Łamigłowka o zliczaniu dróg w 3 wymiarach - film z polskimi napisami

Sprawdźmy, czy zagadkę o liczeniu ścieżek można rozszerzyć na trzy wymiary. Powiedzmy, że mamy kostkę 3x3. Wystarczy 3x3, inaczej matematyka się nam skomplikuje. Narysuję to tak. Nie będę używał narzędzia linii... a może powinienem? No, zobaczmy. Przód kostki wygląda tak. To jest przód. I kostka idzie w głąb w ten sposób. Tu jest koniec. Idzie tak. To kostka 3x3, jak kostka Rubika. Mogłem narysować to nieco lepiej, ale myślę, że tak wystarczy. Dobra. Mamy kostkę 3x3. Nasz cel to dotrzeć z tego tylnego pola po lewej, tej kosteczki z tyłu, po lewej, na górze, i dotrzeć do tej kosteczki z przodu, na dole, z prawej. To nasz cel. Zamaluję je na żółto. To jest kosteczka docelowa. I możemy iść do przodu: z każdej kosteczki możemy wykonać ruch w trzech kierunkach, czyli możemy zrobić trzy ruchy. Możemy iść do przodu, czyli jakby się zbliżać. Możemy iść w dół. Albo możemy iść w prawo. Narysuję to tutaj. Możemy iść z tej kosteczki do tamtej kosteczki. I tak jak w problemie w dwóch wymiarach, nie można się cofać. Nie można zejść sobie tutaj, a potem pójść tutaj. To znaczy, możesz pójść tutaj, a potem tutaj, ale potem nie możesz już wejść na górę. Więc z każdym krokiem mamy zbliżać się do celu, od tej kosteczki na górze po lewej z tyłu, aż do tej na dole z przodu po prawej. I pojawia się to samo pytanie: ile istnieje różnych ścieżek, które pozwolą nam dostać się stąd - tu? Teraz możecie zrobić pauzę i spróbować sami, bo za chwilę wyjaśnię, jak to zrobić. Po pierwsze, kiedy będziecie próbowali to rozwiązać, nagle zorientujecie się, że trudno to sobie wyobrazić. Nawet jakbym miał to narysować, musiałbym rysować w tę i z powrotem. To znaczy, jak niby mam sobie wyobrazić taką trójwymiarową kostkę? Najlepszy sposób to wyobrażenie sobie każdej warstwy oddzielnie. Więc tak zróbmy. To będzie warstwa w kolorze różowym. Warstwa numer 1. Więc to ta różowa warstwa. I za chwilę zobaczycie, co zamierzam zrobić. To będzie warstwa fioletowa. I na końcu - warstwa pomarańczowa. To jest warstwa pomarańczowa. I teraz możemy każdą z warstw narysować oddzielnie. Więc najpierw narysujmy warstwę różową. Będzie ona wyglądała tak. I teraz użyję narzędzi... nie, nie tego. Tego drugiego. Warstwa różowa. Narysuję tu kilka kwadracików. O tak, i tak, i tak, i tak. Druga była warstwa fioletowa. Narysujemy ją. Fioletowa warstwa wygląda mniej więcej tak. Wyobraźcie sobie, że kroję kostkę na warstwy, i patrzymy na nią z góry. O to w tym chodzi. I pomoże nam to zwizualizować problem. Więc warstwa fioletowa wygląda tak. I na koniec, warstwa pomarańczowa wygląda tak. Jesteśmy prawie gotowi, by zacząć rozwiązywanie problemu. Wystarczy. Aby upewnić się, że rozumiemy tę wizualizację, ta warstwa na górze, nazwana warstwą 1, może to też być prostopadłościan nr 1, to jest warstwa 2, więc napiszę tu dwójkę. Nie chcę, żeby się pomieszało ze ścieżkami, więc piszę bardzo małe cyferki. A to jest warstwa 3, albo poziom 3. Właśnie tak. I aby upewnić się, że rozumiecie, ten róg tutaj to nasz punkt wyjścia. Jest tutaj. Tak? Bo to jest cała góra, więc to jest lewa tylna strona górnej warstwy. A punkt końcowy, po prawej na dole, jest tu. Więc nasz problem z: Jak dotrzeć stąd - tu?, zmienił się w: Jak dotrzeć stąd - tu? Zacznijmy od warstwy. Jak wiele dróg prowadzi do tego punktu? No cóż, mogę iść tylko stąd, prosto po warstwie, o tak. Więc jest tylko jedna ścieżka. Ten ruch to ten sam, co ten. Pójście z tej kosteczki na tę kosteczkę. Więc jest jeden sposób na dotarcie tutaj. Tak samo, jak tutaj. I podobnie, mogę pójść tu, czyli pójść o krok dalej. Więc jest tylko jeden sposób na dotarcie tutaj. I to jakby iść stąd - tu. Kierując się dalej tą samą logiką, mogę pójść o jeden krok w prawo. To jedyny sposób na dotarcie tutaj. Albo mogę pójść o dwa w prawo. I to jedyny sposób na dotarcie tutaj. A teraz, jeśli oglądaliście łamigłówkę o znajdowaniu ścieżek w dwóch wymiarach, wiecie już, że tutaj można dotrzeć na dwa sposoby. I logicznie rzecz biorąc (narysuję to), będzie to wyglądało tak. Raz, dwa. I to tak, jakby iść tutaj: raz, dwa. Chociaż tutaj to łatwiej sobie wyobrazić. Ale ogólnie chodzi o to, że, aby wiedzieć, ile jest ścieżek do każdego z kwadratów, pomyślcie o kwadratach, które do nich prowadzą, i jak wiele ścieżek prowadzi do tych dwóch kwadratów? A potem je sumujemy. I idąc dalej tym tropem - są dwa sposoby, by dotrzeć tutaj (to nasza komórka), trzy sposoby, by dotrzeć tutaj, bo dwa plus jeden to trzy, jeden plus dwa to trzy, a trzy plus trzy to sześć. Więc jest sześć sposobów dotarcia do tej kosteczki tutaj, z tej. Jak na razie nie różni się to zbytnio od problemu z dwuwymiarowej łamigłówki. Ale zaraz zacznie się robić ciekawie. Więc ile sposobów (rysowałem na żółto, ale powinienem rysować w kolorze warstwy), ile jest sposobów dotarcia do tej kosteczki tutaj? To jest to pole tutaj. Dobra, zaczynam tu, i mogę po prostu iść w dół. Jest tylko jeden sposób. Więc idę w dół. Jest tylko jedna droga. Rozszerzmy to. Jest jedna droga tutaj, jeśli idę prosto w dół, więc jest też jedna droga dotarcia do tego pola. Znowu idę prosto w dół. Więc tutaj też jest jedna droga. Mam nadzieję, że rozumiecie wizualizację. To jest najniższy poziom. I jest tylko jedna droga. Idziemy stąd prosto w dół tutaj, i prosto w dół tutaj. I to jedyny sposób dostania się tam. Niech będzie. I teraz robi się ciekawie. Ile jest sposobów dotarcia do tego pola? W naszym poprzednim przykładzie, w dwóch wymiarach, był tylko jeden sposób. Ale teraz możemy iść z tego pola, albo możemy schodzić z góry. A gdzie jest góra? O tutaj. Więc dodajemy tę komórkę do tej komórki, jeden plus jeden to dwa, więc są dwie drogi. A ile jest dróg do tego pola? Nawet tego nie widzimy. To jest jakby z tyłu w środku kostki. Ile jest dróg tutaj? Cóż, z tej strony są dwie ścieżki, poza tym mogę zejść z góry. Więc dwa plus jeden to trzy. Ile jest dróg tutaj? Jedna z tyłu. Jedna z góry. To już dwie. I widzicie teraz nieco symetrii. A ile dróg jest tu? Tu są już dwie jeśli pójdziemy prosto. Te dwie w tę stronę. I jedna, jeśli idziemy z góry. To już dwie, a jesteśmy na tym polu. I co jeśli chcemy wiedzieć, ile jest dróg na to pole? Są dwie drogi stąd. I jedna z góry. Więc trzy. A tutaj, ile jest dróg do tego pola? Są trzy. Mogę iść stąd, stąd, albo z góry. Więc mamy dwa plus dwa plus dwa, czyli sześć. Tak samo tutaj, mamy sześć plus trzy to dziewięć. I mogę też iść z góry. Stąd. Więc tutaj mamy dwanaście ścieżek. I idąc dalej tym tropem, ile mamy ścieżek na to pole? W tej samej warstwie jest dziewięć. Sześć plus trzy to dziewięć. Poza tym możemy iść z góry, a to daje już dwanaście. I w końcu, ile jest ścieżek do tego pola, czyli tego tutaj? Jest dwanaście ścieżek do tego pola, mogę iść każdą z nich. Dwanaście ścieżek od tyłu, więc to już 24. I sześć ścieżek z góry. Więc dwanaście plus dwanaście to 24, plus sześć to 30. Myślę, że widzicie już wzór. Jak dużo jest dróg na to pole? Więc mamy jeden plus dwa, to trzy. Ile jest dróg na to pole? Trzy plus trzy, czyli sześć. A na to pole? Jedna tutaj, dwie z góry. Czyli trrzy. A tutaj? Trzy z tyłu plus trzy z góry. To sześć. Tutaj, trzy plus trzy to sześć. Można też iść z góry, więc znowu sześć. Razem to dwanaście. A ile jest dróg na to pole? Dwanaście plus sześć to osiemnaście. Ale jest jeszcze dwanaście ścieżek z góry. Osiemnaście plus dwanaście to trzydzieści. I dalej tym tropem, 18 ścieżek tutaj, z tych dwu pól. Mogę też iść z góry, czyli trzydzieści. A ile jest dróg na to ostatnie pole? Mamy 30 z tej strony, z tej strony, 30 zza tego pola, To 60. I jeszcze 30 ścieżek z góry. Więc jest 90 ścieżek. Mógłbym to napisać, ale nie widać. 90 ścieżek z tego pola tutaj do tego pola tutaj. W poprzednim filmiku odniosłem się do dwumianu Newtona. A tutaj pozostawię wam zastanowienie się, jakie może być odniesienie dla trzech wymiarów. I podam słowo, którego pewnie nie słyszeliście na lekcjach matematyki, bo jest zbyt trudne. Pomyślcie o sformułowaniu trójmianu, który pomoże wam mnożyć rzeczy typu x plus y plus z do n-tej potęgi. Pomyślcie o tej kostce oraz o większej kostce. To jest kostka trzy na trzy na trzy. Ale pomyślcie, że to jest, wiecie, kostka n na n na n. I potem zacznijcie podnosić liczby do dowolnych potęg. Pomyślcie nad tym. Tak sobie myślałem, że to ciekawy problem wizualizacyjny, który tak naprawdę nie jest wcale trudniejszy od poprzedniego. Właściwie, zanim was opuszczę, podam wam ogólną regułę. Jest ona całkiem użyteczna przy testach standardyzowanych albo grach logicznych. Jeśli próbuję dotrzeć do tego pola, i powiedzmy, że jest na to ileśtam sposobów, muszą mieć kierunek, nie będę wchodził w teorię grafów, ale muszą mieć kierunek. I nie możemy iść wokół, bo wtedy mielibyśmy nieskończoną liczbę sposobów dotarcia do konkretnego punktu. i powiedzmy, że jest x sposobów na dotarcie tutaj, y sposobów na dotarcie tutaj, z sposobów na dotarcie tutaj, a sposobów na dotarcie tutaj. Wracamy do początku alfabetu. I to jest tylko część większego grafu. Ten graf mógłby mieć wiele połączeń, a my jesteśmy tutaj. Te wszystkie punkty węzłowe łączą się z tym. Ogólna zasada, której nauczyliśmy się w dwóch ostatnich łamigłówkach, to: jeśli chcę dostać się do tego punktu, to mogę iść stąd, stąd, stąd lub stąd, i muszę to dodać. Więc jeśli idę stąd, to mam x dróg dotarcia przez ten punkt, y dróg przez ten punkt, z dróg przez ten punkt, a dróg przez ten punkt. Więc wszystkich dróg do tego punktu jest x plus y plus z plus a. I tak naprawdę, jeśli ktoś z was chce zostać prawnikiem, to będzie miał do czynienia właśnie z takimi problemami. Naprawdę są takie zadania na egzaminach do szkół prawniczych, choć może nie są tak skomplikowane jak nasz problem. Ale musicie znać tę regułę. Mam nadzieję, że się wam podobało. HEJ! Chcecie zagrać w Roblox?