2003 AIME II zadanie 3

Zdefiniujmy „dobre słowo" jako ciąg liter, który składa się tylko z liter A, B i C. Nie wszystkie z nich muszą się pojawić w tym ciągu. I w którym B nigdy nie następuje bezpośrednio po A. C nigdy nie następuje bezpośrednio po B a A nigdy nie następuje od razu po C. Jak dużo istnieje 7-literowych „dobrych słów”? Pomyślmy nad tym chwilkę. Więc mamy słowa wyłącznie z A, B i C. Mogłyby to być też same A, same B i same C, ponieważ nie wszystkie muszą się pojawić. I A nigdy nie pojawia się bezpośrednio przed B. Więc po A może być wyłącznie C albo inne A. Po B nigdy nie ma C co oznacza, że po B może być jedynie A albo inne B. I bezpośrednio po C nigdy nie ma A. Więc po C może być wyłącznie inne C i B. Więc jak dużo jest 7-literowych „dobrych słów”? Pomyślmy po prostu o ich miejscach. Mamy siedem liter… 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 liter. Nie ma żadnych ograniczeń co do pierwszej litery. Ponieważ nie następuje po żadnej innej. Więc może to być A, B albo C. Są więc trzy pasujące litery na to miejsce. Więc są trzy pasujące litery na to miejsce. Ale nie ważne jaka to litera, ile jest opcji na drugą literę o tutaj? Cóż, jeśli to było A, to druga litera musi być to A albo C ponieważ B jest zabronione. Gdyby było to B, drugą literą mogłoby być B albo A, ponieważ C jest zabronione. Gdyby pierwsze było C, drugą litera musiałaby być B albo C. Więc nie ważne jaka jest pierwsza litera, druga ma tylko dwie opcje. Mogą być tylko dwie możliwości. Inny sposób by o tym pomyśleć: jest jedna litera, nie ważne jaka ona jest, zawsze jedna litera jest wykluczana. Więc zostają tylko dwie opcje. Tak samo działa to tutaj. Tu będziemy mieli jakąś literę i nie ważne jaka litera jest o tutaj, wykluczymy zawsze jedną opcję. Więc zostają tylko dwie pasujące litery jakie możemy dać tutaj, nie zależnie od litery tam. I używając tej samej logiki, tylko dwie możliwości tu, tylko dwie możliwości tu, tylko dwie możliwości tu i tylko dwie możliwości tu. Więc jak dużo opcji w sumie mamy? Cóż, 3 razy 2 razy 2 razy 2 razy 2 razy 2 razy 2. To jest 1, 2, 3, 4, 5, 6, dwójek. Więc to jest równe 3 razy 2 do potęgi szóstej. Czyli 3 razy 2 to 6. to 32 razy 2 to 64, które jest równe 180 dodać 12, które jest równe 192. Są 192 możliwe 7-literowe „dobre słowa”, gdzie „dobre słowo” zdefiniowane jest powyżej.