Warunek różnowartościowości odwzorowania liniowego - film z polskimi napisami

Powiedzmy, że mam jakąś macierz A. Powiedzmy, że mam jakąś macierz A. Jeżeli próbuję znaleźć jądro macierzy A to zasadniczo pytam -- po prostu pytam: jeżeli wezmę równanie Ax równa się wektorowi zerowemu, to jądro macierzy A jest zbiorem wszystkich wektorów spełniających to równanie. Wszystkie iksy, które spełniają to równanie. Ax równa się wektorowi zerowemu albo można to nazwać układem równań. Sposób rozwiązania tego -- i robiliśmy to wiele razy, wiele filmów temu -- tworzymy macierz rozszerzoną dla tego układu. Czyli macierz rozszerzona będzie wyglądać tak. I będziemy mieli wektor 0 po prawej stronie. Następnie przeprowadzamy sekwencję operacji na wierszach żeby sprowadzić lewą stronę do postaci schodkowej zredukowanej. Czyli robimy sekwencję operacji. Lewa strona przyjmie postać schodkową wierszowo zredukowaną. Nazwijmy to postacią schodkową zredukowaną macierzy A. A prawa strona pozostanie równa 0, ponieważ przeprowadzamy te same operacje na wierszach. Ale kiedy przeprowadzamy te operacje na zerach, to po prostu dostajemy spowrotem wektor zerowy tutaj. I kiedy zapisujemy rozwiązanie-- kiedy podstawiamy wstecz, ponieważ te dwa układy równań są równoważne -- to zasadniczo dostaniemy zbiór rozwiązań wyglądający jakoś tak. Bedziemy mieli nasz -- napiszę to tak -- nasz zbiór rozwiązań będzie równy jakiejś wielokrotności... Powiedzmy, że spośród naszych wolnych parametrów, że nasze wolne parametry mędą skalarnymi współczynnikami. I widzieliście to wiele razy, czyli zrobię to skrótowo. Czyli to będzie jakiś wpółczynnik razy, powiedzmy, wektor 1 dodać jakiś inny skalar razy wektor 2 -- te skalary będą naszymi wolnymi zmiennymi -- razy wektor 2, i tak dalej, aż do -- no nie wiem -- cokolwiek -- c razy nasz nty wektor. Robię to ogólnie. Nie widzieliśmy przykładów, które miały więcej niż dwa albo trzy wektory tutaj. Ale to jest zasadnioczo to -- nasze jądro jest rozpięte przez te wektory tutaj. Dostajemy równanie -- dostajemy zbiór rozwiązań, który wygląda tak jak tu i nazywamy to jądrem. Robiliśmy to wiele razy. Nasze jądro jest tym -- czyli wszystkie kombinacje liniowe, czyli przestrzeń rozpięta na tych małych wektorach, które dostajemy tutaj. Czyli 1 i 2, aż do n. Nie ma tu nic nowego Powtarzam tylko coś, co widzieliśmy wiele, wiele razy. W zasadzie robiliśmy to w poprzednim filmie. Może tylko nie napisałem tego nigdy dokładnie tak. Ale co z przypadkiem, kiedy rozwiązujemy niejednorodne równanie? Równanie niejednorodne wygląda tak. Czyli kiedy rozwiązuję Ax równa się b, to będę robił coś bardzo podobnego do tego. Utworzę macierz rozszerzoną. Będziemy mieli A po lewej stronie i wstawię b po p prawej stronie i przeprowadzę sekwencję operacji na wierszach, żeby sprowadzić A do postaci schodkowej zredukowanej. Zrobię to. Czyli ta lewa strona będzie w postaci schodkowej zredukowanej dla macierzy A. A prawa strona -- jakiekolwiek operacje przeprowadziłem na macierzy A, muszę to zastosować do całego wiersza. Czyli muszę je też wykonać na b. Czyli dostanę tutaj jakiś nowy wektor. Może nazwę go wektorem -- może nazwę go wektorem b prim. Czyli on będzie różny od b, ale po prostu nazwijmy go b prim. Czyli kiedy wrócimy do naszej -- kiedy przepiszemy naszą macierz rozszerzoną jako układ równań i rozwiążęmy go, tak jak to robiliśmy w poprzednim filmie -- dostaniemy zbiór rozwiązań. Nasz zbiór rozwiązań, który spełnia to będzie miał postać x równa się temu b prim -- jaki by ten nowy wektor nie był -- ten b prim dodać coś co wygląda dokładnie tak. Wygląda to dokładnie tak. W zasadzie skopiuję to i wkleję, wygląda to dokładnie tak. Zobaczmy czy to się skopiowało. Kopiuj i wklej. Edycja, kopiuj, wklej. Czyli to będzie wyglądać dokładnie tak. W poprzednim filmie powiedzieliśmy, że możemy -- jak mamy to, to możemy w pewnym siensie wyobrażać sobie zbiór rozwiązań równania niejednorodnego, jako równoważny jakiemuś szczególnemu rozwiązaniu, nazwijmy je x, dodać dowolny element jądra. Czyli można powiedzieć: dodać jakieś rozwiązanie niejednorodne. Czyli jak wybierzemy jakieś konkretne wartości dla a, b i c, wszystkie dowolne wielokrotności wektorów rozpinających jądro, dostaniemy jakieś konkretne rozwiązanie problemu jednorodnego. To co wynikało z poprzedniego filum i czego nie udowodniłem ściśle, to fakt, że każde rozwiązanie równania niejednorodnego -- napiszę to w ten sposób -- każde rozwiązanie -- i zrobię to na biało -- to nie biały -- każde rozwiązanie równania niejednorodnego Ax równa się b, będzie miało postać -- dla jakiegoś szczególnego rozwiązania -- to było to właśnie tutaj, może nie powinienem tego pisać na zielono -- to jest właśnie tutaj -- kiedy sprowadzamy do postaci schodkowej zredukowanej, to staje się wektorem b prim. Dodać jakieś rozwiązanie równania jednorodnego, czyli jakiś element jądra. Nie udowodniłem wam tego, ale stwierdziłem, że tak właśnie jest. To co chcę teraz zrobić, to udowodnić to trochę bardziej ściśle, ale będzie to dosyć proste. Przede wszystkim sprawdźmy, że to jest rozwiązanie. Czyli sprawdźmy, że to jest rozwiązanie. Wstawmy to więc do naszego oryginalnego równania. Pamiętajmy, że nasze oryginalne równanie miało postać Ax róna się b. Więc sprawdźmy. Więc sprawdźmy. Pozwólcie mi napisać to jako pytanie. Czy to szczególne rozwiązanie dodać jakieś rozwiązanie równania niejednorodnego, jest rozwiązaniem Ax równa się b? Cóż, żeby to sprawdzić, po prostu wstawiamy to w miejsce x. Sprawdźmy to. Czyli A razy ten koleś tutaj, razy jakieś szczególne rozwiązanie, dodać jakieś rozwiązanie równania jednorodnego będzie równe A razy szczególne rozwiązanie, dodać A razy jakiś element jądra. Czemu to się będzie równać? To będzie równe b. Tak? Twierdzimy, że to jest szczególne rozwiązanie tego równania. To będzie równe b, a to będzie równe wektorowi 0, ponieważ to jest rozwiązanie równania jednorodnego. Czyli to będzie równe b dodać 0, czyli równa się b. A więc A razy ten wektor tutaj jest rzeczywiście równe b. Czyli to jest rozwiązanie. Tak, to jest rozwiązanie. Następne pytanie teraz to czy każde rozwiązanie równania niejednorodnego, alby czy dowolne rozwiązanie równania niejednorodnego przyjmuje tę postać? Czyli, czy każde rozwiązanie x, równania Ax równa się b, ma taką postać x równa się jakieś rozwiązanie szczególne dodać element jądra, albo dodać rozwiązanie równania jednorodnego. Żeby się o tym przekonać weźmy -- zobaczmy co się stanie jak pomnożymy A razy x -- napiszę to w ten sposób. Powiedzmy, że x jest rozwiązaniem Ax równa się b. Zacznijmy od tego. Zobaczmy co się stanie, jak weźmiemy A razy x odjąć jakieś szczególne rozwiązanie tego. Kiedy wymnożymy ten nawias, dostaniemy A razy nasze dowolne rozwiązanie odjąć A razy nasze szczególne rozwiązanie. Czemu to będzie równe? Mówimy, że to jest rozwiązanie równania Ax równa się b. Czyli to będzie równe b. I oczywiście, każde szczególne rozwiązanie tego kiedy mnożymy to przez A też będzie równe b. Czyli to będzie b odjąć b, czyli to będzie się równać wektorowi 0. Inaczej mówiąc, x, wektor x odjąć nasze szczególne rozwiązanie jest rozwiązaniem równania A razy x równa się 0. Myślcie o tym, że to bierzemy tutaj w nawiasie i wstawiamy to tutaj i mnożymy to przez A i dostajemy wektor 0. Właśnie to zrobiliśmy, dostajemy wektor 0, ponieważ kiedy mnożymy każdego z tych kolesi przez A, to dostajemy b i mamy b odjąć b. Czyli w sumie dostajemy 0. Czyli możemy powiedzieć, że x odjąć -- czyli nasze rozwiązanie x odjąć szczególne rozwiązanie jest elementem jądra. Zgadza się? Z definicji jądro jest zbiorem wszystkich x, które spełniają to równanie. Czyli ponieważ to jest element jądra, możemy powiedzieć, że to się równa -- czyli dowolne rozwiązanie odjąć szczególne rozwiązanie równa się jakiemuś elementowi jądra. Można też powiedzieć, że równa się rozwiązaniu problemu jednorodnego. Może być więcej niż jedno. Rozwiązanie równania jednorodnego. Rozwiązanie równania jednorodnego. Teraz, jeżeli po prostu dodamy nasze szczególne rozwiązanie do obu stron tego, to okaże się, że dowolne rozwiązanie -- pamiętamy, że sałożyliśmy że x jest dowolnym rozwiązaniem -- że dowolne rozwiązanie jest równe sumie naszego rozwiązanie równania jednorodnego dodać szczególne rozwiązanie -- czyli dodać nasze szczególne rozwiązanie. Czyli udowodniliśmy to w obie strony. Że to jest rozwiązanie naszego równania niejednorodnego i że każde rozwiązanie równania niejednorodnego ma taką postać jak tutaj. Dlaczego się tym zajmuję i dlaczego byłem skupiony na tym równaniu przez pewien czas. Ale mówiliśmy o pojęciu różnowartościowości odwzorowania. różnowartościowości odwzorowania. To był jeden z warunków odwracalności odwzorowania. Teraz, żeby mieć różnowartościowość -- narysuję odwzorowaniu tutaj. Powiedzmy, że to jest moja dziedzina X, a to jest moja przeciwdziedzina Y tutaj i mam odwzorowania które odwzorowuje X w Y. które odwzorowuje X w Y. Żeby T było różnowartościowe -- napiszę to tak, różnowartościowe. Różnowartościowość T oznacza, że dla dowolnego b wybranego tutaj, dla dowolnego b, które jest elementem przeciwdziedziny, istnieje co najwyżej jedno rozwiązanie równania A razy x równa się b. I zakładam, że A jest macierzą naszego odwzorowania, czyli możemy napisać nasze odwzorowanie T jako mnożenie macierzy przez wektor z naszej dziedziny. Czyli to będzie Ax, jeżeli to jest x tutaj, to T odwzorowuje z tego na to tutaj. Czyli, żeby nasze odwzorowanie było różnowartościowe, to znaczy, że jak wybierzemy dowolne b tutaj, to musi być co najwyżej jedno rozwiązanie równania Ax równa się b. Inaczej mówiąc, istnieje co najwyżej jeden koleś, który jest odwzorowywany na ten element naszej przeciwdziedziny. Może nie być żadnego. Może nie być rozwiązania, ale musi być co najwyżej jedno rozwiązanie. Powiedzieliśmy teraz, że dowolne rozwiązanie równania niejednorodnego -- napiszę to na niebiesko -- dowolne rozwiązanie przyjmuje postać -- jeżeli jest rozwiązanie. Czyli jeżeli nie ma rozwiązania, to w porządku. To spełnia warunek różnowartościowości. Ale jeżeli jest rozwiązanie, dowolne rozwiązanie będzie miało postać x równa się szczególne rozwiązanie dodać element jądra. Gdzie ten koleś tutaj jest elementem jądra. To tutaj stosuje się do tamtego kolesia. Właśnie tutaj. Dowolne rozwiązanie, jeżeli istnieje, jeżeli nie ma rozwiązań, to w porządku. Nadal możemy mieć różnowartościowość. Ale jeżeli mamy rozwiązanie, to powinno być co najwyżej jedno które przechodzi na to i każde rozwiązanie ma taką postać. Dopiero co to wam pokazałem. Żeby mieć teraz różnowartościowość, to musi być jednoznaczne rozwiązanie. Zbiór rozwiązań musi się składać z jednego rozwiązania. Zbiór rozwiązań musi się składać z jednego rozwiązania. Możemy tutaj mieć tylko jedno rozwiązanie, zgadza się? Co to oznacza? To oznacza, że ten koleś tutaj nie może być więcej niż jednym wektorem. Musi być jednym wektorem. Jest tylko jedno szczególne rozwiązanie tutaj. Ale ten koleś tutaj musi być -- dla dowolnego zbioru rozwiązań, zależnie jak to zdefiniujemy, jest tylko jeden szczególny wektor tutaj. Ale ten koleś -- jedyny szansa, żebyśmy mieli jedno rozwiązanie jest wtedy kiedy jądro jest trywialne, kiedy zawiera tylko wektor 0. Jądro zawsze zawiera przynajmniej wektor 0. W poprzednim filmie wydaje mi się, że się zagalopowałem i powiedziałem, że jądro musi być puste. Ale nie, jądro zawsze, z definicji, z faktu, że jest podprzestrzenią, zawsze będzie zawierało wektor 0. Możemy zawsze pomnożyć A razy 0 i otrzymamy 0. Czyli nasze jądro będzie zawsze to zawierało. Ale żeby mieć jednoznaczne rozwiązanie, jądru musi zawierać tylko wektor 0, czyli to może być tylko równe 0. Tak żeby nasze jedyne rozwiązanie będzie tym szczególnym rozwiązaniem, które znaleźliśmy, zależnie jak do niego doszliśmy, ale będzie tylko naszym szczególnym rozwiązaniem. Sformułuje to tak. Żeby odwzorowanie było różnowartościowe, jądro macierzy odwzorowania musi być trywialne. Musi zawierać tylko wektor 0. Zajmowaliśmy się tym wiele, wiele filmów temu. Co to znaczy, że jądro zawiera tylko wektor trywialny? Chcę, żeby to było jasne. Czyli jeżeli macierz naszego odwzorowania wygląda tak, A1, A2 i tak dalej do An, i mnożymy to razy x1, x2, i tak dalej aż do xn, i jądro składa się ze wszystkich iksów, które spełniają to równa się 0, i mamy m zer tutaj. Czyli jeżeli jądro jest trywialne i mówimy, że to jest warunek na różnowartościowość, dla naszego odwzorowania, żeby było różnowartościowe to określone przez tę macierz. Jeżeli nasze jądro jest trywialne, to co to oznacza? To oznacza, że jedynym rozwiązaniem -- inaczej można to zapisać x1 razy a1, dodać x2 razy a2 i tak dalej do xn razy an, równa się wektorowi 0. To są równoważne stwierdzenia tutaj. Po prostu pomnożyłem każdą z tych składowych przez odpowiedni wektor kolumnowy. To są te same rzeczy. Jeżeli teraz mówimy, że jądro ma być równe 0, to mówimy, że jedynym rozwiązaniem tego równania tutaj, jedyne skalary, które spełniają to równanie -- przepraszam, to nie są -- właściwie -- ponieważ napisałem skalary jako wektory -- czyli ten koleś tutaj, to stwierdzenie tutaj jest równoważne x1 razy a1, dodać x2 razy a2 dodać i tak dalej do xn razy an równa się wektorowi 0. Gdzie te x1 do xn są skalarami. Jeżeli teraz mówimy, że jądro ma być zerem, mówimy, że jedyny sposób, żeby spełnić to równanie, to kiedy nasze x1 do xn wszystkie są równe 0. A to oznacza, to jest właściwie definicja liniowej niezależności. To oznacza, że a1 -- czyli jądro równe 0 oznacza również, że nasze wektory kolumnowe, składowe macierzy A -- napiszę to tak -- oznacza to, że a1, a2 i tak dalej do an są liniowo niezależne. liniowo niezależne. Co to teraz znaczy? Jeżeli ci kolesie są liniowo niezależni, to co będzie bazą obrazu macierzy? Pamiętacie, że obraz jest rozpięty na kolumnach. Obraz macierzy jest równy przestrzeni rozpiętej na a1, a2, aż do an. To co właśnie powiedzieliśmy, to że jeżeli mamy odwzorowanie różnowartościowe, warunek na różnowartościowość jest taki, że jądro musi być równe 0, albo zawierać jedynie wektor 0. Jeżeli jądro zawiera wektor 0, to kolumny macierzy stanowią układ liniowo niezależny. Jeżeli te kolumny rozpinają obraz macierzy i są liniowo niezależne, to stanowią bazę. Czyli to oznacza, że a1, a2, i tak dalej do an, są bazą obrazu macierzy. A to z kolei oznacza, że jeżeli kolumny są liniowo niezależne, oczywiście rozpinają obraz naszej macierzy z definicji i są liniowo niezależne, to stanowią bazę. Czyli wymiar naszej bazy, czyli wymiar obrazu naszej macierzy to jest zasadniczo liczba wektorów potrzebnych do utworzenia bazy będzie równa n. Mamy n kolumn. Czyli będzie równa n. Inaczej mówiąc rząd naszej macierz musi być równy n. Czyli teraz mamy warunek, żeby odwzorowanie było różnowartościowe. Coś będzie różnowartościowe, wtedy i tylko wtedy gdy, rząd naszej macierzy jest równy n. I to działa w obie strony. Jeżeli założymy, że coś jest różnowartościowe, to oznacza że jego jądro musi zawierać tylko wektor 0, czyli ma tylko jedno rozwiązanie. Jeżeli jądro zawiera tylko wektor 0, to oznacza że kolumny są liniowo niezależne. Co z kolei oznacza, że są częścią bazy. Co oznacza, że mamy n wektorów bazy, czyli mamy rząd równy n. Idźmy w drugą stronę. Jeżeli mamy macierz rzędu n, to oznacza, że ci wszyscy kolesie są liniowo niezależni. Jeżeli ci wszyscy kolesie są liniowo niezależni, to jądro składa się tylko z wektora 0. Jądro zawiera tylko wektor 0, czyli ta część naszego rozwiązania znika. I zostajemy z jednym tylko rozwiązaniem. Czyli mamy różnowartościowość. Czyli mamy różnowartościowość wtedy i tylko wtedy gdy rząd naszej macierzy jest równy n. rząd naszej macierzy jest równy n.