If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:22:08

Transkrypcja filmu video

Powiedzmy, że mam podprzestrzeń V V jest podprzestrzenią, może... Rn Teraz zdefiniuję dopełnienie ortogonalne V. Zapiszę to. Ortogonalne dopełnienie V to zbiór, ten tutaj to zapis skrótowy, to jest ortogonalne dopełnienie V. Wyrażamy ten ortogonalny zapis jako indeks górny V I możemy nazywać to "V perp" "perp" nie jako "perpetrator" (ang. przestępca), ale "perpendicular" (ang. prostopadły) Więc V perp to zbiór wszystkich wektorów x zawartych w przestrzeni Rn, takich że iloczyn skalarny x i v wynosi 0 dla każdego wektora v, który należy do podprzestrzeni V Mówimy więc tak: spójrz, masz pewną podprzestrzeń, zawierają się w niej jakieś wektory. Teraz, jeśli będę mógł znaleźć jakiś inny zbiór wektorów, gdzie każdy element tego zbioru jest ortogonalny do każdego elementu wspomnianej podprzestrzeni, wtedy zbiór tych wektorów jest nazywany dopełnieniem ortogonalnym V. I zapisujemy to V perp, tak jak tutaj. Pierwszą rzeczą, którą robimy, kiedy chcemy zdefiniować przestrzeń lub zdefiniować jakiś zbiór, jest zorientowanie się, hej, czy to jest podprzestrzeń? Czy V perp, lub dopełnienie ortogonalne V, czy jest to podprzestrzeń? No cóż, możesz pamiętać, że wiele wiele filmów temu mieliśmy tylko kilka warunków dla podprzestrzeni. Jeśli, powiedzmy, zarówno a jak i b są elementami V perp, wtedy musimy się zastanowić, czy a plus b jest elementem V perp. To jest pierwszy warunek. Zbiór musi być zamknięty ze względu na dodawanie, aby być podprzestrzenią. A teraz drugi warunek. Jeśli a jest elementem V perp, czy wektor a pomnożony przez skalar również jest elementem V perp? I w końcu, zbiór musi zawierać wektor zerowy. Który to warunek jest trochę zbędny, bo jeśli element a pomnożony przez jakikolwiek skalar jest elementem naszego ortogonalnego dopełnienia V, możemy po prostu pomnożyć przez 0. Skąd wynikałoby, że wektor zerowy jest elementem V. Co więc z tego wynika? Co oznacza, że a i b są elementami V perp? Oznacza to, że a.v (iloczyn skalarny a i v) dla każdego v wynosi 0, dla dowolnego v, który jest elementem podprzestrzeni V. To również oznacza, że b, ponieważ b też jest elementem V perp, że iloczyn skalarny b i dowolnego elementu podprzestrzeni także wyniesie 0, dla każdego b, które jest elementem V. Co się więc stanie jeśli weźmiemy (a+b).v (iloczyn skalarny a+b oraz v)? Zróbmy to. Więć jeśli zapiszę (a+b).v, czemu będzie to równe? Wyniesie to a.v + b.v I jak już powiedzieliśmy, ponieważ zarówno a i b są elementami naszego dopełnienia ortogonalnego, to obie te wartości wyniosą 0. Więc to będzie równe 0 + 0 co wynosi 0. Stąd a+b jest zdecydowanie elementem naszego ortogonalnego dopełnienia. Postawię tu ptaszki, zrobię to innym kolorem niż znak zapytania. "Tak" dla drugiego warunku bycia podprzestrzenią Teraz, czy ca jest elementem V perp? Weźmy c. Jeśli weźmiemy ca i policzymy iloczyn skalarny ca z dowolnym elementem naszej oryginalnej podprzestrzeni, jest to to samo co c razy a.v Ile więc wynosi? Z definicji tego, że a jest elementem naszego ortogonalnego dopełnienia, to będzie wynosiło 0. Więc to będzie c razy 0, co wynosi 0. Więc to także element naszego ortogonalnego dopełnienia V. I oczywiście, mogę pomnożyć c razy 0 i dostać 0. Albo mogę po prostu powiedzieć, patrz, 0 jest ortogonalny do wszystkiego. Bierzesz wektor zerowy, jego iloczyn skalarny z czymkolwiek, dostaniesz 0. Więc wektor zerowy zawsze będzie elementem każdego ortogonalnego dopełnienia, ponieważ oczywiście warunek 0.v = 0 jest spełniony dla każdego v. Wiemy więc, że V perp, albo dopełnienie ortogonalne V, jest podprzestrzenią. Co jest przydatne, bo teraz możemy wykorzystywać wobec niej wszystkie znane nam właściwości podprzestrzeni Kolejne pytanie, dotknąłem tego w ostatnim filmie, powiedziałem, że mając pewną macierz A, powiedzmy wymiaru m na n W ostatnim filmie powiedziałem, że "row space" A (zbiór wszystkich liniowych kombinacji wektorów, które są zapisane jako wiersze macierzy A) napiszę inaczej Jądro A to dopełnienie ortogonalne przestrzeni rozpiętej na wierszach macierzy A