Główna zawartość

Kurs: Matematyka II > Rozdział 11

Lekcja 9: Własności stycznych do okręgu

Wyzwanie: promień i styczna do okręgu

Rozwiąż dwa trudne zadania, w których zastosujesz własności stycznej do znalezienia promienia okręgu. Tłumaczenie na język polski zrealizowane przez Fundację Edukacja dla Przyszłości dzięki wsparciu Fundacji PKO Banku Polskiego.

Zadanie 1

Prosta

\overset{\leftrightarrow}{A C}

jest styczna do okręgu

O

w punkcie

C

Ile wynosi długość $\overset{―}{O C}$ ‍?

jednostek

Ponieważ

\overset{\leftrightarrow}{A C}

jest styczna do okręgu w punkcie

C

, to promień idący do punktu

C

jest prostopadły do stycznej. Oznacza to, że miara

∠ A C O

wynosi

90^{\circ}

Możemy użyć twierdzenia Pitagorasa żeby znaleźć długość

\overset{―}{O C}

Musimy znać długość

\overset{―}{O A}

Wiemy, że

A B = 2

B O = O C

ponieważ jest to promień tego okręgu.

$O A = A B + B O$ ‍
$O A = 2 + O C$ ‍

Teraz, gdy mamy wyrażenie odpowiadające długości

A O

, możemy znaleźć

O C

$\begin{aligned} {A C}^{2} + {O C}^{2} & = O A^{2} \\ 4^{2} + {O C}^{2} & = (O C + 2)^{2} \\ 16 + {O C}^{2} & = {O C}^{2} + 4 O C + 4 \\ 12 & = 4 O C \\ 3 & = O C \end{aligned}$ ‍

Długość $\overset{―}{O C}$ ‍ wynosi $3$ ‍ jednostki.

Zadanie 2

Prosta

\overset{\leftrightarrow}{A C}

jest styczna do okręgu

O

w punkcie

C

Ile wynosi długość $\overset{―}{O C}$ ‍?

jednostek

Ponieważ

\overset{\leftrightarrow}{A C}

jest styczna do okręgu w punkcie

C

, to promień idący do punktu

C

jest prostopadły do stycznej. Oznacza to, że miara

∠ A C O

wynosi

90^{\circ}

Możemy użyć twierdzenia Pitagorasa żeby znaleźć długość

\overset{―}{O C}

Musimy znać długość

\overset{―}{O A}

Wiemy, że

A B = 18

B O = O C

ponieważ jest to promień tego okręgu.

$O A = A B + B O$ ‍
$O A = 18 + O C$ ‍

Teraz, gdy mamy wyrażenie odpowiadające długości

A O

, możemy znaleźć

O C

$\begin{aligned} {A C}^{2} + {O C}^{2} & = O A^{2} \\ 30^{2} + {O C}^{2} & = (O C + 18)^{2} \\ 900 + {O C}^{2} & = {O C}^{2} + 36 O C + 324 \\ 576 & = 36 O C \\ 16 & = O C \end{aligned}$ ‍

Długość $\overset{―}{O C}$ ‍ wynosi $16$ ‍ jednostek.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.