Łamigłówka o włączaniu i wyłączaniu żarówek - film z polskimi napisami

Powiedzmy, ze mamy 100 żarówek. Powiedzmy, ze mamy 100 żarówek. Wlasciwie to je tutaj narysuję. Zatem mam jedna zarówkę. i drugą, i całe 100. 100 żarówek. I to, co zamierzam zrobic - właściwie nawet zanim zacznę je włączać i wyłączać, powiem Wam, że wszystkie sa wyłączone. Zatem zaczynamy od wyłączonych. Zatem zaczynamy od wyłączonych. Następną rzeczą, którą zrobię, będzie ponumerowanie tych stu żarówek. Ponumeruję je od 1 do 100. Więc pierwsza żarówka to żarówka nr 1. Druga to żarówka nr 2, i tak dalej aż do 100. I co teraz zrobię - najpierw włączę każdą żarówkę. Więc jeśli wszystkie zechcą zadziałać, to je zapalę. Więc pozwólcie, że to zrobię. Moje pierwsze podejście. Nazwijmy je podejściem nr 1. W podejściu nr 1, włączę te wszystkie żarówki. Pstryk, pstryk, pstryk. Wszystkie zostaną włączone. Pstryk. W podejściu nr 2 zamierzam przełączyć co drugą żarówkę. Więc na przykład powiem sobie, OK, nie przełączę żarówki nr 1. Przełączę żarówkę nr 2. Więc żarówka nr 1 będzie nadal włączona. Żarówka nr 2 będzie wyłączona. Żarówka nr 3 będzie włączona. Żarówka nr 4 będzie wyłączona. I tak dalej, każda żarówka, której numer jest wielokrotnością 2 będzie włączona. Więc żarówka nr 100 będzie przełączona, więc też będzie wyłączona. Potem - zignorujcie to - Przełączę co trzecią żarówkę. Co się wtedy stanie? Ta tutaj - pozwólcie, że zmienię kolor - - ta będzie nadal włączona. Ta będzie nadal wyłączona. A trzecią przełączę. Była włączona, więc zostanie wyłączona. Czwarta będzie nadal wyłączona, bo jej nie dotykam, Piąta będzie jest włączona i nadal będzie. Szósta żarówka, którą wyłączyliśmy, znowu zostanie włączona. Myślę, że łapiecie już, o co chodzi. Co trzecia żarówka, albo patrząc na liczby na żarówkach - - każda żarówka, której numer jest wielokrotnością 3, będzie przełączona. Jeśli będzie wielokrotnością i 2, i 3, to za pierwszym razem będzie włączona, a potem za drugim razem wyłączona. Ale myślę, że wiecie, o co chodzi. Zamierzam zrobić 100 takich podejść. Przy pierwszym podejściu włączam każdą żarówkę. Wszystkie były wyłączone, więc zostaną włączone. Przy drugim podejściu przełączam co drugą żarówkę. Przy trzecim podejściu przełączam co trzecią, czyli taką, której numer jest wielokrotnością 3. I moje pytanie brzmi: po 100 podejściach, ile żarówek będzie nadal włączonych? Albo ile jest włączonych, i tyle? Albo ile jest włączonych, i tyle? I to jest łamigłówka. Jak wymyślić, ile spośród 100 będzie włączonych? Powinniście móc rozwiązać to w swoich głowach. Nie musicie robić arkusza w Excelu i naprawdę zaznaczać żarówek włączonych i wyłączonych. Pierwsze pytanie to: ile spośród nich będzie włączonych po 100 podejściach? Dla ścisłości - - jakie będzie setne podejście? Cóż, przełączę co setną żarówkę. Więc niezależnie od tego, w jakim stanie była ta żarówka, Po prostu ją przełączę. Jeśli była wyłączona, włączę ją. Jeśli była włączona, wyłączę ją. Pierwsze pytanie to: ile spośród żarówek będzie włączonych po 100 podejściach? A pytanie dodatkowe: które z nich będą włączone? Oto jest pytanie. Zatrzymajcie filmik, jeśli nie chcecie odpowiedzi. I spróbujcie to rozwiązać. Nie wydaje mi się, żeby było to czasochłonne. Ale zaraz dam wam odpowiedź. Albo zacznę od paru podpowiedzi. Kiedy wiemy, że żarówka jest przełączana? Jeśli jesteśmy przy podejściu drugim, (nie chcę powiedzieć: włączę, bo może już być włączona) przełączę każdą żarówkę, której numer dzieli się przez 2. A przy trzecim podejściu, włączę każdą żarówkę, której numer dzieli się przez 3. Więc co robię przy każdym podejściu? Przy podejściu numer n - to podpowiedź - co wtedy wiem? Wiem, że każda żarówka, która na numer, którego dzielnikiem jest n, zostanie przełączona. Więc wiemy, że przełączamy żarówkę, jeśli n jest dzielnikiem numeru żarówki. jest dzielnikiem numeru żarówki. I to taki wymyślny sposób na powiedzenie: jeśli jesteśmy przy podejściu 17., to przełączamy wszystkie wielokrotności 17. Mógłbym też powiedzieć: wiem, że przełączę żarówkę nr 51, bo 17 jest dzielnikiem 51. I to właśnie mówi nam, że przełączymy jedną z tych żarówek, jeśli numer podejścia jest dzielnikiem numeru tej żarówki. I na przykład, spójrzmy na żarówkę nr 8. Oto żarówka nr 8. Kiedy zostanie przełączona? Przy podejściu nr 1, na pewno ją włączymy. Przy podejściu pierwszym zostanie włączona. Przy drugim zostanie wyłączona. Wiem to dlatego, że 2 jest dzielnikiem 8. Podejście trzecie - nic się nie stanie. Przy podejściu trzecim nie stanie się nic, bo 8 nie jest wielokrotnością 3. Podejście 4. Zostanie przełączona. Będzie znów włączona. Następny raz dotkniemy tej żarówki przy podejściu 8. i wtedy ją znów wyłączymy. I za każdym razem, kiedy numer podejścia jest dzielnikiem numeru żarówki, przełączymy ją. Jak widać, aby na samym końcu była włączona, musi mieć nieparzystą liczbę dzielników. To interesujące. Aby żarówka była włączona, musi mieć nieparzystą liczbę dzielników. To interesujące pytanie: Jakie liczby mają nieparzystą liczbę dzielników? Jest to coś, czego moim zdaniem powinni uczyć w szkole, a nie robią tego. Ale to interesujący rodzaj teorii liczb. Jest prosty, ale ciekawy do zastanowienia. Jakie liczby będą takimi? Spróbujmy wypisać dzielniki pierwszych liczb. Oto dzielniki 1. Cóż - 1, jedynym dzielnikiem jest 1. Więc 1 będzie włączona. 1 ma nieparzystą liczbę dzielników. To oznacza, że 1 będzie włączona. Bo przełączymy ją tylko za pierwszym podejściem. To ma sens. Dwa. Jakie są dzielniki 2? Mamy 1 i 2. Więc to jest liczba parzysta. Włączymy ją za pierwszym razem, a potem wyłączymy za drugim razem. A potem w ogóle jej nie dotkniemy. Więc będzie wyłączona. Trzy. Dzielniki to 1 i 3. Cztery. Dzielniki to 1, 2 i 4. Interesujące. Mamy 3 dzielniki. To liczba nieparzysta. Więc nr 4 będzie włączona. Włączymy ją przy pierwszym podejściu, potem ją wyłączymy przy drugim podejściu, ale przy czwartym podejściu znów ją włączymy. Dalej. Pięć. Dzielniki 5 to 1 i 5. Sześć. Dzielniki to 1, 2, 3 i 6. Parzysta liczba, więc będzie wyłączona na sam koniec. Siedem. 1 i 7. Osiem. To przed chwilą omawialiśmy. 1, 2, 4 i 8. Będzie wyłączona. 9. Zobaczmy. 9. Dzielniki to 1, 3 i 9. Interesujące. Znowu mamy nieparzystą liczbę dzielników. Więc żarówka nr 9 też będzie włączona na sam koniec. Dalej. Właściwie robiłem to na obozie dla umysłów ścisłych z niektórymi dzieciakami. I od razu powiedziały, że odległość między 1 i 4 to 3. Odległość między 4 i 9 to 5. I być może odległość między 9 i następną liczbą to 7? Wzrasta o kolejne liczby nieparzyste. Ile to 9 plus 7? Sprawdźmy. 16. Jakie są dzielniki 16? 1, 2, 4, 8 i 16. Interesujące. To działa, nie? Od 9 do 16 wzrosło o 7, od 4 do 8 wzrostło o 5, więc wydaje się, że mamy wzór. Ale jest też coś bardziej interesującego dotyczącego liczb 1, 4, 9 i 16. Możecie sprawdzić wszystkie liczby międzu 9 i 16, i zobaczycie, że każda z nich ma parzystą liczbę dzielników. Ale co jest interesującego w tych liczbach? Dlaczego mają nieparzystą liczbę dzielników? We wszystkich innych przypadkach, każdy dzielnik jest sparowany z inną liczbą. 1 razy 2 to 2. 1 razy 6 to 6. 2 razy 3 to 6. Zawsze jest para. Oprócz tych liczb. Nie ma pary. Dlaczego? 1 razy 4 to 4. Ale 2 razy 2 to też 4. Więc piszemy 2 tylko raz. 3 razy 3 to 9. 4 razy 4 to 16. Więc wszystkie światła, które będą włączone, są tak naprawdę kwadratami. To dlatego mają nieparzystą liczbę dzielników. Więc jakie jest nasze pytanie? Problem, które żarówki będą włączone, sprowadza się do pytania, ile jest kwadratów między 1 i 100? Można je wypisać. I można powiedzieć: kwadraty to 1, 4, 9, 16, I można wymyślić je wszystkie. Albo można powiedzieć: dobra, ile liczb mogę podnieść do kwadratu, aby dały liczbę mniejszą lub równą 100? 100 to 10 do kwadratu. Więc możemy podnieść do kwadratu liczby między 1 i 10, aby otrzymać nasze kwadraty. Jest tylko 10 kwadratów między 1 i 100. Mam nadzieję, że za mną podążacie, ale jeśli to nie jest dla Was jasne, po prostu je sobie wypiszcie. 100 to największa liczba, jest naszym największym kwadratem. I jest to 10 do kwadratu. Inne kwadraty w naszym zakresie to 1 do kwadratu, 2 do kwadratu, 3 do kwadratu, aż do 10 do kwadratu. I możemy to zrobić. 4 do kwadratu to 16. 5 do kwadratu to 25. 36, 49, 64, 81 i 100. Więc żarówki z tymi numerami będą tymi, które pozostaną włączone na koniec. Mam nadzieję, że się Wam podobało!