2013 AMC 10 A #22 / AMC 12 A #18 - film z polskimi napisami

Mamy tutaj geometrię przestrzenną, więc musimy przeczytać uważnie i spróbować wyobrazić sobie co się dzieje, ponieważ rysowanie w przestrzeni jest dość trudne Mamy 6 kul o promieniu 1. Ich środki leżą w wierzchołkach sześciokąta foremnego o boku o długości 2. Więc zacznijmy z sześciokątem foremnym. Ułóżmy kule tak, aby środek każdej z nich znajdował się na każdym wierzchołku sześciokąta. Jako, że promień każdej z kul to 1, bok sześciokąta to dwa, więc oznacza to, że każda z kul będzie styczna z dwoma jej sąsiadami(kulami). Więc zacznijmy z sześciokątem, 6 kulami, każda z nich styczna do dwóch jej sąsiadów. Teraz pojawia się kolejna, większa kula, której środek znajduje się w środku sześciokąta, tak, że jest ona styczna do każdej z małych kul. Teraz każda mała kula będzie stykać się z wnętrzem dużej kuli. Następnie pojawia się ósma kula, która jest styczna do sześciu małych kul zewnętrznie. Więc mamy 6 małych kul wokół sześciokąta, a nową, ósmą kulę, położymy na górze tych sześciu kul. 8 kula, na górze będzie dotykała większej(siódmej) kuli. Teraz, mamy przynajmniej jakiekolwiek wyobrażenie, co się tu dzieje oraz chcemy znaleźć promień ósmej kuli, która znajduje się na górze. Rzeczą, którą lubię robić z problemami przestrzennymi jest zrobienie dwuwymiarowego przekroju poprzecznego, aby zmienić problemy przestrzenne w problemy na płaszczyźnie. Więc, jako, że teraz mamy zadanie z tymi wszystkimi kulami, chcę przeprowadzić mój przekrój poprzeczny przez środki tych kul i punkty styczne, w każdym miejscu gdzie mamy styczne kule. Więc teraz, dobrym miejscem do zaczęcia jest oczywiście sześciokąt. Zrobimy przekrój poprzeczny w płaszczyźnie, w której leży ten sześciokąt, ponieważ wtedy przejdzie przez środki siedmiu kul i wszystkich punktów stycznych. Więc zacznijmy rysując sześciokąt foremny. Musicie ze mną teraz wytrzymać. Na teście, oczywiście macie linijkę, kątomierz, cyrkiel, więc możecie narysować perfekcyjny rysunek. Pewnie potraficie też narysować od ręki lepszy diagram niż ja potrafię. Kiedy wykonujemy przekrój poprzeczny naszych kul, rysujemy koła. Musimy zawrzeć w przekroju wszystkie punkty styczności. Oczywiście, musimy także narysować dużą kulę. Jej przekrój jest kołem, które dotyka wszystkie z małych kul. dobrze, więc zaczynajmy. To jest przekrój poprzeczny sześciokąta. Teraz możemy oznaczyć niektóre długości. Wiemy, że promienie tych małych kul są równe 1. Fajną sprawą, gdy mamy do czynienia z sześciokątem formenym jest to, że możemy je rozdzielić na trójkąty równoboczne. Wię to jest trójkąt równoboczny. To jest środek sześciokąta i dużego koła, więc mogę narysować odcinek łączący go z punktem styczności małej i dużej kuli. Wiemy, że to jest jeden, ponieważ to promień małej kuli. To jest 1. Jest to trójkąt równoboczny, więc ten bok ma taką samą długość jak ten. Więc, to jest równe 1, a teraz wiemy, że promień największej kuli to 3. Mamy już promień największej kuli. Mamy promienie małych kul. Jedyną rzeczą, która nam została jest ta ósma kula, którą umieściliśmy na górze. Oczywiście nie jest ona narysowana na tym rysunku. One jest właśnie tu, na górze. Będziemy potrzebować innego przekroju, any znależć tą kulę. Oczywiście musimy wybrać przekrój, który przechodzi przez środek tej kuli. Chcemy, aby przeszedł przez punkty styczności oraz i przez środki niektórych z małych kul oraz oczywiście przez środek naszego całego diagramy, czyli środek dużej kuli. Więc przekrój zrobimy właśnie w tym miejscu i będzie on wyglądał tak. Mamy tu wciąż nasze małe kule i naszą dużą kulę, której promień to 3. Nie bedę się przejmował tym co się tu dzieje, ponieważ nie będę upokorzony tym jak źle rysuję koła; więc ty mamy kolejne koło. To jest nasza ósma kula, ta rzecz w kształcie jajka. To jest koło. Musicie użyć wyobraźni. To jest właśnie to koło, którego promień chcemy znaleźć. Właśnie tutaj jest nasz poszukiwany promień. Oczywiście wydłużymy ten odcinek, promień, do środka dużej kuli. Wiemy, że ta długość - to r. Wiemy, że ta długość to 3 minus r. Więc możemy narysować tutaj trójkąt. Teraz musicie użyć wyobraźni, ale ten przekrój przechodzi przez punkt, styczności i te dwa środki Jeśli połączymy te środki przejdziemy przez punkt styczności. Właśnie dlatego, kiedykolwiek mamy dwa styczne koła, dobrze jest połączyć ich środki. Wiemy, że jest to 1, ponieważ to jest promień małej kuli. To jest r, a ten bok? Więc jest to 1. Wcześniej, dowiedzieliśmy się, że to także jest 1. Więc mamy tutaj trójkąt prostokątny oraz klasyczną strategię rozwiązywania problemów geometrycznych - zbudowanie trójkąta prostokątnego i użycie twierdzenia Pitagorasa. To właśnie zrobimy właśnie teraz, aby skończyć zadanie. Mamy 3 minus r podniesione do kwadratu plus 2 podniesione do kwadratu które równa się 1 plus r podniesione do kwadratu. Teraz podnieśmy to do kwadratu. Mamy r podniesione do kwadratu minus 6r plus 9 plus 4 równe r podniesionemu do kwadratu plus 2r plus 1. Przenieśmy jedynkę na drugą stronę, gdzie teraz 13 minus 1 to 12. Przenieśmy 6r na drugą stronę. 12 równa się 8r a to daje nam, że r jest równe 3/2. Wracamy do zadania. Znaleźliśmy, odpowiedź brzmi 3/2, skończone.