powiedzmy, że mam wektor v1. Powiedzmy, że mamy do czynienia z R3, więc to jest 1/3, 2/3 i 2/3. I powiedzmy, że mam inny wektor v2, który jest równy 2/3, 1/3 i minus 2/3. Powiedzmy, że B jest zbiorem złożonym z v1 i v2. Pierwszym pytaniem jest, jaka jest długość tych wektorów? Weźmy ich długość. Kwadrat długości v1 to po prostu v1 kropka v1. Czyli 1/3 do kwadratu, co jest równe 1 przez 9. Plus 2/3 do kwadratu, czyli 4/9. Plus 2/3 do kwadratu, czyli 4/9. Co jest równe 1. Jeśli kwadrat długości jest 1, to długość naszego pierwszego wektora jest równa 1. Jeśli kwadrat długości jest 1, bierzesz pierwiastek kwadratowy, więc długość jest 1. A co z drugim wektorem ? Długość drugiego wektora do kwadratu jest równa v2 kropka v2. Co jest równe -- zobaczmy, 2/3 do kwadratu, czyli 4/9 -- plus 1/3 do kwadratu jest 1/9. Plus 2/3 do kwadratu jest 4/9. Więc to jest 9/9, co jest równe 1. Mówi nam to, że długość v2, długość wektora v2 jest równa 1. Wiemy więc, że te wektory są na pewno unormowane. Możemy nazwać nasz zbiór unormowanym zbiorem. Ale czy jest on ortonormalnym zbiorem? Czy te wektory są wzajemnie prostopadłe? Żeby to sprawdzić, weźmy ich iloczyn skalarny. v1 kropka v2 jest równe 1/3 razy 2/3, co jest równe 2/9 Plus 2/3 razy 1/3, co jest równe 2/9. Plus 2/3 razy minus 2/3. To jest minus 4/9. minus 4/9 2 plus 2 minus 4 to 0. To jest równe 0. Więc te wektory są rzeczywiście prostopadłe. Więc B jest zbiorem ortonormalnym. zbiór ortonormalny Jeśli mam podprzestrzeń, powiedzmy, że V jest równe przestrzeni rozpiętej przez v1 i v2, wtedy możemy powiedzieć, że bazą dla V albo możemy powiedzieć, że B jest ortonormalną bazą bazą dla V.