Uproszczone warunki odwracalności macierzy - film z polskimi napisami

Główną przesłanką dla ostatniej serii filmów było Główną przesłanką dla ostatniej serii filmów było próbowanie, szukanie odpowiedzi na pytanie, czy dane odwzorowanie T -- powiedzmy, że mamy jakieś odwzorowanie, które przekształca Rn w Rm powiedzmy -- zasadniczym pytaniem jest czy T jest odwracalne. -- zasadniczym pytaniem jest czy T jest odwracalne. Pokazaliśmy, kilka filmów temu, że funkcja -- a odwzorowanie to w zasadzie funkcja -- że funkcja jest odwracalna, jeżeli spełnia dwa warunki. Czyli odwracalna. Czyli nie muszę pisać w kółko tego słowa. Musi spełniać dwa warunki. Musi być "na", czyli musi odwzorowywać na każdy element naszej przeciwdziedziny i musi być różnowartościowa. Różnowartościowość oznacza, że na każdy element przeciwdziedziny przechodzi co najwyżej jeden element dziedziny. I zrobiliśmy kilka filmów, gdzie mówiliśmy: jeżeli mamy odwzorowanie, odwzorowanie liniowe, które jest zadane przez macierz A, która jest macierzą m na n, powiedzieliśmy, że te warunki będą spełnione, jeżeli rząd macierzy A jest równy liczbie rzędów naszej macierzy odwzorowania, czyli m. W poprzednim filmie pokazałem, że to jest prawda tylko wtedy kiedy kolumny macierzy stanowią układ wektorów liniowo niezależnych, albo że stanowią bazę przestrzeni rozpiętej na kolumnach macierzy, albo że rząd naszej macierzy musi być równy n. Teraz, żeby odwzorowanie było odwracalne, oba te warunki muszą być spełnione. Rząd macierzy A musi być równy m i rząd macierzy A musi być równy n. Czyli, żeby macierz była odwracalna, kilka okoliczności musi zajść. Żeby mieć odwracalność, rząd macierzy naszego odwzorowania musi być równy m, które musi być równe n. Czyli m musi być równe n. Otrzymujemy zatem ciekawy warunek. Musimy mieć macierz kwadratową. Musimy mieć macierz kwadratową. Nasza macierz musi mieć wymiar n na n. To wynika z tego. Jeżeli oba te warunki zachodzą, to m musi być równe n i mamy do czynienia z macierzą kwadratową. A nawet więcej, mamy do czynienia z macierzą kwadratową, której kolumny są liniowo niezależne, czyli to jest nasze A. A wygląda tak. a1, a2, aż do an. Ponieważ rząd macierzy A jest równy n, a to jest oczywiście macierz n na n. Dopiero, co powiedzieliśmy że tak właśnie jest, bo jej rząd musi być równy m, co jest liczbą wierszy i jej rząd musi być równy n, co jest liczbą kolumna, czyli liczba kolumn i wierszy musi być taka sama. Ale fakt, że rząd jest równy liczbie kolumn oznacza, że kolumny stanowią bazę przestrzeni rozpiętej na kolumnach, albo że jak zredukujemy tę macierz do postaci schodkowej, to co dostaniemy? Cóż, wszyscy ci kolesie są wektorami bazowymi, czyli każdy będzie związany ze współczynnikiem wiodącym, czyli każdy będzie kolumną wiodącą. Czyli będzie 1, 0, same 0, a potem będzie 0, 1, same 0, o tak. Będą związane z kolumnami wiodącymi kiedy sprowadzimy to do postaci schodkowej zredukowanej. Czyli wszystkie kolumny będą zawierać współczynnik wiodący. To jest macierz n na n. A czym jest macierz n na n, gdzie każda kolumna zawiera współczynnik wiodący? Jaka jest ta macierz n na n? Napiszę to. Czyli mamy n. Czyli postać schodkowa zredukowana macierzy A musi być równa macierzy n na n, ponieważ A jest n na n, gdzie każda kolumna jest liniowo niezależna od innych i zawiera współczynnik wiodący. No i z definicji macierzy schodkowej zredukowanej, nie możemy mieć tej samej kolumny wiodącej dwa razy, jeżeli każda kolumna jest liniowo niezależna od innych. To jest trochę powtarzanie się, ale myślę, że łapiecie o co chodzi. Czyli co to jest macierz n na n, gdzie każda kolumna jest liniowo niezależna od innych i zawiera współczynnik wiodący? Cóż, to jest po prostu macierz, która ma 1 na diagonali a poza tym same 0. a poza tym same 0. Albo -- już widzieliście tę macierz wcześniej -- to jest macierz jednostkowa n na n, albo macierz identyczności na Rn. Czyli jak pomnożymy tę macierz przez dowolny element Rn, to dostaniemy ten sam wektor z powrotem. Ale to jest ciekawe. Mamy teraz na prawdę użyteczny warunek na odwracalność. Możemy powiedzieć, że odwzorowanie T, które przekształca Rn w -- cóż wiemy już, że musi przekształcać na ten sam wymiar, czyli z Rn w Rn -- jest równe jakiejś kwadratowej macierzy n na n, musi to być macierz n na n, razy wektor w naszej dziedzinie. I to będzie odwracalne jeżeli postać schodkowa zredukowana macierzy naszego odwzorowania jest równa macierzy jednostkowej wymiaru n. Właściwie mogłem napisać m tutaj i powiedzieć, że to jest macierz m na n, ale jedyny sposób, żeby to było prawdziwe, to kiedy to jest też n a to jest też m. Ale może mogę to tak zostawić. Pozwólcie, że zostawię te m tutaj, ponieważ to jest ważna nauka. Ważna rzecz której się nauczyliśmy to, że macierz odwzorowania jest odwracalna, tylko wtedy gdy postać schodkowa zredukowana naszej macierzy jest równa macierzy jednostkowej n na n. Macierz jednostkowa zawsze musi być n na n. To jest ważna nauka. Teraz wykorzystamy to w przyszłości, żeby znajdować odwzorowania odwrotne, czyli odwrotności odwzorowań. odwzorowania odwrotne, czyli odwrotności odwzorowań.