If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:6:31

Związek pomiędzy odwracalnością a byciem "na" oraz jedno-jednoznacznością odwzorowania - film z polskimi napisami.

Transkrypcja filmu video

Kilka filmów temu nauczyliśmy się, że funkcja która Kilka filmów temu nauczyliśmy się, że funkcja która odwzorowuje zbiór X w zbiór Y jest odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy -- po angielsku "iff" przez dwa "f" -- dla każdego y -- napiszę to. Zrobię to na żółto. Dla każdego y, który jest elementem przeciwdziedziny, istnieje jedyny -- trochę to pogrubię -- jedyny element dziedziny taki, że f od tego x jest równe y. Czyli jeżeli mam moją dziedzinę tutaj, czyli X i mam przeciwdziedzinę tutaj, czyli Y, to mówimy, że f jest odwracalna. to mówimy, że f jest odwracalna. I wiemy co znaczy odwracalność. Znaczy, że istnieje druga funkcja zwana odwrotnością, która, jeżeli weźmiecie jej złożenie z funkcją f, to będzie identyczność na X. Albo jeżeli złożycie f z odwrotnością, to będzie identyczność na Y. Robiliśmy to już wiele razy, więc nie będę się tutaj powtarzał. Wiemy co znaczy odwracalność, ale nauczyliśmy się, że f jest odwracalne, wtedy i tylko wtedy gdy, dla każdego y tutaj, dla każdego y, który jest elementem naszej przeciwdziedziny, istnieje jedyny x taki, że f od x jest równe temu y. jest równe temu y. Napiszę to w ten sposób. Jeżeli to jest x, powiedzmy x zero, to f od x zero będzie równe y. Czyli y jest równe f od x zero. Działamy funkcją tutaj. Odwzoruje to na punkt tutaj. Nie byłaby odwracalna, gdybyśmy mieli coś takiego. Gdybyśmy mieli dwa elementy X trafiające tutaj. To by psuło odwracalność, gdybyśmy mieli taką sytuację, ponieważ wtedy nie byłby spełniony warunek jednoznaczności. Musimy mieć jedyny x, który jest odwzorowywany na to. A to co tutaj narysowałem, to drugie różowe odwzorowanie, tutaj nie mamy jednego x który przechodzi na y, tylko dwa iksy, które przechodzą na y. Opierając się na tym co wam powiedziałem w poprzednim filmie, co to znaczy? Jeżeli mamy jedyny x, który przechodzi na każdy y? To znaczy, że mamy odwzorowanie jeden na jeden. To f musi być jeden na jeden. Napiszę to. Inny sposób wysłowienia tego to, że f jest jeden na jeden, albo injektywne. jeden na jeden, albo injektywne. Jeżeli mielibyśmy dwóch kolesi odwzorowywanych na ten sam y, to psułoby ten warunek. Nie mielibyśmy funkcji jeden na jeden i nie mielibyśmy jednoznacznego rozwiązania x, tego równania tutaj. Teraz druga własność tego to, że dla każdego y -- możemy wybrać dowolny y tutaj i wtedy istnieje jedyny x który przechodzi na to. Nie może tutaj być jakiegoś y... Powiedzmy, że mamy jakiś y tutaj i nic na niego nie przechodzi. Powiedzmy, że mamy jakiś y tutaj i nic na niego nie przechodzi. Jeżeli tak jest, to nie mamy spełnionych warunków odwracalności. Czyli to byłoby nieodwracalne. Wszystko w Y, każdy element Y musi być w obrazie. Na każdego z tych kolesi coś musi być odwzorowywane. I na każdy może przechodzić tylko jeden element z X. Wszystko tutaj musi być odwzorowane jednoznacznie. Jak nazwaliśmy w poprzednim filmie funkcję, która odwzorowuje na każdy element przeciwdziedziny? Każdy tutaj. Jak inaczej można to nazwać? Że funkcja odwzorowuje na każdy element naszej przeciwdziedziny? W poprzednim filmie wyjaśniłem, że taka funkcja nazywa się surjektywną, albo funkcją na. Powód, dla którego robię ten film, to chęć sformułowania dla was warunku odwracalności z użyciem słownictwa wprowadzonego w poprzednim filmie. Czyli wiedząc, że dla każdego y, czyli każdego elemetnu przeciwdziedziny, istnieje x, który na niego odwzorowuje, możemy powiedzieć, że f jest surjektywne. możemy powiedzieć, że f jest surjektywne. Jeżeli po prostu powiemy, że f jest surjektywne, to oznacza, na każdy element tutaj coś jest odwzorowywane. Ale mogło by tak być, że na przykład na ten element tutaj przechodziło by więcej niż jeden element. Surjektywność sama w sobie nie oznacza, że jest jedyny element z X, który przechodzi na element Y. Żeby to dostać, żeby mieć warunek jednoznaczności potrzebny do odwracalności, musimy powiedzieć, że f jest też injektywne. powiedzieć, że f jest też injektywne. I oczywiście, można mniej formalnie nazwać obie te cechy, to nazwać, że funkcja jest na, a to nazwać różnowartościowością. Czyli używając słownictwa, którego nauczyliśmy się w poprzednim filmie, możemy przeformułować warunek na odwracalność. Możemy powiedzieć, że funkcja która jest odwzorowaniem z dziedziny X w przeciwdziedzinę Y jest odwracalna, wtedy i tylko wtedy gdy -- napiszę to -- f jest zarówno surjektywna jak i injektywna. napiszę to -- f jest zarówno surjektywna jak i injektywna. Albo mogliśmy powiedzieć, że f jest odwracalna, wtedy i tylko wtedy gdy f jest na i różnowartościowa. I to są po prostu wymyślne sposoby powiedzenie, że dla każdego y w przeciwdziedzinie, istnieje jedyny x taki, że f odwzorowuje na niego. Nie ma więcej niż jeden x i na każdy y coś przechodzi. Nie ma więcej niż jeden x i na każdy y coś przechodzi.