Łamigłówka o zliczaniu dróg - film z polskimi napisami

. Powiedzmy, że mamy siatkę 6x6. Właśnie taką tu narysowałem. 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. I twoim zadaniem jest wystartować w górnym lewym rogu. W tym miejscu. I masz dotrzeć do dolnego prawego rogu. Tutaj, gdzie narysowałem gwiazdkę. Możesz poruszać się tylko w dwóch kierunkach. W prawo... ...albo w dół. Nie możesz poruszać się na ukos. Nie możesz poruszać się w górę. Nie możesz poruszać się w lewo. Tak więc każdy krok będzie cię nieco przybliżał do tej gwiazdki, bo nie możesz się cofać. A moje pytanie jest następujące: ile jest różnych ścieżek, żeby dostać się od startu do gwiazdki? To jest nasza zagadka. Możesz teraz zapauzować film i spróbować to rozwiązać samodzielnie, a ja spróbuję - kiedy wrócisz do filmiku - powoli wytłumaczyć, jak to rozwiązać. Możesz zapauzować w dowolnym momencie, podglądając tylko pośrednie kroki jako podpowiedzi. Więc jak się za to zabrać... Najpierw zaznaczmy najprostsze ścieżki. Sprawdźmy na ile sposobów mogę dotrzeć od startu do każdego z pól pośrednich, może to pomoże nam odkryć, na ile sposobów możemy dotrzeć do pola końcowego. (Wybiorę tylko inny kolor.) Na ile sposobów mogę dotrzeć od pola startu do tego pola tutaj? Tylko na jeden sposób, prawda? Stąd dotąd mogę dojść tylko poruszając się o jedno pole w prawo. Więc jest tylko jeden sposób. Zapiszę to tutaj. A na ile sposobów mogę dojść do tego pola? Też tylko na jeden. Mogę tylko poruszyć się w dół. Przypominam, że nie mógłbym pójść w prawo, w dół, i w lewo, bo zasady na to nie pozwalają. Każdy z ruchów musi mnie przybliżać do pola końcowego, więc wygląda na to, że już nieco się przybliżyliśmy. A na ile sposobów mogę dotrzeć do tego pola? Mógłbym iść w prawo, o tak... i potem jeszcze raz w prawo. I to jest jedyna droga jaką mogę sie tam dostać, prawda? Gdybym poszedł w dół, nie mógłbym się już cofnąć do góry, więc to jest jedyna droga, jaką mogę się tam dostać. Myśląc w ten sam sposób, jest tylko jedna droga tutaj poruszając się w prawo jedna droga tutaj, i jedna droga tutaj, Widzimy tu pewnien rodzaj symetrii, to znaczy tutaj możemy iść tylko w prawo, a tutaj tylko w dół, więc to jedyna droga by tam dotrzeć. Prosto w dół. Jeden sposób, jeden, jeden. W porządku. Teraz zajmiemy się trochę bardziej interesującym polem. Na ile sposobów mogę dotrzeć do tego pola? Na ile sposobów... (Obrysuję to pole.) Możemy albo pójść w dół i w prawo, albo w prawo i w dół. Więc są dwa sposoby dotarcia do tego pola. W porządku. Łatwo było znaleźć wszystkie sposoby dotarcia do tych pół bo nie jest ich tak dużo. Ale możecie już teraz coś zauważyć: jeśli mam pole w tym miejscu... (Chwila, narysuję kilka pól.) ... ... (W ten sposób.) Powiedzmy, że to jest dowolne pole z tej siatki. To nie musi być siatka 6x6, to może być siatka nxn. Moglibyśmy na przykład zrobić to z siatką 100x100, ale wtedy filmik byłby za długi, żeby to wszystko obliczyć. Więc powiedzmy, że chcę się dowiedzieć na ile sposobów mogę dotrzeć do tego pola. Przyjmijmy że wiem, że jest n sposobów żeby do dotrzeć tutaj... I m sposobów, żeby dotrzeć do tego pola. Więc na ile sposobów mogę dotrzeć do tego pola? Jedynym sposobem, żeby tu dotrzeć... (zaznaczę to innym kolorem) Jedynym sposobem, żeby dotrzeć do tego pola, stosując się do zasad, które wcześniej podałem. Więc mogę przejść albo z tego pola w dół... ...albo z tego pola w prawo. Więc na ile sposobów można dojść do tego pola? Jedynym sposobem, jakim mogłem się tu dostać, było przesunięcie się z tego pola w dół. Ale jest n ścieżek, jakimi mogłem dotrzeć do tego pola. Więc sposobów na dotarcie do tego pola jest n, a potem tutaj i jest m sposobów dotarcia do tego pola, a potem tutaj. Więc to pole... (czy ta komórka, mówię ciągle ,,cell") (bo może używam zbyt dużo Excela) Istnieje n + m sposobów, by się do niej dostać. Mam nadzieję, że rozumiecie tę intuicję, bo istnieją dwa sposoby na dotarcie bezpośrednio do tego pola, stąd i stąd. I powiedziałem, że istnieje n sposobów dotarcia tutaj, więc zanim do niego dotrzemy, najpierw możemy przejść n różnych ścieżek. Tak samo z tym polem. Widzieliśmy to już tutaj, Dwa sposoby: jeden i jeden, razem dwa sposoby dojścia do tego pola. Spróbujmy, czy to będzie działało w przypadku każdego pola, bo nie chcę, żebyście mi po prostu zaufali, że tak jest, chcę, żebyście to rozumieli. Więc na ile sposobów mogę dotrzeć tutaj? Bazując się na tym, co przed chwilą powiedziałem, mógłbym dodać 2 + 1 i powiedzieć "na trzy". Ale zobaczmy, czy tak naprawdę jest. Mógłbym iść ciągle w prawo. To jeden sposób. Mógłbym iśc tak...drugi sposób. I mógłbym iść w dół i w prawo. Trzy. Zauważcie, że z tych trzech dróg jedna z nich wychodzi z tego pola, a dwie z nich wychodzą z tego pola. To się zgadza z tym, co przed chwilą omówiłem w ogólny sposób. Wypełnijmy teraz całą siatkę liczbami. ... 1 + 2 = 3 (Zmienię kolor, żeby było ciekawiej) . Tutaj 1 + 3 = 4. 3 + 3 = 6. 3 + 1 = 4. Możecie zobaczyć pewną symetrię wzdłuż tego skosu. Prawda? Tutaj mamy 3 + 3 ... ...a tutaj 4 + 4. Jeśli oglądaliście filmiki o współczynnikach dwumianowych, albo o trójkącie Pascala, to zaczynacie dostrzegać tutaj pewnien wzór znajomych liczb. Co tu ma być? Pięć. I ten kwadrat jest bardzo elegancki pod tym względem, tutaj same jedynki, tutaj 1, 2, 3, 4, 5, 6... bo tutaj jest sześć, 1 + 5 = 6 Tu też: 4, 5, 6... 6 + 4 = 10 6 + 4 = 10. 10 + 5 = 15. 15 + 6 = 21. 10 + 10 = 20. 10 + 5 = 15. 21. Tutaj 35... 35... 70 35 + 21 = 56. 35 + 21 = 56. 56 + 70 = 126. I wreszcie 126 + 126 = 252. (Więc użyję do tego specjalnego koloru.) Więc jest 256... 256 sposobów na dotarcie stąd dotąd. I chodziło tylko o zrozumienie wzoru, wystarczyło zrozumieć to, a potem tylko wpisać liczby. I można tak zrobić dla dowolnych n i m, to nawet nie musi być n i m, Na przykład mógłbym zapytać na ile sposobów można dotrzeć do tego pola? I już byście potrafili to rozwiązać, bo wystarczy tylko poznać wzór, a potem dodać liczby i już mamy odpowiedź, Żeby rozwiązać tę zagadkę bez wzoru, narysować 252 sposobów, musielibyście siedzieć nad tym wieczność. Zmarnowalibyście tylko mnóstwo czasu. Ale co jest tu interesujące, jeśli oglądaliście filmik o współczynnikach dwumianowych, to poznajecie, że to są właśnie współczynniki dwumianowe. Zaraz coś narysuję i być może znowu to zauważycie. To jakby bonus do tej zagadki, którą już rozwiązaliście, więc jeśli chcieliście tylko poznać rozwiązanie i nie interesuje was, jak to się ma do matematyki, to możecie przestać oglądać. Teraz pokażę jak to sprytnie wykorzystać. Więc jeśli chcecie się dowiedzieć ile jest (x + y) do potęgi n, sporo o tym mówiliśmy w filmikach o trójkącie Pascala i współczynnikach dwumianowych. Chcę wam pokazać, że to jest dokładnie to samo, a nawet wytłumaczone w prostszy sposób, niż używając trójkąta Pascala, chociaż zasadniczo chodzi o to samo. Jeśli napiszemy tutaj: 1, x, x do potęgi drugiej, x do potęgi trzeciej, x do potęgi czwartej, x do potęgi piątej. Miełem to narysować nad kwadratem, ale zabrakło mi miejsca. Tutaj napiszę 1, y, y do kwadratu, y do potęgi trzeciej, y do potęgi czwartej, y do potęgi piątej, I gdybym miał powiedzieć, ile jest (x + y) do potęgi czwartej, to mógłbym oczywiście powiedzieć: Hm, (x + y) do potęgi czwartej to będzie... x do potęgi czwartej plus cośtam cośtam cośtam, kilka naukowych terminów, potem y do potęgi czwartej i to wszystko tutaj w środku. A tak, wystarczy zaznaczyć x do potęgi czwartej i tu na dole y do potęgi czwartej. Rozwiązanie da nam ta linia po skosie. Narysuję ją. I druga linia... Te linie wskazują nam współczynniki. I nie tylko wskazują nam współczynniki, ale ich kombinacje. Co mam na myśli? Chwila, tylko zmażę... To wszystko, co mówię, to dodatek do właściwego problemu, który już udało nam się rozwiązać. Więc to już mogę zmazać. Chcemy się dowiedzieć ile to będzie (x + y) do potęgi czwartej. Musimy tylko...zostawię wam tu ten kwadrat, żebyście mogli patrzyć jeszcze na to ułożenie liczb i jak się one zachowują w każdym rzędzie i kolumnie i po skosach, Ale jeżeli chcecie się dowiedzieć, ile będzie (x + y) do potęgi czwartej, to mamy w tym miejscu x do potęgi czwartej, można powiedzieć 1x do potęgi czwartej, 1x do potęgi czwartej razy 1, (czyli po prostu 1x do potęgi czwartej) plus 4x do potęgi trzeciej razy y. Tak? Mówię o tym. I potem plus 6x do potęgi drugiej razy y do potęgi drugiej. . plus 4x razy y do potęgi 3, i w końcu plus 1y do potęgi czwartej razy 1. Możecie teraz powiedzieć: To niesamowite, Sal, jak to zrobiłeś? Po prostu kiedy mnożysz to (x + y) do potęgi czwartej - i zachęcam was do spróbowania, jeśli kiedyś się wam będzie nudziło - jest sześć sposobów na otrzymanie x do kwadratu razy y do kwadratu. Kiedy to wszystko pomnożycie, to się przekonacie. Robiliśmy to już w ramach intuicji w filmikach o wzorach dwumianowych. Ale ogółem jest sześć sposobów na otrzymanie tego, czyli dokładnie tyle samo, co w zagadce, którą rozwiązywaliśmy na początku. Na ile sposobów można dotrzeć na to pole? Już doszliśmy do tego, że na sześć. Mam nadzieję, że chociaż trochę wam się podobało. . .