If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:25:51

Sprawdzenie, czy odwzorowanie jest odwzorowaniem "na" - film z polskimi napisami

Transkrypcja filmu video

Powiedzmy, że mam odwzorowanie liniowe T, które przekształca Powiedzmy, że mam odwzorowanie liniowe T, które przekształca Rn na Rm. Wiemy, że możemy przedstawić to odwzorowanie liniowe jako mnożenie przez macierz. Możemy więc powiedzieć, że T od x, czyli przekształcenie T -- napiszę to tutaj wyżej -- czyli możemy napisać że przekształcenie T w działaniu na jakiś wektor x równa się macierz razy x. A to jest macierz, ponieważ mamy odwzorowanie z Rn w Rm to będzie macierz m na n. Ponieważ każdy z tych wektorów ma n składowych, jest elementem Rn, więc ten koleś musi mieć n kolumn, żeby ten iloczyn macierzy przez wektor był dobrze zdefiniowany. Czyli możemy wrócić do tego o czym mówiliśmy. W kilku poprzednich filmach, mówiliśmy o odwracalności funkcji i możemy to z łatwością zastosować do tego odwzorowania, ponieważ odwzorowania są po prostu funkcjami. Używamy słowa odwzorowanie, kiedy zaczynamy mówić o przekształceniach pomiędzy przestrzeniami wektorowymi, zbiorami wektorów, ale to zasadniczo jest to samo pojęcie. Wszystko co robiliśmy w poprzednich dwóch filmach jest bardzo ogólne. Nigdy nie mówiłem z jakich elementów składają się nasza dziedzina i przeciwdziedzina. Teraz mamy do czynienia z wektorami, więc możemy zastosować te same pojęcia. Czyli T jest odwzorowaniem z Rn w Rm. Czyli T jest odwzorowaniem z Rn w Rm. Czyli jeżeli bierzemy jakiś wektor tutaj, x, T przekształci go na jakiś inny wektor w Rm. Oznaczmy to Ax. Jeżeli weźmiemy ten iloczyn macierzy przez wektor tutaj, to reprezentuje odwzorowanie T tutaj Zadajmy więc to samo pytanie na temat T, które zadawaliśmy ogólnie na temat funkcji. Czy T jest odwracalne? Czy T jest odwracalne? Nauczyliśmy się w poprzednim filmie, że są dwa warunki na odwracalność. T musi być na, albo inaczej mówiąc musi być surjektywne. musi być surjektywne. To pierwszy warunek odwracalności. Musi być też różnowartościowe. Musi być też różnowartościowe. A mądre słowo na określenie tego to injektywność. W tym filmie skupię się na pierwszej własności. Czyli nie udowodnię czy T jest odwracalne. Będziemy przynajmniej mogli określić, czy T jest na, czyli czy jest surjektywne. Czyli dla przypomnienia, co znaczy surjektywne? Oznacza to, że dla dowolnego elementu w Rm, bierzemy dowolny element w przeciwdziedzinie, czyli dajecie mi dowolny element przeciwdziedziny -- nazwijmy go b -- to będzie wektor -- stwierdzenie czy T jest surjektywne oznacza, że dla każdego b, który wybierzemy w naszej przeciwdziedzinie zawsze znajdzie się wektor, przynajmniej jeden, w naszej dziedzinie taki, że jak na niego zadziałamy odwzorowaniem, to dostaniemy b. Inaczej można powiedzieć, że obraz naszego odwzorowania jest całym Rm. Wszyscy ci kolesie będą w obrazie. Zastanówmy się co to znaczy. Wiemy, że odwzorowanie jest równe Ax. To jest jakaś macierz A. Czyli przekształcenie x -- przepiszę to -- jest równe jakiejś macierzy A -- to jest macierz m na n -- razy wektor x. Jeżeli teraz T ma być na, to oznacza, że Ax, ten iloczyn macierzy i wektora ma być równy -- dowolny element naszej przeciwdziedziny ma być osiągalny jako iloczyn macierzy A przez jakiś element dziedziny. Jak można o tym myśleć w inny sposób? Inaczej można powiedzieć, że to jest dla każdego b, czyli bycie na implikuje, że dla każdego wektora b, czyli elementu Rm -- czyli każdego b tutaj -- istnieje co najmniej jedno rozwiązanie równania A razy x równa się b. Gdzie oczywiście x -- wektor x -- jest elementem Rn. To jest inny sposób wysłowienia tego o czym mówiłem w pierwszej części filmu. Dajecie mi dowolne b w tym zbiorze i jeżeli założymy, że T jest na, to musi być co najmniej jedno rozwiązanie równania Ax równa się b. Musi być co najmniej jeden x tutaj, taki że jak go pomnożę przez A, to dostanę b. I to musi być spełnione dla każdego -- może powinienem napisać dla każdego zamiast dowolny. Ale idea jest ta sama. Ale dla każdego b w Rm, musimy być w stanie znaleźć przynajmniej jeden x, który to spełnia. Czyli co to znaczy? To znaczy, że A razy x musi się równać -- możemy skonstruować dowolny element Rm biorąc iloczyn A oraz x, gdzie x jest elementem Rn, czyli x należy tu. Teraz co to jest? Jeżeli x jest dowolnym elementem Rn -- zapiszę to tak. Wiemy, że macierz A będzie wyglądać tak. Będzie kolekcją wektorów kolumnowych. a1, a2 -- będzie n wektorów kolumnowych. Wgląda więc tak. Tak wygląda macierz A. Mówimy teraz, że kiedy liczymy iloczyn, to musimy mieć możliwość otrzymania dowolnego kolesia, dowolnego elementu Rm. Jak wygląda ten iloczyn, kiedy go obliczamy -- zamiast pisać x tutaj, mogę napisać x w ten sposób. x1, x2, i tak dalej aż do xn. Czyli ten iloczyn będzie równy x1 razy pierwszy wektor kolumnowy macierzy A, dodać x2 razy drugi wektor kolumnowy macierzy A i tak dalej, aż do xn razy n-ty wektor kolumnowy A. To jest ten iloczyn. Żeby T było na, ta kombinacja musi być równa dowolnemu wektorowi w Rm. Co to znaczy? To są kombinacje liniowe wektorów kolumnowych macierzy A. wektorów kolumnowych macierzy A. Czyli można powiedzieć, że aby T było na, czyli żeby T było surjektywne, kolumny macierzy A, jako wektory muszą rozpinać Rm, muszą rozpinać przeciwdziedzinę. Muszą rozpinać to tutaj. Musimy mieć możliwość otrzymania dowolnego wektora tutaj jako kombinacji liniowych tych kolesi. Zgadza się? A liniowe kombinacje biorą się stąd, że wagi są dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Ten wektor jest po prostu kolekcją dowolnych liczb rzeczywistych. Czyli żeby T było na, przestrzeń rozpięta na a1, a2, itp aż do an, musi być równa Rm. Musi być równa naszej przeciwdziedzinie. To po prostu znaczy, że możemy uzyskać dowolny wektor w naszej przeciwdziedzinie jako kombinację liniową tych wektorów kolumnowych. Co rozpinają kolumny macierzy? Na mocy definicji to jest obraz macierzy. Czyli możemy powiedzieć, że przestrzeń rozpięta na tych kolesiach musi być równa Rm, albo inaczej, że obraz macierzy A -- zmienię kolory -- obraz macierzy A musi być równy Rm. A skąd wiemy, czy obraz macierzy jest równy Rm? Może wskazówką okaże się zastanowienie nad tym, kiedy nie możemy znaleźć rozwiązania równania Ax równa się b? Czyli za każdym razem, kiedy stajemy przed problemem rozwiązania takiego równania, co robimy? Możemy stworzyć macierz rozszerzoną, która wygląda tak, gdzie tu stoi macierz A, a tu wpisujemy wektor b, po prawej stronie. I potem przeprowadzamy sekwencję operacji na wierszach. Musimy wykonywać te operacje na całych wierszach, po obu stronach, i robiliśmy to już wiele razy. Naszym celem jest otrzymacie macierzy wierszowo zredukowanej po lewej stronie. Czyli to co chcemy zrobić, to otrzymać macierz rozszerzoną wyglądającą tak. Gdzie lewa strona jest -- zdefiniuję duże R niech oznacza postać wierszowo zredukowaną macierzy A. Robiłem to w wielu filmach. Czyli mamy macierz, mamy współczynniki wiodące i współczynnik wiodący jest jedynym niezerowym elementem w swojej kolumnie. Ale nie każda kolumna zawiera współczynnik wiodący. Może mamy wolną kolumnę, która może składać się z samych zer. Może ta ma współczynnik wiodący. Tutaj musi być zero, jeżeli tu jest współczynnik wiodący. Tu muszą być zera, itp, itd. I może następny współczynnik wiodący jest tutaj. Te muszą być równe zero i rozumiecie o co chodzi. Możemy mieć jakieś kolumny bez współczynników wiodących, ale jeżeli mamy współczynnik wiodący, to musi on być jedynym niezerowym elementem w swojej kolumnie. To jest macierz schodkowa wierszowo zredukowana. To jest macierz schodkowa wierszowo zredukowana. Czyli to co robimy z dowolną macierzą to wykonywanie tych operacji wierszowych, aż do otrzymania macierzy schodkowej wierszowo zredukowanej. I kiedy to robimy, to wykonujemy te same operacje na prawej stronie. Wykonujemy je na całych wierszach tej rozszerzonej macierzy. Czyli ten wektor b tutaj -- myślę że mogę napisać go jako wektor -- to będzie jakiś inny wektor c tutaj. No wiecie, jeżeli to jest 1, 2, 3, a po przeprowadzeniu kilku operacji to będzie 3, 2, 1, albo coś w tym rodzaju. Dobra, a kiedy to nie ma rozwiązania? Dobra, a kiedy to nie ma rozwiązania? Powtórzyliśmy to wcześniej. Jedyna sytuacja, kiedy nie mamy rozwiązania, przypomnijcie sobie... Są możliwe trzy przypadki. Kiedy mamy wiele rozwiązań. Są możliwe trzy przypadki. Kiedy mamy wiele rozwiązań. I to jest sytuacja, kiedy mamy trzy zmienne. Mówiliśmy o tym wcześniej. Mamy przypadek, kiedy mamy jednoznaczne rozwiązanie. To jest drugi przypadek. I na koniec mamy przypadek, kiedy nie ma rozwiązań. kiedy nie ma rozwiązań. Kiedy jest tak, że nie ma rozwiązań? Co musi się stać, żeby nie było rozwiązań? Żeby nie było rozwiązań, kiedy przeprowadzamy te operacje, musimy dojść do sytuacji, kiedy nasza macierz wygląda jakoś tak. Nie wiem, jak to wszystko wygląda. Może tu jest 1, dużo cyferek. Jest 1 tutaj i 0. Ale kiedy mamy cały wiersz, przynajmniej jeden cały wiersz zer, kiedy mamy kolekcję zer, właśnie tak., a tutaj mamy coś niezerowego -- a tutaj mamy coś niezerowego -- To jest jedyna sytuacja, kiedy nie ma rozwiązania. Przypomnijmy sobie, po co o tym mówimy. Mówimy, że nasze odwzorowanie jest na, jeżeli jego obraz jest równy Rm, czyli jego kolumny rozpinają Rm. I to co próbuję sprawdzić, to skąd wiem, że one rozpinają Rm? Żeby one rozpinały Rm -- możecie mi dać dowolny wektor b tutaj, dowolny element Rm, a ja muszę znaleźć rozwiązanie. Postawiliśmy pytanie, kiedy nie mamy rozwiązania? nie mamy rozwiązania? Cóż, niewątpliwie nie mamy rozwiązania, kiedy mamy kolekcję samych zer w jednym wierszu, a tutaj mamy coś niezerowego. To zdecydowanie nie będzie rozwiązanie. Teraz, jest inny przypadek kiedy mamy same zera. Inny przypadek, kiedy mamy jakieś rozwiązania, które są dobre tylko dla szczególnych b. Ten przypadek -- narysuję go tak. Zacznę w ten sposób. Powiedzmy, że mam macierz A i mam moje b1 i b2, i tak dalej, aż do bm. Pamiętamy, że to jest element Rm. I szukamy naszej postaci schodkowej zredukowanej dla tej rozszerzonej macierzy i A przyjmuje tę zredukowaną postać. Powiedzmy, że jej schodkowa zredukowana postać ma na końcu wiersz zerowy. Czyli mamy wiersz samych zer tutaj. Wszystko inne wygląda standardowo. Jedynki i zera. Ale ostatni wiersz składa się z samych zer. I kiedy wykonujemy operacje na wierszach tutaj na tym elemencie Rm, ten wiersz spełnia pewną funkcję. Może wyglądać tak: 2 b1 dodać 3 b2 -- piszę jakiś szczególny przypadek, nie zawsze tak musi być -- odjąć b3. Będzie to po prostu jakaś fukcja od współrzędnych b. Napiszę to tak. Piszę jakiś szczególny przypadek tutaj, a może n nie powinienem wypisywać szczególnego przypadku. To będzie jakaś funkcja zależna od b1, b2, aż do bm. Teraz, jeżeli to jest różne od zera, to nie mamy rozwiązania. A kiedy nie mamy rozwiązania dla niektórych b, to z pewnością nie rozpinamy całego Rm. Pozwólcie, że teraz to zapiszę. Kiedy nie mamy rozwiązania dla jakichś b, to wtedy nie rozpinamy całego Rm. Nie wiem czy nie rozwodzę się nad czymś co może jest dla was oczywiste, ale chcę mieć pewność że to rozumiecie. Za każdym razem, kiedy chcecie rozwiązać równanie Ax równa się b -- -- pamiętajcie, że chcemy żeby to zachodziło dla dowolnego b, które wybierzemy -- to co możemy zrobić, to stworzyć tę rozszerzoną macierz i wykonać serię operacji na wierszach, które sprowadzą macierz A do postaci schodkowej wierszowo zredukowanej. Jak będziemy to robić, prawa strona stanie się kolekcją funkcji od b. Czyli może pierwszy wiersz jest równy b1 odjąć b2 dodać b4 czy coś takiego. Następny wiersz będzie czymś w tym rodzaju. Widzieliśmy przykłady tego w przeszłości i kiedy skończymy redukowanie macierzy i dostaniemy wiersz samych zer tutaj, to jedyna możliwość, żeby istniało rozwiązanie jest wtedy, kiedy nasz wektor b -- kiedy jego składowe spełniają zależność taką, że to po prawej stronie równa się 0. Czyli to będzie spełnione tylko dla szczególnych b. I jeżeli to ma rozwiązanie tylko dla szczególnych b, które spełniają zależność, że to równa się 0, to niewątpliwie nie rozpinamy całego Rm. Spróbuję to zilustrować. Czyli jeżeli to jest Rm i jeżeli wstawimy -- jeżeli to jest zero tylko dla niektórych b, to to są ci kolesie, do których można dotrzeć mnożąc macierz A przez jakiś wektor w Rm. I z pewnością nie dostaniemy całego Rm. Żeby dostać całe Rn, kiedy sprowadzamy to do postaci schodkowej zredukowanej, musimy zawsze dostać rozwiązanie. A jedyny sposób, żeby zawsze dostać rozwiązanie, to uniknięcie sytuacji kiedy mamy wiersz złożony z samych zer. Ponieważ kiedy mamy zerowy wiersz, to musimy nałożyć ograniczenie, że to co stoi po prawej stronie musi być równe 0. Czyli jaka jest jedyna schodkowa zredukowana postać, gdzie nie dostajemy zerowego wiersza na końcu? Cóż, każdy wiersz macierzy zredukowanej albo ma same zera, albo zawiera współczynnik wiodący. Czyli jedyny sposób, żeby rozpiąć -- czyli T jest na wtedy i tylko wtedy gdy, czyli obraz tego odwzorowania jest równy Rm. Jego kolumny rozpinają całe Rm. I zachodzi to tylko wtedy gdy, zredukowana postać macierzy A ma współczynnik wiodący w każdym wierszu. A ile wierszy ma ta macierz? To jest macierz m na n. Ma m wierszy i n kolumn. No i ma współczynnik wiodący w każdym wierszu. To oznacza, że musi mieć m współczynników wiodących tutaj. Jaki jest inny sposób myślenia o tym? Przypomnijcie sobie, jak kilka filmów temu zastanawialiśmy się jak znaleźć -- i to może wprowadzić trochę zamieszania -- jak znaleźć bazę obrazu? Czyli baza obrazu macierzy -- to jest małe powtórzenie. To co zrobiliśmy, to powiedzieliśmy: bierzemy naszą macierz, sprowadzamy ją do postaci schodkowej zredukowanej, a potem zasadniczo -- narysuję to tutaj inaczej -- cóż przedstawiamy to w postaci wierszowo zredukowanej. Powiedzmy, że to jest postać wierszowo zredukowana. Patrzymy w których kolumnach mamy współczynniki wiodące. I odpowiadające im kolumny w oryginalnej macierzy w oryginalnej macierzy, tworzą bazę obrazu macierzy. Narysuję to. Zrobię konkretny przypadek. Powiedzmy, że mamy nasze kolumny a1, a2, i tak dalej aż do an. Tak wygląda A. I kiedy redukujemy macierz wierszowo, powiedzmy że ta kolumna tutaj zawiera współczynnik wiodący. Ta kolumna ma współczynnik wiodący. Powiedzmy, że ta nie ma. Powiedzmy, że tu mamy 2. Po prostu wybieram konkretne liczby. Po prostu wybieram konkretne liczby. Powiedzmy że tu jest 3. Powiedzmy, że te wszystkie elementy nie są współczynnikami wiodącymi, a nasz ostatni n jest współczynnikiem wiodącym. Czyli mamy kolekcję zer i jedynkę, o tak. Jak określić, które wektory stanowią bazę obrazu macierzy? Cóż, oczywiście, obraz jest wszystkim, co jest rozpięte przez tych wszystkich kolesi. Ale co stanowi minimalny zbiór potrzebny, żeby rozpiąć to samo? Cóż, po prostu patrzymy któremu odpowiada kolumna zawierająca element wiodący. I mówimy, mam kolumnę wiodącą tutaj i mam kolumnę wiodącą tutaj. Czyli bazą obrazu musi być ta kolumna w mojej oryginalnej macierzy i ta kolumna w mojej oryginalnej macierzy. Potem pytamy, jak zdefiniować obraz obrazu? No po prostu liczymy liczbę wektorów potrzebnych do naszej bazy i nazywamy to rzędem macierzy A. To jest powtórzenie. Rząd macierzy był równy wymiarowi obrazu macierzy A, który jest równy liczbie wektorów bazowych obrazu macierzy. W ten sposób to określamy. Po prostu sprawdzamy ile wiodących kolumn mamy. Liczba kolumn zawierających element wiodący, jest liczbą wektorów bazowych które mamy i to będzie rząd macierzy A. Powód dla którego mówię o tym jest taki, że powiedzieliśmy, że nasze odwzorowanie jest na, wtedy i tylko wtedy gdy jego obraz jest równy Rm, co zachodzi wtedy kiedy macierz ma współczynnik wiodący w każdym wierszu swojej postaci schodkowej zredukowanej. Albo, ponieważ ma m wierszy, musi mieć m współczynników wiodących. Czyli dla każdego wiersza mamy współczynnik wiodący, ale każdy współczynnik wiodący odpowiada kolumnie wiodącej. współczynnik wiodący odpowiada kolumnie wiodącej. Czyli jeżeli mamy m współczynników wiodących, to mamy też m kolumn wiodących, co znaczy, że gdybyśmy zrobili tu to ćwiczenie znaleźlibyśmy m wektorów bazowych obrazu naszej macierzy, czyli jej rząd byłby równy m. naszej macierzy, czyli jej rząd byłby równy m. Czyli cały ten film był długim wywodem na temat tego, że T jest na. na temat tego, że T jest na. Innym sposobem wysłowienia tego, jest stwierdzenie, że jak mamy dziedzinę tutaj, czyli Rn i przeciwdziedzinę tutaj, czyli Rm, to każdy element Rm może być osiągnięty przez T na jakimś elemencie Rn. Każdy koleś tutaj -- istnieje zawsze choć jeden koleś tutaj taki, że jak zadziałamy na niego T, to trafimy dokładnie tutaj. Może być ich więcej niż jeden. Nie mówimy na razie o różnowartościowości. Czyli mówimy, że T jest na, wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy odwzorowania A jest równy m. To powinniście wynieść z tego filmu. Zróbmy jeszcze przykład, ponieważ czasem kiedy robimy coś na prawdę abstrakcyjnego, to może być trudno odnieść to do konkretnych przykładów. Zdefiniuję jakieś odwzorowanie S. Powiedzmy, że odwzorowanie S jest przekształceniem z R2 w R3. Powiedzmy, że S w działaniu na jakiś wektor x jest równe macierzy 1, 2, 3, 4, 5, 6, razy wektor x. Czyli jest to macierzy 3 na 2. Sprawdźmy, czy S jest na. Opierając się na tym co właśnie zrobiliśmy, musimy sprowadzić tego kolesia do postaci schodkowej zredukowanej. Zróbmy to więc. Czyli jeżeli zredukujemy tę macierz wierszowo... przepisujemy 1, 2, 3, 4, 5, 6. Teraz zachowajmy pierwszy wiersz bez zmian, czyli 1, 2. Drugi wiersz zastąpimy różnicą drugiego minus 2 razy pierwszy. Właściwie zastąpimy go różnicą 3 razy pierwszy odjąć drugi. Czyli 3 razy 1 odjąć 3 daje 0. 3 razy 2 odjąć 4 daje 6 odjąć 4, daje 2. Teraz zastąpimy trzeci wiersz różnicą 5 razy pierwszy wiersz odjąć trzeci wiersz. Czyli 5 razy 1 odjąć 5 daje 0. 5 razy 2 daje 10, odjąć 6 daje 4. Teraz zobaczmy, czy możemy dostać 1 tutaj. Czyli zachowuję środkowy wiersz bez zmian. Albo lepiej podzielmy środkowy wiersz przez 2, albo pomnóżmy go przez 1/2. W więc dostajemy 0, 1, a potem mamy 0, 4, 1, 2. A teraz spróbujmy dostać tutaj 0, żeby mieć postać schodkową zredukowaną. Czyli zachowuję środkowy wiersz bez zmian, 0, 1. I zastępuję górny wiersz różnicą górnego wiersza odjąć 2 razy drugi wiersz. Czyli 1 odjąć 2 razy 0 daje 1. 2 odjąć 2 razy 1 daje 0. Teraz zastąpię ten ostatni wiersz różnicą ostatniego odjąć 4 razy ten wiersz. Czyli dostajemy 0 odjąć 4, razy to, czyli 0. 4 odjąć 4 razy 1 daje 0. Zauważcie, że mamy zerowy wiersz tutaj. Mamy dwa współczynniki wiodące, albo dwa wiersze zawierające współczynniki wiodące mamy też dwie wiodące kolumny tutaj. Czyli rząd tego kolesia tutaj: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Jego rząd jest równy 2, co nie jest równe wymiarowi przeciwdziedziny. Nie jest równe 3. Obraz macierzy nie jest równy R3, czyli S nie jest na, nie jest surjektywne. Nie spełnia pierwszego warunku odwracalności. Czyli, na pewno wiemy, że S nie jest odwracalne. Mam nadzieję, że to było pomocne. W następnym filmie skupimy się na drugim warunku odwracalności, czyli różnowartościowości.