Główna zawartość
Matematyka II
Kurs: Matematyka II > Rozdział 5
Lekcja 2: Wprowadzenie do liczb zespolonychWprowadzenie do liczb zespolonych
Dowiedz się czym są liczby zespolone oraz ich części rzeczywiste i urojone.
W ciele liczb rzeczywistych nie istnieje rozwiązanie równania x, squared, equals, minus, 1. W tej lekcji będziemy poznawać nowe ciało liczb, w którym równanie to ma rozwiązanie.
Rdzeniem tego nowego ciała liczb jest liczba i.
Branie wielokrotności tej jednostki urojonej wynika w utworzeniu nieskończonej ilości nowych liczb. Dla przykładu, 3, i, i, square root of, 5, end square root, oraz minus, 12, i są liczbami urojonymi, czyli liczbami postaci b, i, gdzie b jest pewną niezerową liczbą rzeczywistą.
Dodanie liczb rzeczywistych do tych liczb urojonych tworzy jeszcze inne nowe liczby, takie jak 2, plus, 7, i czy 3, minus, square root of, 2, end square root, i. Nie są to czysto urojone liczby, nie są to też liczby rzeczywiste. Nazywamy je liczbami zespolonymi.
Definicja liczb zespolonych
Liczbą zespoloną nazywamy każdą liczbę, którą można zapisać jako sumę start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, gdzie i jest jednostką urojoną a start color #1fab54, a, end color #1fab54 i start color #11accd, b, end color #11accd są liczbami rzeczywistymi.
Częścią start color #1fab54, start text, r, z, e, c, z, y, w, i, s, t, ą, end text, end color #1fab54 liczby zespolonej, czyli start color #1fab54, a, end color #1fab54, jest liczba rzeczywista dodana do liczby urojonej.
Częścią start color #11accd, start text, u, r, o, j, o, n, ą, end text, end color #11accd liczby zespolonej, czyli start color #11accd, b, end color #11accd, jest rzeczywisty współczynnik stojący w liczbie urojonej.
Poniższa tabela podaje przykłady liczb zespolonych, wraz z ich częściami rzeczywistymi i urojonymi. Niektórym łatwiej jest zidentyfikować części rzeczywistą i urojoną, gdy liczba zespolona zapisana jest w postaci standardowej.
Liczba zespolona | Postać standardowa start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i | Description of parts |
---|---|---|
7, i, minus, 2 | start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 7, end color #11accd, i | Częścią rzeczywistą jest start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54 a częścią urojoną jest start color #11accd, 7, end color #11accd. |
4, minus, 3, i | start color #1fab54, 4, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, right parenthesis, i | Częścią rzeczywistą jest start color #1fab54, 4, end color #1fab54 a częścią urojoną jest start color #11accd, minus, 3, end color #11accd |
space, space, space, space, space, space, space, 9, i | start color #1fab54, 0, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 9, end color #11accd, i | Częścią rzeczywistą jest start color #1fab54, 0, end color #1fab54 a częścią urojoną jest start color #11accd, 9, end color #11accd |
space, space, space, space, minus, 2 | start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 0, end color #11accd, i | Częścią rzeczywistą jest start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54 a częścią urojoną jest start color #11accd, 0, end color #11accd |
Sprawdź, czy rozumiesz
Zadanie 1
Zadanie 2
Zadanie 3
Klasyfikacja liczb zespolonych
Zauważyłeś(aś) pewnie, że liczby 9, i i minus, 2 były podane jako przykłady liczb zespolonych, mimo że wcześniej nazywaliśmy je, odpowiednio, urojoną i rzeczywistą.
Przyjrzyjmy się dokładniej, jakie zależności występują między poznanymi przez nas zbiorami liczb.
9, i jest liczbą urojoną. Możemy jednak zawsze przedstawić ją jako start color #1fab54, 0, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 9, end color #11accd, i. Liczba 9, i jest więc jednocześnie liczbą urojoną i liczbą zespoloną! Rzeczywiście, każda liczba urojona jest również liczbą zespoloną.
Podobnie, minus, 2 jest liczbą rzeczywistą. Jednakże możemy ją zapisać jako start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 0, end color #11accd, i. minus, 2 jest więc jednocześnie liczbą rzeczywistą i liczbą zespoloną! Rzeczywiście, każda liczba rzeczywista jest również liczbą zesploną.
W ogólności, każda niezerowa liczba zespolona a, plus, b, i będzie również...
- ...liczbą urojoną, jeżeli a, equals, 0.
- ...liczbą rzeczywistą, jeżeli b, equals, 0.
Diagram pokazuje zależności między liczbami rzeczywistymi, urojonymi i zespolonymi. Podane są przykłady każdego z typu tych liczb.
Pytanie do zastanowienia
Przykłady
W poniższej tabeli sklasyfikowaliśmy kilka liczb jako rzeczywiste, urojone i/lub zespolone.
X | ||||
X | X | |||
X | X | |||
X | X | |||
X | X |
Zauważ, że wszystkie liczby z tabeli są liczbami zespolonymi! Jest to ogólna prawda.
Teraz spróbuj sam!
Zadanie 4
Zadanie 5
Zadanie 6
Dlaczego liczby zespolone są takie ważne?
Po co uczyć się o liczbach zespolonych? Wierz lub nie, liczby zespolone mają bardzo wiele zastosowań - elektronika i mechanika kwantowa to tyko niektóre z nich!
Z czysto matematycznego punktu widzenia, dobrą własnością liczb zespolonych jest to, że pozwalają nam na rozwiązanie dowolnego równania wielomianowego.
Na przykład, równanie x, squared, minus, 2, x, plus, 5, equals, 0 nie ma rozwiązań rzeczywistych, ani też urojonych. Jednakże, ma ono dwa rozwiązania zespolone. Są to 1, plus, 2, i oraz 1, minus, 2, i.
Podczas dalszej nauki matematyki dowiemy się więcej o tych liczbach oraz gdzie i jak można ich używać.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji