Jak zobaczyć odwzorowanie liniowe

Koncepcja "przekształcenia" na początku może wydawać bardziej skomplikowana niż w rzeczywistości, dlatego zanim przejdziemy do tego jak macierze $2\times 2$‍ przekształcają przestrzeń dwuwymiarową, albo jak macierze $3\times 3$‍ przekształcają przestrzeń trójwymiarową, zobaczmy jak można wyobrazić sobie macierze stopnia pierwszego (czyli macierze $1\times 1$‍) jako przekształcenia przestrzeni jednowymiarowej.

Przestrzeń jednowymiarowa to po prostu oś liczbowa.

Co się stanie, jeśli pomnożymy każdą liczbę na osi przez konkretną wartość, np. dwa? Można to przedstawić w następujący sposób:

Zachowaliśmy kopię oryginalnej osi dla porównania, a następnie przesunęliśmy każdą liczbę na osi na pozycję oznaczającą liczbę dwa razy większą.

Mnożenie przez ${\displaystyle \frac{1}{2}}$‍ może być przedstawione w podobny sposób:

Aby nie pominąć tutaj liczb ujemnych, oto mnożenie przez minus trzy:

Dla spragnionych terminologii, operacje przedstawione na animacjach można określić mianem "przekształceń liniowych przestrzeni jednowymiarowej". Słowo przekształcenie oznacza to samo co słowo funkcja: działanie, w wyniku którego liczba jest zamieniana na inną, jak w przypadku $f(x)=2x$‍. Jednak, podczas gdy zazwyczaj przedstawiamy funkcje na wykresach, słowa “przekształcenie” używa się zwykle aby wskazać, że jakiś obiekt jest w ruchu, jest rozciągany, zmniejszany, itp. Dlatego funkcja $f(x)=2x$‍ przedstawiona jako przekształcenie daje nam mnożenie przez dwa z powyższego video. Przenosi punkt jeden na miejsce na osi gdzie wcześniej było dwa, przenosi dwa w miejsce gdzie wcześniej było cztery, itp.

Zanim przejdziemy do przestrzeni dwuwymiarowej, jest jeszcze jedna sprawa, o której zawsze powinniśmy pamiętać. Przypuśćmy, że oglądasz jedno z tych przekształceń, wiedząc, że jest to mnożenie przez jakąś liczbę, ale nie wiedząc jaka to liczba:

Łatwo można zgadnąć o mnożenie przez jaką liczbę chodzi, śledząc co dzieje się z jedynką. W tym przypadku, jedynka trafia w miejscu gdzie wcześniej było minus trzy, więc można stwierdzić, że animacja przedstawia mnożenie przez minus trzy.

Przekształcenie liniowe w przestrzeni dwuwymiarowej to specjalny rodzaj funkcji, który bierze wektor dwuwymiarowy $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ i zamienia go na inny wektor dwuwymiarowy. Tak jak wcześniej, słowo przekształcenie oznacza, że myślimy o rozciąganiu lub kurczeniu czegoś, w tym przypadku ma to miejsce w przestrzeni dwuwymiarowej.

Oto kilka przykładów:

Musimy pamiętać, że aby przekształcenie było liniowe, musi mieć następujące własności: Początek układu współrzędnych musi pozostać na swoim miejscu, a wszystkie proste muszą pozostać prostymi. Dlatego wszystkie przekształcenia w powyższej animacji są liniowe, ale te pokazane poniżej już nie:

Tak jak w przypadku jednowymiarowym, w dwóch wymiarach przekształcenie jest liniowe, jeśli spełnia dwa warunki:

Teraz, $\mathbf{\text{v}}$‍ i $\mathbf{\text{w}}$‍ są wektorami, a nie liczbami. Podczas gdy w przestrzeni jednowymiarowej pierwszy warunek nie był potrzebny, teraz odgrywa on ważniejszą rolę, ponieważ w pewnym sensie określa jak dwa wymiary zmieniają się względem siebie podczas przekształcenia.

Wyobraź sobie, że oglądasz konkretne przekształcenie, na przykład takie:

Jak można je opisać koledze, który nie ogląda tej animacji? Już nie możesz tego opisać używając pojedynczej liczby, np. śledząc przemieszczanie się liczby jeden, jak w przypadku przestrzeni jednowymiarowej. Aby móc lepiej to wszystko śledzić, narysujmy zieloną strzałkę na wektorze $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍, a czerwoną strzałkę na wektorze $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍, zachowując początkową siatkę w tle.

Teraz znacznie łatwiej zobaczyć jak się wszystko zmienia. Zobacz animację jeszcze raz i skup się np. na wektorze $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$‍. Możemy łatwo zauważyć, że staje się on wektorem $\left[\begin{array}{c}4\\ -2\end{array}\right]$‍.

Możemy to przedstawić za pomocą następującego zapisu:

Zauważ, że wektor, np. $\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]$‍, który na początku był $2$‍ razy większy od zielonej strzałki, po przekształceniu pozostaje $2$‍ razy większy od zielonej strzałki. Ponieważ zielona strzałka stała się $\left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]$‍, możemy wywnioskować, że

$\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]\to 2\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ -4\end{array}\right]$‍.

Oraz ogólnie

Podobnie możemy określić usytuowanie osi $Y$‍ na podstawie tego, gdzie wylądowała czerwona strzałka $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ , a w tym odwzorowaniu jest to wektor $\left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right]$‍.

Tak naprawdę, jeśli wiemy gdzie znajdą się $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ i $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ , będziemy mogli określić jak ma się przemieścić dowolny punkt na płaszczyźnie. Skupmy się np. na punkcie $\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]$‍ na naszej animacji:

Na początku jest to minus jeden razy zielona strzałka plus dwa razy czerwona strzałka, a na końcu staje się minus jeden razy zielona strzałka plus dwa razy czerwona strzałka, co po przekształceniu oznacza

To, że można tak "rozbić" wektor, określając go względem innych wektorów zarówno przed jak i po przekształceniu jest charakterystyczne dla odwzorowań liniowych.

Ogólnie jeśli każdy wektor $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ można przedstawić jako:

Jeśli zielona strzałka $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ stanie się pewnym wektorem $\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]$‍, a czerwona strzałka $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ stanie się pewnym wektorem $\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]$‍, wektor $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ musi przenieść się na

Bardzo dobrym sposobem opisania tego procesu jest przedstawienie danego przekształcenia liniowego za pomocą poniższej macierzy:

W tej macierzy, pierwsza kolumna mówi nam gdzie wyląduje $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ , a druga kolumna mówi nam gdzie wyląduje $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ . Teraz możemy opisać gdzie znajdzie się dowolny wektor $\mathbf{\text{v}}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ w sposób bardzo zwięzły, jako iloczyn macierzy i wektora

$\mathbf{\text{Av}}=\left[\begin{array}{c}ax+by\\ cx+dy\end{array}\right]$‍.

Tak naprawdę to właśnie stąd pochodzi definicja iloczynu macierzy i wektora.

Dlatego tak samo jak liniowe przekształcenia jednowymiarowe mogą być opisane jako mnożenie przez jakąś liczbę, a dokładniej liczbę na którą przekształcana jest jedynka, liniowe przekształcenia dwuwymiarowe zawsze można opisać jako macierz $2\times 2$‍, a dokładniej tę, której pierwsza kolumna wskazuje gdzie znajdzie się$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍, a druga kolumna wskazuje gdzie znajdzie się$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍.