If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Matematyka II

Kurs: Matematyka II > Rozdział 5

Lekcja 2: Wprowadzenie do liczb zespolonych
Matematyka
Matematyka II
Liczby zespolone
Wprowadzenie do liczb zespolonych
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Wprowadzenie do liczb zespolonych

Google Classroom
Dowiedz się czym są liczby zespolone oraz ich części rzeczywiste i urojone.
W ciele liczb rzeczywistych nie istnieje rozwiązanie równania x, squared, equals, minus, 1. W tej lekcji będziemy poznawać nowe ciało liczb, w którym równanie to ma rozwiązanie.
Rdzeniem tego nowego ciała liczb jest liczba i.
i, equals, square root of, minus, 1, end square root
Branie wielokrotności tej jednostki urojonej wynika w utworzeniu nieskończonej ilości nowych liczb. Dla przykładu, 3, i, i, square root of, 5, end square root, oraz minus, 12, i są liczbami urojonymi, czyli liczbami postaci b, i, gdzie b jest pewną niezerową liczbą rzeczywistą.
Dodanie liczb rzeczywistych do tych liczb urojonych tworzy jeszcze inne nowe liczby, takie jak 2, plus, 7, i czy 3, minus, square root of, 2, end square root, i. Nie są to czysto urojone liczby, nie są to też liczby rzeczywiste. Nazywamy je liczbami zespolonymi.

Definicja liczb zespolonych

Liczbą zespoloną nazywamy każdą liczbę, którą można zapisać jako sumę start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, gdzie i jest jednostką urojoną a start color #1fab54, a, end color #1fab54 i start color #11accd, b, end color #11accd są liczbami rzeczywistymi.
Częścią start color #1fab54, start text, r, z, e, c, z, y, w, i, s, t, ą, end text, end color #1fab54 liczby zespolonej, czyli start color #1fab54, a, end color #1fab54, jest liczba rzeczywista dodana do liczby urojonej.
Częścią start color #11accd, start text, u, r, o, j, o, n, ą, end text, end color #11accd liczby zespolonej, czyli start color #11accd, b, end color #11accd, jest rzeczywisty współczynnik stojący w liczbie urojonej.
Poniższa tabela podaje przykłady liczb zespolonych, wraz z ich częściami rzeczywistymi i urojonymi. Niektórym łatwiej jest zidentyfikować części rzeczywistą i urojoną, gdy liczba zespolona zapisana jest w postaci standardowej.
Liczba zespolonaPostać standardowa start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, iDescription of parts
7, i, minus, 2start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 7, end color #11accd, iCzęścią rzeczywistą jest start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54 a częścią urojoną jest start color #11accd, 7, end color #11accd.
4, minus, 3, istart color #1fab54, 4, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, right parenthesis, iCzęścią rzeczywistą jest start color #1fab54, 4, end color #1fab54 a częścią urojoną jest start color #11accd, minus, 3, end color #11accd
space, space, space, space, space, space, space, 9, istart color #1fab54, 0, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 9, end color #11accd, iCzęścią rzeczywistą jest start color #1fab54, 0, end color #1fab54 a częścią urojoną jest start color #11accd, 9, end color #11accd
space, space, space, space, minus, 2start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 0, end color #11accd, iCzęścią rzeczywistą jest start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54 a częścią urojoną jest start color #11accd, 0, end color #11accd

Sprawdź, czy rozumiesz

Zadanie 1

Jaka jest część rzeczywista liczby 13, comma, 2, i, plus, 1?
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Zadanie 2

Jaka jest część urojona liczby 21, minus, 14, i?
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Zadanie 3

Ile wynosi część rzeczywista 17, i?
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Klasyfikacja liczb zespolonych

Zauważyłeś(aś) pewnie, że liczby 9, i i minus, 2 były podane jako przykłady liczb zespolonych, mimo że wcześniej nazywaliśmy je, odpowiednio, urojoną i rzeczywistą.
Przyjrzyjmy się dokładniej, jakie zależności występują między poznanymi przez nas zbiorami liczb.
9, i jest liczbą urojoną. Możemy jednak zawsze przedstawić ją jako start color #1fab54, 0, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 9, end color #11accd, i. Liczba 9, i jest więc jednocześnie liczbą urojoną i liczbą zespoloną! Rzeczywiście, każda liczba urojona jest również liczbą zespoloną.
Podobnie, minus, 2 jest liczbą rzeczywistą. Jednakże możemy ją zapisać jako start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 0, end color #11accd, i. minus, 2 jest więc jednocześnie liczbą rzeczywistą i liczbą zespoloną! Rzeczywiście, każda liczba rzeczywista jest również liczbą zesploną.
W ogólności, każda niezerowa liczba zespolona a, plus, b, i będzie również...
  • ...liczbą urojoną, jeżeli a, equals, 0.
  • ...liczbą rzeczywistą, jeżeli b, equals, 0.
Diagram pokazuje zależności między liczbami rzeczywistymi, urojonymi i zespolonymi. Podane są przykłady każdego z typu tych liczb.

Pytanie do zastanowienia

Prawda czy fałsz?
Każda liczba zespolona jest albo rzeczywista, albo urojona.
Wybierz 1 odpowiedź:

Przykłady

W poniższej tabeli sklasyfikowaliśmy kilka liczb jako rzeczywiste, urojone i/lub zespolone.
Rzeczywista(b=0)\begin{aligned}&\text{Rzeczywista}\\&(b=0)\end{aligned}Urojona(a=0)\begin{aligned}&\text{Urojona}\\&(a=0)\end{aligned}Zespolona(a+bi)\begin{aligned}&\text{Zespolona}\\&(a+bi)\end{aligned}
7+8i(7+8i)\begin{aligned}&7+8i\\&(\greenD{7}+\blueD{8}i)\end{aligned}X
3(3+0i)\begin{aligned}&\sqrt{3}\\&(\greenD{\sqrt{3}}+\blueD{0}i)\end{aligned}XX
1(1+0i)\begin{aligned}&1\\&(\greenD{1}+\blueD{0}i)\end{aligned}XX
−1,3i(0+(−1,3)i)\begin{aligned}&-1{,}3i\\&(\greenD{0}+(\blueD{-1,3})i)\end{aligned}XX
100i(0+100i)\begin{aligned}&100i\\&(\greenD{0}+\blueD{100}i)\end{aligned}XX
Zauważ, że wszystkie liczby z tabeli są liczbami zespolonymi! Jest to ogólna prawda.

Teraz spróbuj sam!

Zadanie 4

Jakim typem liczby jest minus, 2, plus, 3, i?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Zadanie 5

Jakim typem liczby jest 10, comma, 2?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Zadanie 6

Jakim typem liczby jest minus, 17, i?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Dlaczego liczby zespolone są takie ważne?

Po co uczyć się o liczbach zespolonych? Wierz lub nie, liczby zespolone mają bardzo wiele zastosowań - elektronika i mechanika kwantowa to tyko niektóre z nich!
Z czysto matematycznego punktu widzenia, dobrą własnością liczb zespolonych jest to, że pozwalają nam na rozwiązanie dowolnego równania wielomianowego.
Na przykład, równanie x, squared, minus, 2, x, plus, 5, equals, 0 nie ma rozwiązań rzeczywistych, ani też urojonych. Jednakże, ma ono dwa rozwiązania zespolone. Są to 1, plus, 2, i oraz 1, minus, 2, i.
Podczas dalszej nauki matematyki dowiemy się więcej o tych liczbach oraz gdzie i jak można ich używać.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.