Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:19:24
0 punktów energii
Uczysz się do testu? Skorzystaj z tych 5 lekcji na temat Alternatywne układy współrzędnych (podstawy).
Zobacz 5 lekcji
Transkrypcja filmu video (w języku angielskim)
Powiedzmy, że mamy dany układ liniowo niezależnych wektorów. v1, v2 i tak aż do vk - tworzą one bazę przestrzeni V. Widzieliśmy to już wiele razy. To miłe. To jest bazą, ale nauczyliśmy się w kilku ostatnich filmach, że dużo lepiej jest mieć bazę ortonormalną V. Zamierzamy w tym filmie poruszyć metodę, za pomocą której możemy tworzyć ortonormalną bazę V mając daną bazę, która - jak zakładam - nie jest ortonormalna. Metoda ta będzie działać niezależnie od tego czy jest ona ortonormalna. Wygeneruje ona po prostu inną ortonormalną bazę. Ale czy możemy jakoś, jeśli mamy daną jakąś bazę, wygenerować ortonormalną bazę V i być w stanie czerpać korzyści ze wszystkich właściwości bazy ortonormalnej? Zobaczmy czy możemy tutaj zrobić jakiś postęp. Rozpatrzmy ten problem w prostych przypadkach. Powiedzmy, że mam jedno-wymiarową podprzestrzeń. Nazwijmy V1 - tę jedno-wymiarową podprzestrzeń. Zamierzam powiedzieć, że jest ona rozpięta jedynie przez ten jeden wektor v1. Teraz mógłbyś powiedzieć, że v1 jest bazą podprzestrzeni V1 Czy w tym prostym przypadku mogę mieć pewność, że jest to ortonormalne? Tym co mógłbym zrobić jest zdefiniowanie jakiegoś wektora, nazwijmy go u1 Oczywiście jest on prostopadły do wszystkich innych gości. Ale tutaj nie ma żadnych innych gości. [???] wektorów tam, ale tam nie ma innych członków tego układu, więc jest on prostopadły do wszystkich innych, ponieważ nie ma innych. I wtedy, aby jego długość była równa jeden, możesz podzielić wektor przez jego długość. Zatem jeśli zdefiniujemy jakiś wektor u1 tak, aby był równy v1 podzielone przez długość v1 - to długość u1 będzie? Będzie to długości v1 podzielić przez długość v1 - w ten sposób. To jest jedynie stała, tutaj. To będzie 1 przez długość v1. Równie dobrze mogłoby być to 5 - razy długość v1, która jest po prostu równa 1. Długość tego będzie równa 1. Zatem dokładnie tak - jeśli mamy układ złożony z u1, moglibyśmy powiedzieć, że ten układ u1 jest bazą ortonormalną V1 - - podprzestrzeni V1. Teraz, to było trywialne. Jeśli k jest równe 1 to zrobione. To było super łatwe. Musimy tylko podzielić go przez jego długość. Musisz, ściśle mówiąc, znormalizować ten wektor i otrzymasz bazę ortonormalną, ponieważ nie ma nic innego do czego on miałoby być prostopadły. Skomplikujmy ten problem trochę bardziej. Przejdźmy do dwóch wymiarów. Powiedzmy, że mamy podprzestrzeń V2. Rozpinają ją - powiedzmy - pierwsze dwa z tych wektorów. Jest ona rozpięta przez v1 i wektor v2 Teraz wiemy, że v1 może być łatwo przedstawione jako - czy- v1 jest liniową kombinacją u1. Skąd to wiem? Mogę pomnożyć obie strony tego przez długość v1. Mamy u1 razy długość v1 jest równe v1. Więc moglibyśmy powiedzieć, że to jest to samo: Jest to równoważne lin(u1, v2) gdzie u1 jest wektorem, który otrzymujemy tutaj. Skąd to wiem? Ponieważ wszystko co może być liniową kombinacją tych gości także może być liniową kombinacją tamtych gości. Ponieważ gdziekolwiek masz v1 - możesz zamienić v1 przez liniową kombinację u1, która również daję Ci v1. Zatem po prostu mnożysz u1 razy ten skalar i otrzymujesz to. Myślę, że już wiesz o co chodzi. Ale jak możemy upewnić się, że jest to układ ortonormalny? Co robimy? Narysujmy to. To będzie płaszczyzna w przestrzeni Rn. Niech będzie ona naszą tablicą na kredę; czy naszą filmową tablicą tutaj - płaszczyzna. Zatem mamy u1, który jest wektorem jednostkowym. Jego długość wynosi 1. W takim razie to jest u1. v1 i v2 są liniowo niezależne z definicji bazy. Zatem nie możesz przedstawić v2 jako liniowego zwielokrotnienia czy liniowej kombinacji v1. Podobnie - nie możesz przedstawić v2 jako liniowej kombinacji u1, ponieważ v1 jest liniową kombinacją u1. Wówczas v1 nie będzie na linii wyznaczonej przez u1. Więc właściwie mogę to narysować. Linia wyznaczona przez u1 jest po prostu taka. Jest ona linią rozpiętą przez u1. Narysuję to trochę lepiej. Nie chce, aby było zbyt ciemne. Zatem to jest linia. Narysuję to ostatni raz. Linia rozpięta przez u1 wygląda tak. Wygląda tak - jest po prostu linią. A to jest podprzestrzeń V1, tak? Rozpięta przez u1. Więc to jest równe rozpięciu przez u1. Wszystko co zrobiliśmy to znormalizowaliśmy v1, tutaj, aby otrzymać u1. Więc rozpięcie przez v1 jest równe rozpięciu przez u1. Tamto jest tą podprzestrzenią. To jest ta linia w Rn. Mamy wektor v2, który jest liniowo niezależny z v1 i u1. v2 wygląda, powiedzmy, że jakoś tak. v2. Naszym celem jest zastąpienie v2 innym wektorem, który będzie prostopadły do tego i nadal będziemy mogli skonstruować v2 jakąś kombinacją tego i naszego nowego wektora. Dobrze, najbardziej oczywistym wektorem byłby jakiś wektor, który jest prostopadły do v1. Zatem to jest prostopadłe, więc jest członem prostopadłego układu do v1. Jeśli po prostu na to popatrzysz - jeśli dodam jakiś element z V1 do tego elementu układu prostopadłego do v1, otrzymam v2. W gruncie rzeczy widzieliśmy to wiele razy. wiemy, że każdy wektor w Rn, powiedzmy v2, może być przedstawiony jako suma dwóch wektorów Nazwę je x i y, gdzie x będzie elementem v1 a y jest elementem układu prostopadłego do V1 Widzieliśmy to wiele razy. Teraz, jak była tego definicja? Szukamy tego . To jest x. A to jest y. Szukamy y, ponieważ jeśli znajdziemy ten wektor y, a później zastąpimy v tym wektorem y to wciąż będziemy mogli skonstruować v, ponieważ możesz wziąć wielokrotność u i dodać ją do y, a wtedy otrzymasz v. I tak wszystko co byłeś/aś w stanie stworzyć z v2 wcześniej, teraz możesz stworzyć z naszym u1 zwielokrotniając go i dodając wielokrotności naszego nowego wektora. Zatem próbujemy rozwiązać, próbujemy wymyślić czym wektor y jest - o tutaj. Jak to zrobimy? Dobrze, będzie to v2 odjąć ten wektor x. Prawda? Czym jest wektor x - z definicji? Ten wektor x jest, z definicji, rzutem v2 na podprzestrzeń V1. Zatem, wektor, który próbujemy znaleźć, wektor y i jeśli go znajdziemy, możemy zastąpić v2 przez y. wektor y jest po prostu równy v2 - napisze to w ten sposób - odjąć rzut v2 na V1. Oto czym y jest. Pamiętaj, jeśli możemy zastąpić v2 - przyczynę dzięki której lin (u1, v2) jest tą samą rzeczą co lin (u1, - nazwę to y2) - tutaj. Nazwę to y2, ponieważ prawdopodobnie będę używał y-ków w przyszłości Chcesz y2. Przyczyną dzięki której to rozpięcie jest tym samym co rozpięcie przez u1 i y2 jest możliwość utworzenia v2 używając liniowych kombinacji u1 i y2, tak? Mogę powiększyć u1 i później dodać y2 i otrzymam v2. Zatem wszystko co mogę wytworzyć z V2 mogę uzyskać z liniowych kombinacji tych gości. I dlatego są one równoważne. I co jest takiego odjazdowego w tym to to, że Ci goście są prostopadłym układem czy są prostopadli względem siebie, prawda? Z definicji -y był elementem prostopadłego układu. Jeśli weźmiesz iloczyn skalarny(st) tych dwóch gości dostaniesz 0. Jak właściwe możemy to rozwiązać? To także się przyda, ponieważ V1 ma ortonormalną bazę. I widzieliśmy, myślę, że dwa lub trzy filmy temu super rzecz o bazach ortonormalnych - bardzo łatwo wyznaczyć rzut na te bazy. To właściwie, niech tylko to napiszę, rzut wektora v2 na podprzestrzeń v1 jest równy v2 -- zapiszę to w ten sposób - Iloczyn skalarny v2 z podprzestrzeni V1 - pierwszym wektorem bazowym, który jest wektorem u1, tak? To jest pierwszy wektor bazowy. Zajmujemy się ortonormalną bazą - razy u1. I jesli mielibyśmy więcej bazowych wektorów, powiedzielibyśmy dodać iloczyn skalarny z naszymi następnymi wektorami bazowymi razy te bazowe wektory itd. itd. Ale V1 ma tylko jeden wektor bazowy. Ma tylko wektor bazowy - u1, tutaj. Prawda? Jest rozpięta tylko przez to. Zatem, możemy przepisać to tutaj, ten wektor tutaj, który zamierzam zastąpić przez v2 odjąć rzut v2 na podprzestrzeń v1, na tę linie, która jest po prostu taka. v2 iloczyn skalarny u1 razy wektor u1. I tak po prostu wyznaczyliśmy z tego y. Zatem mamy bazę V2, w której ten gość i ten gość są prostopadli względem siebie. Ten gość jest wektorem jednostkowym. Został już znormalizowany, ale ten gość nie został jeszcze znormalizowany. Aby go znormalizować, zdefiniujmy po prostu jakiś inny wektor jako u2 i zróbmy z nim to samo. Po prostu go znormalizujmy. Więc u2 jest równy y2 podzielić przez długość y2. Teraz możemy powiedzieć, że podprzestrzeń V2 jest równa rozpięciu u1 i - zamiast y2 dam tu - u2 ponieważ mogę utworzyć y2 po prostu powiększając u2. Super w tym jest, że teraz mam dwa wektory jednostkowe, czy dwa znormalizowane wektory i są one prostopadłe w stosunku do siebie jak i rozpinają to samo co v1 i v2 rozpinały pierwotnie. Teraz, musimy ruszać dalej Co jeśli chcielibyśmy przejść do V3, co byśmy zrobili? Pomysł jest taki sam. Zdefiniujmy podprzestrzeń V3. To będzie trójwymiarowa podprzestrzeń. Kiedy wychodzimy ponad V3 staje się to trochę trudne do wyobrażenia, ale myślę, że zobaczysz wzorzec po tym kroku. Jeśli zdefiniujemy V3 jako równe lin - od tych gości - u1 u2 i potem, w naszej ortogonalnej bazie, v3. Nie napisałem tego tu, ale tam jest v3. Więc to jest nasza oryginalna nieortonormalna baza, mamy v3. Jak to będzie wyglądało? Czy jak możemy przemienić to w ortonormalną bazę? Więc, jeśli sobie to wszystko wyobrazisz, rozpięcie u1 i u2 - naszej podprzestrzeni V2 - będzie płaszczyzną. Będzie to płaszczyzna w R3. Będzie ona wyglądać tak jak tam. I tak, nasze nowe rozpięcie będzie wszystkim w tej płaszczyźnie, wszystkimi liniowymi kombinacjami elementów tej płaszczyzny dodać liniowe kombinacje z naszym wektorem v3, który jest liniowo niezależny z tymi gośćmi ponieważ był on liniowo niezależny z wektorami, których użyliśmy do stworzenia tych gości. Więc V3 będzie wyskakiwać z tej płaszczyzny. Nie może być on przedstawiony liniową kombinacją tych gości. Więc powiedzmy, że V3 wyskakuję z płaszczyzny w taki sposób. Teraz poszukujemy innego wektora, który może przedstawiać wszystko z tego rozpięcia, ale jest prostopadły do tych gości tutaj. Czy, myśląc o tym w inny sposób, jest on prostopadły do płaszczyzny. Zatem poszukajmy innego wektora prostopadłego do płaszczyzny. Nazwijmy ten wektor y3, y indeks dolny 3, nie y do trzeciej potęgi, y3. I jeśli znajdziemy nasze y3, możemy zastąpić v3 nim ponieważ może ono być przedstawione jako liniowa kombinacja u1 i u2 Dobrze? To będzie liniowa kombinacja u1, u2 - - będzie to jakiś wektorów z płaszczyzny - dodać y3 Mogę przedstawić tego gościa za pomocą tego zielonego wektora dodać ten wektor tutaj. Zatem jeśli zastąpimy go y3, możemy wciąż uzyskać V3 i wciąż uzyskujemy wszystkie liniowe kombinację, które używając v3 możemy skonstruować. Więc czym jest y3? Idąc tą samą logiką, ten zielony wektor tutaj jest rzutem mojego wektora v3 na podprzestrzeń V2 i Twój wektor y3 jest po prostu równy wektorowi v3 odjąć rzut v3 na V2. Zatem co to będzie? Dobrze, rzut - napiszę to tu - rzut na podprzestrzeń V2 wzdłuż V3, wektor v3 będzie równy - użyjemy dokładnie tej samej logiki co wcześniej. Widzieliśmy to dwa lub trzy filmy temu. Ponieważ V2 jest zdefiniowana za pomocą ortonormalnej bazy, możemy powiedzieć, że rzut v3 na podprzestrzeń jest równy iloczynowi skalarnemu v3 z pierwszym wektorem bazowym u1 razy nasz pierwszy wektor bazowy dodać iloczyn skalarny v3 z naszym drugim wektorem bazowym z bazy ortonormalnej razy nasz drugi wektor z bazy ortonormalnej wektorów. To jest łatwe. To była jedna z super rzeczy związana z posiadaniem ortonormalnej bazy. To jest ortonormalna baza. Więc możemy zdefiniować rzut w ten sposób. Więc y jest równe v3 odjąć ta część - tutaj i rozpiszę to teraz. Więc y3 będzie równe v3 odjąć rzut v3 na V2. Więc odjąć tę całość tutaj. Skopiuję i wkleję to. I dostajemy y3. I y3 jest dobre. Zatem jeśli zastąpimy to y3, co możemy zrobić, ponieważ możemy uzyskać v3 jako liniową kombinację tych gości tutaj i y3 To miłe, ponieważ każdy z tych gości jest prostopadły względem każdego innego, ale nie ma jeszcze długości równej 1. Nie został jeszcze znormalizowany. W tym celu możemy zastąpić y3 jakimś innym jednostkowym wektorem. Powiem tylko: u3 jest równe y3 podzielonemu przez długość y3, czymkolwiek ona jest. Lecz jeśli mamy y3 możemy obliczyć jego długość i podzielić go przez nią. I wtedy jeśli damy - więc to jest równe rozpięciu przez u1, u2 i u3. Zatem u3 może być zmniejszoną wersją y3. Mówimy o liniowych kombinacjach kiedy mówimy o rozpięciu(lin), więc możemy mnożyć przez skalar i dodawać do rzutu. Bez zmiany uzyskasz V3. I teraz, wszystkie te wektory są znormalizowane. Bez tego nie mielibyśmy ortonormalnej bazy podprzestrzeni V3 Myślę, że zaczynasz rozumieć wzorzec. Mógłbyś wyliczać to dalej. Możesz zdefiniować V4 - kiedy przedstawiłem problem powiedziałem, że mamy do czynienia z k wymiarową podprzestrzenią. Możemy zastosować to samo dla Vk. Ale wtedy tylko powtarzamy wszystko nim dojdziemy do k. Jeśli k było by 3 to zrobione. Jeśli k było by 4, mówisz, że definiujesz podprzestrzeń V4 równą rozpięciu przez u1, u2, u3 oraz dorzucasz kolejny nieprostopadły wektor - v4. I tak możesz podmienić w V4 - y4 równy v4 odjąć rzut. Jest to trudne do wyobrażenia. Nie rzutujesz na trójwymiarowej podprzestrzeni. Rzutujesz v4 na naszą podprzestrzeń V3. To całkowicie analogiczne do tego. Po prostu V3 jest teraz trójwymiarową przestrzenią, a nie plaszczyzną. .Szukasz rzutu na to. To z całą pewnością będzie prostopadłe do wszystkiego innego - - do naszej podprzestrzeni V3. I możesz skonstruować v4 używając y4, ponieważ v4 z definicji jest równe - przegrupowując - y4 dodać rzut v4 na V3. Więc możesz skonstruować v4 używając y4 i jakiś liniowych kombinacji tych gości. Zatem mogę zamienić tego gości na y4 i wtedy znormalizować y4 Dzieląc go przez jego długość uzyskałbym u4. I dalej bym to ciągnął, aż dotarłbym do k Jeśli dane byłoby V5 - powtórzyłbym tę procedurę od nowa. Ten proces tworzenia bazy ortonormalnej jest nazywany procesem Gram`a-Schmidt`a. Sposób w jaki to zrobiłem może się wydawać lekko abstrakcyjny ale w następnym filmie pokaże Ci jak faktycznie znajdę ortonormalną bazę podprzestrzeni. Zobaczysz, że to nie jest takie złe jeśli masz do czynienia z liczbami.