Przegląd działań na liczbach zespolonych

Przegląd dodawania, odejmowania i mnożenia liczb zespolonych.


Dodawanie
$(a_{1} + b_{1} i) + (a_{2} + b_{2} i) = (a_{1} + a_{2}) + (b_{1} + b_{2}) i$ ‍
Odejmowanie
$(a_{1} + b_{1} i) - (a_{2} + b_{2} i) = (a_{1} - a_{2}) + (b_{1} - b_{2}) i$ ‍
Mnożenie
$(a_{1} + b_{1} i) \cdot (a_{2} + b_{2} i) = (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}) + (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) i$ ‍

Chcesz wiedzieć więcej na temat działań na liczbach zespolonych? Obejrzyj te filmy:

Dodawanie liczb zespolonych
Odejmowanie liczb zespolonych
Mnożenie liczb zespolonych

Ćwiczenie 1: dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych

Przykład 1: Dodawanie liczb zespolonych

Dodawanie liczb zespolonych polega po prostu na dodawaniu do siebie oddzielnie części rzeczywistych i części urojonych. Na przykład:

\begin{aligned} (3 + 4 i) + (6 - 10 i) \\ = (3 + 6) + (4 - 10) i \\ = 9 - 6 i \end{aligned}

Przykład 2: Odejmowanie liczb zespolonych

Analogicznie jak w przypadku dodawania, odejmowanie liczb zespolonych polega po prostu na odejmowaniu do siebie oddzielnie części rzeczywistych i części urojonych. Na przykład:

\begin{aligned} (3 + 4 i) - (6 - 10 i) \\ = (3 - 6) + (4 - (- 10)) i \\ = - 3 + 14 i \end{aligned}

Zadanie 1.1

(7 - 10 i) - (3 + 30 i) =

Wynik wyraź w postaci $(a + b i)$ ‍.

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Ćwiczenie 2: Mnożenie liczb zespolonych

Mnożenie liczb zespolonych opiera się na podobnej zasadzie, co mnożenie dwumianów:

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

Istotna różnica polega na tym, że w przypadku mnożenia liczb zespolonych wykorzystujemy także, że

i^{2} = - 1

Przykład 1

\begin{aligned} 2 \cdot (- 3 + 4 i) \\ = 2 \cdot (- 3) + 2 \cdot 4 i \\ = - 6 + 8 i \end{aligned}

Przykład 2

\begin{aligned} 3 i \cdot (1 - 5 i) \\ = 3 i \cdot 1 + 3 i \cdot (- 5) i \\ = 3 i - 15 i^{2} \\ = 3 i - 15 (- 1) \\ = 15 + 3 i \end{aligned}

Przykład 3

\begin{aligned} (2 + 3 i) \cdot (1 - 5 i) \\ = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (- 5) i + 3 i \cdot 1 + 3 i \cdot (- 5) i \\ = 2 - 10 i + 3 i - 15 i^{2} \\ = 2 - 7 i - 15 (- 1) \\ = 17 - 7 i \end{aligned}

Zadanie 2.1

8 \cdot (11 i + 2) =

Twój wynik powinien być liczbą zespoloną w postaci $a + b i$ ‍ gdzie $a$ ‍ i $b$ ‍ to liczby rzeczywiste.

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Wypróbuj to bazowe ćwiczenie oraz te zaawansowane zadania.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.