Parametryczna reprezentacja prostych

- Możecie pomyśleć, że wszystko, co do tej pory robiliśmy na algebrze liniowej to trudniejszy sposób robienia rzeczy, które potraficie już zrobić. Już poznaliście wektory. Podejrzewam, że wiele z Was miało już do czynienia z wektorami podczas kursu wstępu do analizy, analizy lub fizyki. Lecz mam nadzieję, że w tym filmiku pokażę Wam coś, co będziecie robić na algebrze liniowej i czego jeszcze nigdy nie robiliście oraz że byłoby to bardzo trudno robić, gdybyście nie obejrzeli tych filmików. Dobrze, rozpocznę od innego sposobu robienia czegoś, co potraficie już robić. Pozwólcie, że zdefiniuję tutaj pewien wektor, zamiast go pogrubiać, będę go zapisywał ze strzałką na górze. Mój wektor zdefiniuję jako... Mogę pisać strzałkę na górze lub po prostu bardzo go pogrubiać. Zdefiniuję mój wektor, będzie on wektorem w R^2. Powiedzmy, że mój wektor to wektor [2,1]. Gdybym chciał go narysować w standardowym ułożeniu, wyglądałby tak. Idziemy dwie jednostki w prawo, jedną w lewo, właśnie tak. To jest, o tutaj, mój wektor v. A co gdybym Was zapytał, jakie są wszystkie możliwe wektory, które mogę stworzyć? Zdefiniujmy zbiór. Zdefiniuję zbiór s, który równa się wszystkim wektorom, które mogę stworzyć przez mnożenie v przez pewną stałą, zatem mnożę pewną stałą, pewien skalar, przez mój wektor v, a może żeby to trochę sformalizować, powiem, że takie c należy do zbioru liczb rzeczywistych. - Jaka byłaby graficzna reprezentacja tego zbioru? Jeśli narysujemy je wszystkie w położeniu standardowym, c może być dowolną liczbą rzeczywistą. Zatem gdybym je mnożył, c mogłoby równać się 2. Jeśli c=2, zrobię to tak. Jeśli wezmę nasz wektor razy 2, otrzymam wektor [4,2]. Narysuję go w położeniu standardowym, [4,2]. To tutaj. To ten wektor tutaj. Jest współliniowy z wyjściowym wektorem. Leżą na tej samej prostej, lecz jest 2 razy dłuższy. Teraz mógłbym narysować kolejny. Mógłbym pomnożyć nasz wektor v przez 1,5. Zrobię to innym kolorem. Może to będzie, co to będzie? To będzie [1.5*2,1.5], czyli [3,1.5]. Gdzie ten wektor mnie doprowadzi? Pójdę 1,5, potem pójdę 3, a później 1,5, dojdę właśnie tu. Mogę pomnożyć przez cokolwiek. Mogę pomnożyć 1,4999 przez wektor v i dojść właśnie tutaj. Mógłbym pomnożyć -0,001 przez wektor v. Zapiszę to. Mógłbym pomnożyć 0,001 przez nasz wektor v. Gdzie by mnie to doprowadziło? Otrzymałbym supermały wektor, o tutaj. Jeśli pomnożyłbym przez -0,01, dostałbym supermały wektor właśnie tutaj, skierowany w tym kierunku. Gdybym użył -10, dostałbym wektor skierowany właśnie tam. Zdajecie sobie sprawę, że gdybym chciał narysować wszystkie wektory w pozycji standardowej, wszystkie z nich mogłyby być reprezentowane przez jakąkolwiek liczbę rzeczywistą c, w końcu dostałbym - narysowałbym mnóstwo wektorów, które leżałyby wzdłuż tej prostej, ze zwrotem w tę stronę oraz wszystkie z przeciwnym zwrotem - mam nadzieję, że dobrze je narysuję - wzdłuż tej prostej, o tak. Myślę, że już rozumiecie. Zatem jest to zbiór wektorów współliniowych. Pozwólcie, że to zapiszę. - Jeśli spojrzymy na te wektory jako na wektory położenia, czyli wektor reprezentuje punkt przestrzeni R^2 - R^2 to po prostu nasz kartezjański układ współrzędnych, w każdej ćwiartce - jeśli spojrzymy na ten wektor jako na wektor położenia - pozwólcie, że to zapiszę - jeśli spojrzymy na niego jako współrzędne w R^2, wtedy ten zbiór, jeśli go zobrazujemy jako wiele wektorów położenia, będzie reprezentowany przez tą prostą. - Chcę, żeby to było jasne, ponieważ to w końcu prosta o nachyleniu 2. Jasne? Przepraszam, o nachyleniu 1/2. Mamy rzędną 1. Mamy rzędną 1, a odciętą 2. Lecz nie chcę za bardzo wracać do notacji z Algebry I. Jednak chcę zauważyć, że ta prosta o nachyleniu 2, przechodząca przez początek układu współrzędnych, czyli jeśli narysujemy wszystkie wektory zbioru w ich standardowej formie lub jeśli narysujemy je jako wektory położenia. Gdybym tego nie doprecyzował, nie zrobił tego zastrzeżenia, mógłbym narysować te wektory gdziekolwiek. Prawda? Ponieważ ten wektor [4,2] mógłbym narysować też tutaj. A potem stwierdzenie, że są współliniowe, nie miałoby dla Was zbyt wielkiego sensu. Myślę, że ich współliniowość jest dla Was bardziej sensowna, jeśli stwierdzimy: o, narysujmy je w położeniu standardowym. Wszystkie są zaczepione w początku układu, ich punkty zaczepienia są w początku układu, a ich końce wskazują współrzędne, które reprezentują. To właśnie mam na myśli, mówiąc o wektorach położenia. Nie muszą być koniecznie wektorami położenia, lecz na potrzeby tego wideo możemy tak ustalić. Teraz mogłem reprezentować tylko coś, co przechodzi przez początek układu i ma takie nachylenie. Zatem można niemalże zobaczyć, że ten wektor jakby reprezentuje swoje nachylenie. Chcielibyśmy go postrzegać jako wektor nachylenia, jeśli chcielibyśmy to połączyć z wiadomościami z Algebry I. A co gdybyśmy chcieli reprezentować inne proste o tym samym nachyleniu? Co gdybyśmy chcieli reprezentować tą samą prostą lub prostą równoległą, która przechodzi przez ten punkt, punkt (2,4)? Lub gdybyśmy myśleli w kategoriach wektorów położenia, moglibyśmy stwierdzić, że punkt jest reprezentowany przez wektor, a my nazwiemy go x. Jest reprezentowany przez wektor x. A ten wektor x jest równy [2,4]. Temu punktowi, tutaj. A co, gdybym chciał reprezentować prostą równoległą do niego, która przechodzi przez punkt (2,4)? Zatem chcę przedstawić tą prostą. - Narysuję go tak równolegle, jak tylko potrafię. Myślę, że to załapaliście, to działa tak samo w każdą stronę. Te proste są do siebie równoległe. Jak mogę przedstawić zbiór tych wszystkich wektorów, narysowanych w położeniu standardowym lub wszystkich wektorów, które narysowane w położeniu standardowym dałyby tą prostą? Możecie o tym myśleć w ten sposób. Jeśli jeden z wektorów reprezentujących tą prostą, jeśli zacznę od dowolnego wektora, który leżał na tej prostej i dodam do niego mój wektor x, wskażę punkt odpowiadający tej prostej, na której chcę być. Jasne? - Powiedzmy, że pomnożę wektor wejściowy przez -2, zatem -2 razy mój wektor v, ile to się równa? [-4,-2], czyli to ten wektor. Lecz jeśli dodałbym do niego x, gdybym dodał mój wektor x. Zatem gdybym pomnożył -2 razy mój wektor v, ale dodałbym do niego wektor x, zatem plus x. Dodaję do niego ten wektor [2,4], zatem przechodzę stąd 2 jednostki w prawo i 4 do góry, zatem przechodzę tutaj. Lub obrazowo mógłbym po prostu powiedzieć, że przejdzie tutaj. Zatem wylądowałbym w odpowiadającym punkcie, o tu. - Zatem gdy definiuję mój zbiór jako zbiór wszystkich punktów, które są po prostu wektorem v pomnożonym przez skalar, otrzymuję to coś, co przechodzi przez początek układu. Zdefiniuję teraz inny zbiór. Zdefiniuję zbiór L, może L jak linia prosta, który jest równy zbiorowi wszystkich wektorów, gdzie wektor x, mógłbym go pogrubić lub po prostu narysować nad nim strzałkę, plus pewien skalar - mógłbym użyć c, lecz użyję t, gdyż nazwę to parametryzacją prostej - zatem plus pewien skalar, t razy mój wektor v taki, że t może być dowolną liczbą rzeczywistą. Zatem czym on będzie? To będzie ta niebieska prosta. Gdybym chciał narysować wszystkie te wektory w położeniu standardowym, otrzymałbym moją niebieską prostą. Na przykład, jeśli odejmę 2, to jest minus 2, razy mój wektor v, dojdę tam. Jeśli wtedy dodam x, dotrę tam. Zatem ten wektor, który kończy się tutaj, jego koniec mieści się na tej prostej. Mogę z nim zrobić wszystko. Jeśli wezmę ten wektor, czyli pewien skalar razy mój wektor v i dodam do niego x, dostanę wektor, którego koniec, jeśli spojrzę na to jako na wektor położenia, jego koniec wskazuje pewne współrzędne na płaszczyźnie. Zatem wskaże ten punkt. Mogę więc dotrzeć do dowolnego z tych wektorów. To jest ten zbiór wektorów tutaj, a wszystkie te wektory zmierzają do punktu - w końcu zmierzają do punktu, do czegoś - jeśli narysuję je w położeniu standardowym, jeśli narysuję je w standardowej formie - zmierzają do punktu, do punktu na tej niebieskiej prostej. Moglibyście powiedzieć: "Hej, Sal, to był bardzo rozwlekły sposób zdefiniowania prostej". Mam na myśli, że robimy do na Algebrze 1, gdy po prostu mówimy, wiecie, y=mx+b. Określamy nachylenie poprzez określenie różnicy dwóch punktów, a potem robimy małe odejmowanie. A tego nauczyliśmy się w pierwszej czy drugiej gimnazjum. To było naprawdę proste. Dlaczego definiuję ten dziwny zbiór i każę Wam myśleć w terminach zbiorów i wektorów i dodawania wektorów? A powodem jest, że to jest bardzo ogólne. - To nieźle się sprawdzało w R^2. Zatem w R^2 to było świetne. Tzn. musimy się martwić tylko o iksy i igreki. Ale co z sytuacją, tzn. zauważcie, że na Waszych lekcjach algebry, Wasz nauczyciel nigdy nie powiedział Wam zbyt wiele, przynajmniej na tych, na które ja chodziłem, jak reprezentować proste w trzech wymiarach. Może na niektórych lekcjach tam się dochodzi, lecz na pewno nie powiedzieli Wam, jak reprezentować proste w 4 wymiarach lub w 100 wymiarach. A to właśnie chcę dla nas zrobić. Tutaj zdefiniowałem x i v jako wektory w R^2. Są wektorami dwuwymiarowymi, lecz mogę rozszerzyć je na dowolną liczbę wymiarów. Zatem abyście to lepiej zrozumieli, zróbmy jeszcze 1 przykład w R^2, co jest jakby problemem klasycznej algebry, gdzie musicie znaleźć równanie prostej. Lecz tutaj nazwiemy je definicją prostej. Załóżmy, że mamy 2 wektory. Załóżmy, że mamy wektor a, który zdefiniuję jako - powiedzmy, że jest to po prostu [2,1]. Jeśli więc narysuję go w położeniu standardowym, to [2,1]. To mój wektor, o tutaj. Załóżmy, że mam wektor b, zdefiniuję wektor b. Zdefiniuję go jako, nie wiem, zdefiniuję go jako [0,3]. Zatem mój wektor b, 0 - w ogóle nie przesuwam się w prawo i idę w górę. Zatem mój wektor b będzie wyglądał tak. Teraz powiem, że są to wektory położenia, które rysujemy w położeniu standardowym. Jeśli narysujecie je w położeniu standardowym, ich końce reprezentują pewne położenie. Zatem możecie niemal patrzeć na nie jako na współrzędne w R^2. To jest R^2. Wszystkie te osie współrzędnych to R^2. A co gdybym Was poprosił o parametryzację prostej przechodzącej przez te 2 punkty? Zatem właściwie chcę dostać równianie - jeśli myślimy w kategoriach Algebry 1 - chcę dostać równianie prostej przechodzącej przez te 2 punkty. - Zatem klasycznym sposobem znaleźlibyście nachylenie i całą resztę, a potem z powrotem byście to podstawili. Lecz zamiast tego możemy powiedzieć: spójrzcie, ta prosta przechodzi przez oba te punkty - moglibyście niemal powiedzieć, że oba te wektory leżą na - tak chyba będzie lepiej - oba te wektory leżą na tej prostej. Jaki wektor może być reprezentowany przez tą prostą? Lub nawet lepiej, jaki wektor, jeśli wezmę dowolny skalar - może reprezentować dowolny inny wektor na tej prostej? Zrobię to w ten sposób. Co gdybym wziął - tu mamy wektor b - co gdybym wziął wektor b-a? Nauczyliśmy się chyba w poprzednim filmie, że b minus a, otrzymacie ten wektor. Dostaniecie różnicę 2 wektorów. To jest wektor b minus wektor a. Pomyślcie o tym. Co muszę dodać do a, by dostać b? Muszę dodać b-a. Zatem jeśli mogę uzyskać wektor b-a, wiemy jak to zrobić. Po prostu odejmujemy wektory, a potem mnożymy wynik przez dowolny skalar, dostaniemy dowolny punkt tej prostej. Musimy uważać. Co się stanie, gdy pomnożymy t, jakiś skalar, przez nasz wektor, przez wektor b-a? - Co otrzymamy? Zatem b-a wygląda tak. Lecz jeśli mielibyśmy narysować go w położeniu standardowym - pamiętajcie, w położeniu standardowym b-a wyglądałoby jakoś tak. - Prawda? Miałby początek w 0, byłby równoległy do tego, a potem od 0 narysowalibyśmy go do końca. Zatem jeśli po prostu pomnożylibyśmy jakiś skalar przez b-a, dostalibyśmy punkty lub wektory leżące na tej prostej. Wektory leżące na tej prostej tutaj. Lecz nie tym mieliśmy się zajmować. Chcieliśmy znaleźć równanie, parametryzację, jeśli wolicie, tę prostą lub ten zbiór. Nazwijmy go zbiorem L. Zatem chcemy wiedzieć, czemu ten zbiór się równa. Zatem aby to osiągnąć, musimy zacząć od tego, co jest tą prostą tutaj i musimy ją przesunąć. Mozemy ją przesunąć albo prosto do góry, albo dodając do niej wektor b. Zatem możemy wziąć tą prostą i dodać do niej wektor b. Zatem dowolny punkt na niej miałby swój odpowiadający punkt tutaj. Zatem gdy dodacie wektor b, w końcu przesunie się w górę. To działa. Zatem możemy, powiedzmy, możemy dodać do niej wektor b. A teraz wszystkie te punkty dla dowolnego - t jest elementem zbioru liczb naturalnych, będą leżeć na tej zielonej prostej. Albo inną rzeczą, jaką mogliśmy zrobić, jest dodanie wektora a. Wektor a przeniósłby dowolny punkt stąd i przesunąłby w tę stronę. Tak? Dodalibyście wektor a. Każdym z tych sposobów otrzymacie zieloną prostą, na której nam zależało, zatem mogliśmy równie dobrze zdefinować ją jako zbiór wektorów a plus tą prostą, w końcu, t razy wektor b-a, gdzie t jest liczba rzeczywistą. Zatem moją definicją tej prostej mogłaby być dowolna z tych rzeczy. Moją definicją mojej prostej mógłby być ten zbiór lub ten zbiór. To wszystko wydaje się bardzo abstrakcyjne, lecz jeśli rzeczywiście macie do czynienia z liczbami, wszystko to staje się bardzo proste. Staje się zapewne jeszcze prostsze niż w Algebrze 1. Zatem to L, dla konkretnego a i b, wykombinujmy to. Moja prosta równa się - użyję po prostu pierwszego przykładu. To jest wektor b, czyli wektor [0,3]+t, razy wektor b-a. A co to b-a? 0-2=-2, 3-1=2, dla t będącego liczbą rzeczywistą. Jeśli wydaje się to nieco skomplikowaną definicją zbioru, mogę go zapisać jako coś, co możecie łatwiej rozpoznać. Jeśli chcę narysować punkty, jeśli to nazwiemy osią y, a to osią x oraz jeśli nazwiemy to współrzędną x, lub może bardziej poprawnie, to będzie współrzędną x, a to współrzędną y, wtedy stworzymy takie równanie. To właściwie jest nachylenia do osi x. - To jest współrzędna x, a to współrzędna y. A właściwie, jeszcze lepiej, nieważne, właściwie, będę tu bardzo ostrożny. To zawsze stanie się pewnym wektorem [l1, l2]. Tak? To jest zbiór wektorów, a jakikolwiek element tego zbioru wygląda jakoś tak. To mogłoby być l1. Zatem to jest współrzędna x, a to jest współrzędna y. - I żeby otrzymać to w formie, jaką już znacie, mówimy, że L jest zbiorem tych wektorów x plus t razy wektor b-a. Jeśli chcielibyśmy zapisać to w formie parametrycznej, możemy powiedzieć, gdyż to decyduje o naszej współrzędnej x, powiedzielibyśmy, że x=0+t*(-2) lub (-2)*t. A potem możemy powiedzieć, że y, ponieważ on decyduje o naszej współrzędnej y, y=3+t*2+2t. Zatem moglibyśmy przepisać pierwsze równanie jako x=-2t, y=2t+3. Zatem jeśli obejrzycie filmiki o równaniach parametrycznych, jest to po prostu tradycyjna definicja tej prostej. Możecie wciąż o tym myśleć: "Sal, to była strata czasu, to było pokręcone". Musisz zdefiniować te zbiory i to wszystko. Lecz teraz pokażę Wam coś, co pewnie... cóż, jeśli nie robiliście tego wcześniej, lecz myślę, że to zawsze prawda. Raczej tego nie widzieliście podczas tradycyjnych lekcji algebry. Powiedzmy, że mam 2 punkty i teraz będę się poruszał w trzech wymiarach. Powiedzmy, że mam 1 wektor. Nazwę go po prostu punktem 1, bo są one wektorami położenia. Nazwiemy go pozycją 1. Działamy w trzech wymiarach. Wymyślmy jakieś liczby: [-1, -2, -7]. Powiedzmy, że mam punkt 2. Znowu, działamy w trzech wymiarach, więc musicie określić trzy współrzędne. To może być x, y i z. Punkt 2, nie wiem... Niech będzie [0,3,4]. A co gdybym chciał znaleźć równanie prostej przechodzącej przez te 2 punkty w R^3? Zatem to jest R^3. - Cóż, przed chwilą powiedziałem, że równanie tej prostej - więc nazwę je, lub zbiór tej prostej, nazwę je L. Będzie on równy - moglibyśmy po prostu wybrać jeden z nich, mógłby to być P1, wektor P1, wszystkie one są wektorami, bądźmy tu ostrożni. Wektor P1 plus pewien dowolny parametr t, t mogłoby być tym razem takie, jak uczycie się, gdy pierwszy raz poznajecie równania parametryczne, razy różnicę tych dwóch wektorów, razy P1, a nie ma znaczenia, w jakiej kolejności. Zatem to przyjemna rzecz. P1-P2. Mogłoby być P2-P1, gdyż to może przyjmować wartości dodatnie lub ujemne - gdzie t jest elementem zbioru liczb rzeczywistych. Zastosujmy to do tych liczb. Zastosujmy to tutaj. Ile jest P1-P2? P1-P2=... pozwólcie, że zrobię tu pauzę. P1-P2=... -1-0=-1, 2-3=-1, 7-4=3. Zatem to jest ten wektor. Więc nasza prosta może być opisana jako zbiór wektorów, które narysowane w położeniu standardowym byłyby tym zbiorem wektorów położenia. Byłby to wektor P1, byłby to - zaznaczę na zielono - byłby to -[1,2,7]. Mogłem wpisać tu P2, tak samo prosto - plus t*[-1,-1,3], gdzie t jest elementem zbioru liczb rzeczywistych. To też może Was nie usatysfakcjonować. Zapytacie: "Jejku, jak ja to narysuję w 3 wymiarach? Gdzie są moje iksy, igreki, zety?". A jeśli chcecie się zatroszczyć o iksy, igreki i zety, powiedzmy, że to jest oś z. To jest oś x, a to jest oś y. To tak jakby przechodzi przez naszą tablicę w ten sposób, więc oś y wychodzi na zewnątrz o tak. - Więc co możemy zrobić, a ja właściwie tego nie narysuję, więc określeniem współrzędnej x, po prostu nasza konwencja, to będzie to wyrażenie. Zatem możemy napisać, że x - pozwólcie, że to zapiszę. Zatem to wyrażenie określi nam naszą współrzędną x. Możemy więc zapisać, że x= -2 - ostrożnie z kolorami - (-1)+(-1)*t. - To nasza współrzędna x. Nasza współrzędna y będzie określona przez tą część naszej sumy wektorów, ponieważ to są współrzędne y. Zatem możemy powiedzieć, że współrzędna y równa się - zapiszę to po prostu tak: 2+(-2)*t. I w końcu nasza współrzędna z jest określona przez to, t pojawia się dzięki t*3 - lub mógłbym po prostu wstawić t w to wszystko. Zatem ta współrzędna z jest równa 7+t*3 lub po prostu +3. I właśnie tak otrzymujemy 3 równania parametryczne. A gdy robiliśmy to w R^2, miałem równanie parametryczne, lecz nauczyliśmy się na Algebrze 1, że mamy jedynie y określone przez x. Nie musimy mieć równania parametrycznego. Lecz jeśli działamy w R^3, jedynym sposobem zdefiniowania prostej jest równanie parametryczne. Jeśli mamy po prostu równanie z iksami, igrekami i zetami, jeśli mam tylko x+y+z= jakaś liczba, to nie jest prosta. Powiemy więcej o tym w R^3. To jest płaszczyzna. - Jedynym sposobem zdefiniowania prostej lub krzywej w trzech wymiarach, jeśli chciałbym opisać drogę muchy w trzech wymiarach, musi to być równanie parametryczne. Lub jeśli wystrzelę pocisk w trzy wymiary i poleci on linią prostą, musi to być równanie parametryczne. Zatem te - myślę, że tak je można nazwać - są one równaniami prostej w trzech wymiarach. Zatem mam nadzieję, że Wam się to spodobało. I myślę, że to jest pierwsze wideo, dzięki któremu docenicie, że dzięki algebrze liniowej możemy rozwiązywać problemy lub zajmować się kwestiami, których nigdy wcześniej nie widzieliśmy. I nie ma powodu, dla którego mielibyśmy zatrzymać się na trzech, trzech współrzędnych, tutaj. Moglibyśmy to zrobić z 50 wymiarami. Moglibyśmy zdefiniować prostą w 50 wymiarach - lub zbiór wektorów definiujący prostą, na której leżą 2 punkty, w 50 wymiarach - co jest bardzo trudne do wyobrażenia, lecz naprawdę możemy się tym zająć matematycznie,. - -