Główna zawartość

Kurs: Matematyka II > Rozdział 2

Lekcja 9: Różne metody rozkładu funkcji kwadratowej na czynniki

Różne metody rozkładania trójmianów kwadratowych na czynniki

Zebraliśmy razem metody rozkładania na czynniki trójmianów kwadratowych w różnej postaci

Co powinnaś/powinieneś wiedzieć, aby skorzystać z tej lekcji

W tej lekcji zostaną użyte następujące metody rozkładu na czynniki:

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tym artykule poćwiczysz zastosowanie w praktyce wszystkich tych metod razem, nauczysz się więc znajdować rozkład na czynniki wyrażenia kwadratowego w jakiejkolwiek postaci.

Wprowadzenie: Przegląd metod rozkładania na czynniki

Metoda	Przykład	Kiedy ma zastosowanie?
Wyłączanie przed nawias wspólnych czynników	$\begin{aligned} 6 x^{2} + 3 x \\ = 3 x (2 x + 1) \end{aligned}$ ‍	Jeśli wszystkie wyrazy wielomianu mają wspólny czynnik.
Schemat z sumą i iloczynem	$\begin{aligned} x^{2} + 7 x + 12 \\ = (x + 3) (x + 4) \end{aligned}$ ‍	Jeśli wielomian ma postać $x^{2} + b x + c$ ‍ i istnieją takie czynniki wyrazu $c$ ‍, których suma wynosi $b$ ‍.
Metoda grupowania	$\begin{aligned} 2 x^{2} + 7 x + 3 \\ = 2 x^{2} + 6 x + 1 x + 3 \\ = 2 x (x + 3) + 1 (x + 3) \\ = (x + 3) (2 x + 1) \end{aligned}$ ‍	Jeśli wielomian ma postać $a x^{2} + b x + c$ ‍ i istnieją takie czynniki iloczynu $a c$ ‍, których suma wynosi $b$ ‍.
Idealnie kwadratowe trójmiany	$\begin{aligned} x^{2} + 10 x + 25 \\ = (x + 5)^{2} \end{aligned}$ ‍	Jeśli pierwszy i ostatni wyraz to liczby idealnie kwadratowe a środkowy wyraz to dwukrotność iloczynu pierwiastków kwadratowych z tych liczb.
Różnica kwadratów	$\begin{aligned} x^{2} - 9 \\ = (x - 3) (x + 3) \end{aligned}$ ‍	Jeśli wyrażenie jest różnicą wyrażeń kwadratowych.

Zapiszmy to wszystko razem:

W praktyce rzadko będziesz mieć podane jakiego sposobu rozkładu użyć kiedy dostajesz zadanie do rozwiązania. Ważne jest więc, żeby mieć swego rodzaju listę, której możesz użyć żeby ułatwić sobie szukanie rozkładu na czynniki.

To jest przykład takiej listy, w której zadajesz ciąg pytań żeby określić, w jaki sposób można rozłożyć dany wielomian.

Rozkładanie wyrażeń kwadratowych

Zanim zaczniesz rozwiązywać zadanie z rozkładaniem na czynniki, pomóc może Ci zapisanie go w postaci ogólnej.

Kiedy tak się stanie, może zacząć zadawać listę następujących pytań:

Pytanie 1: Czy jest jakiś wspólny czynnik?
Jeśli nie, przejdź do pytania 2. Jeśli tak, wyłącz największy wspólny czynnik przed nawias i przejdź do pytania 2.

Wyłączanie największego wspólnego czynnika przed nawias to bardzo ważny krok w procesie rozkładania na czynniki, ponieważ powoduje, że liczby stają się mniejsze. A to z kolei pozwala łatwiej rozpoznawać schematy!

Pytanie 2: Czy jest to różnica kwadratów (np. $x^{2} - 16$ ‍ albo $25 x^{2} - 9$ ‍)?
Jeśli pojawi się schemat różnicy kwadratów, użyj wzoru

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

. Jeśli nie, przejdź do pytania 3.

Pytanie 3: Czy jest to idealnie kwadratowy trójmian (np. $x^{2} - 10 x + 25$ ‍ albo $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍)?
Jeśli pojawia się schemat idealnie kwadratowego trójmianu, użyj wzoru

a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = (a \pm b)^{2}

. Jeśli nie, przejdź do pytania 4.

Pytanie 4:

a.) Czy wyrażenie ma postać $x^{2} + b x + c$ ‍?
Jeśli nie, przejdź do pytania 5. Jeśli tak, przejdź do części b).

b.) Czy istnieją takie czynniki $c$ ‍, które sumują się do $b$ ‍?
Jeśli tak, użyj schematu z sumą i iloczynem. W innym przypadku wyrażenie kwadratowe nie może już zostać dalej rozłożone.

Pytanie 5: Czy są czynniki $a c$ ‍, które sumują się do $b$ ‍?
Jeśli jesteś już tak daleko, to wyrażenie kwadratowe musi mieć postać

a x^{2} + b x + c

, gdzie

a \neq 1

. Jeśli są takie czynniki

a c

, które sumują się do

b

, rozkładamy to używając metody grupowania. Jeśli nie, to wyrażenia nie można już bardziej rozłożyć na czynniki.

Sprawdzenie wszystkiego z tej lisy pomoże Ci upewnić się, że rozłożyłeś wyrażenie kwadratowe zupełnie!

Kiedy znajdujesz zupełny rozkład, to znaczy, że kontynuujesz rozkładanie aż do momentu, kiedy czynników wyrażenia nie można już bardziej rozłożyć.

Na przykład w wielomianie

2 x^{2} - 4 x - 16

. Można go rozłożyć wyłączając wspólny czynnik

2

$2 x^{2} - 4 x - 16 = 2 (x^{2} - 2 x - 8)$ ‍

Jednakże nie jest to jeszcze zupełnie rozłożone wyrażenie, bo

x^{2} - 2 x - 8

można dalej rozłożyć. Dodając ten ostatni krok proces będzie wyglądał tak:

$\begin{aligned} 2 x^{2} - 4 x - 16 & = 2 (x^{2} - 2 x - 8) \\ = 2 (x - 4) (x + 2) \end{aligned}$ ‍

W tym momencie nie możemy już dalej kontynuować rozkładu, ponieważ zapisaliśmy wielomian jako iloczyn czynników liniowych bez największych wspólnych czynników.

Tak więc podczas gdy

2 (x^{2} - 2 x - 8)

to rozkład na czynniki wyrażenia

2 x^{2} - 4 x - 16

, to zupełnym rozkładem jest

2 (x - 4) (x + 2)

Pamiętając o ty, spróbuj rozwiązać kilka przykładów.

Przykład 1: Rozkładanie na czynniki $5 x^{2} - 80$ ‍

Zauważ, że wyrażenie ma już postać ogólną. Możemy więc przejść do listy.

Pytanie 1: Czy jest jakiś wspólny czynnik?
Tak. NWD wyrażenia

5 x^{2}

80

5

. Możemy więc go wyłączyć w ten sposób:

$5 x^{2} - 80 = 5 (x^{2} - 16)$ ‍

Pytanie 2: Czy jest to różnica kwadratów?
Tak.

x^{2} - 16 = (x)^{2} - (4)^{2}

. Możemy użyć wzoru na różnicę kwadratów żeby kontynuować rozkład na czynniki tego wielomianu, tak jak pokazano poniżej.

$\begin{aligned} = 5 ((x)^{2} - (4)^{2}) \\ = 5 (x + 4) (x - 4) \end{aligned}$ ‍

Nie ma już więcej wyrażeń kwadratowych w tym wielomianie. Rozłożyliśmy go zupełnie.

Podsumowując,

5 x^{2} - 80 = 5 (x + 4) (x - 4)

Przykład 2: Rozkładanie na czynniki $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍

Wyrażenie kwadratowe ponownie jest w postaci ogólnej. Zacznijmy się sprawdzanie listy!

Pytanie 1: Czy jest jakiś wspólny czynnik?
Nie. Wyrazy

4 x^{2}

12 x

9

nie mają wspólnego czynnika. Następne pytanie.

Pytanie 2: Czy jest to różnica kwadratów?
Nie. Jest tam wyraz

x

, więc nie może to być różnica kwadratów. Następne pytanie.

Pytanie 3: Czy jest to idealnie kwadratowy trójmian?
Tak. Pierwszy wyraz jest idealnie kwadratowy, ponieważ

4 x^{2} = (2 x)^{2}

, i ostatni wyraz jest idealnie kwadratowy, ponieważ

9 = (3)^{2}

. Także środkowy wyraz jest podwójnym iloczynem liczb, które są podniesione do kwadratu, ponieważ

12 x = 2 (2 x) (3)

Możemy użyć schematu idealnie kwadratowego trójmianu żeby rozłożyć to wyrażenie.

$\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x + 9 \\ = (2 x)^{2} + 2 (2 x) (3) + (3)^{2} \\ = (2 x + 3)^{2} \end{aligned}$ ‍

Podsumowując,

4 x^{2} + 12 x + 9 = (2 x + 3)^{2}

Przykład 3: Rozkładanie na czynniki $12 x - 63 + 3 x^{2}$ ‍

Wyrażenie kwadratowe nie ma postaci ogólnej. Możemy zapisać to w postaci

3 x^{2} + 12 x - 63

i możemy przejść do listy.

Pytanie 1: Czy jest wspólny czynnik?
Tak. NWD wyrazów

3 x^{2}

12 x

63

3

. Możemy rozłożyć to w ten sposób:

$3 x^{2} + 12 x - 63 = 3 (x^{2} + 4 x - 21)$ ‍

Pytanie 2: Czy jest to różnica kwadratów?
Nie. Następne pytanie.

Pytanie 3: Czy jest to idealnie kwadratowy trójmian?
Nie. Zauważ, że

21

to nie jest liczba kwadratowa, więc nie może to być idealnie kwadratowy trójmian. Następne pytanie.

Pytanie 4a: Czy jest to wyrażenie w postaci $x^{2} + b x + c$ ‍?
Tak. Wynikowe wyrażenie kwadratowe,

x^{2} + 4 x - 21

, ma tą postać.

Pytanie 4b: Czy istnieją czynniki $c$ ‍, które sumują się do $b$ ‍?
Tak. A konkretnie, są takie czynniki

- 21

, które sumują się do

4

Ponieważ

7 \cdot (- 3) = - 21

7 + (- 3) = 4

, możemy kontynuować w następujący sposób:

$\begin{aligned} = 3 (x^{2} + 4 x - 21) \\ = 3 (x + 7) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

Podsumowując,

3 x^{2} + 12 x - 63 = 3 (x + 7) (x - 3)

Przykład 4: Rozkładanie na czynniki $4 x^{2} + 18 x - 10$ ‍

Zauważ, że wyrażenie kwadratowe ma już postać ogólną.

Pytanie 1: Czy jest wspólny czynnik?
Tak. NWD wyrazów

4 x^{2}

18 x

10

2

. Możemy rozłożyć to w ten sposób:

$4 x^{2} + 18 x - 10 = 2 (2 x^{2} + 9 x - 5)$ ‍

Pytanie 2: Czy jest to różnica kwadratów?
Nie. Następne pytanie.

Pytanie 3: Czy jest to idealnie kwadratowy trójmian?
Nie. Następne pytanie.

Pytanie 4a: Czy wyrażenie to ma postać $x^{2} + b x + c$ ‍?
Nie. Współczynnik przy najwyższej potędze wynosi

2

. Następne pytanie.

Pytanie 5: Czy są takie czynniki $a c$ ‍, które sumują się do $b$ ‍?
Wynikowe wyrażenie kwadratowe to

2 x^{2} + 9 x - 5

, więc chcemy znaleźć czynniki

2 \cdot (- 5) = - 10

, które sumują się do

9

Ponieważ

(- 1) \cdot 10 = - 10

(- 1) + 10 = 9

, odpowiedź brzmi tak.

Możemy teraz zapisać środkowy wyraz w postaci

- 1 x + 10 x

i użyć grupowania żeby rozłożyć to na czynniki:

\begin{aligned} 2 (2 x^{2} + 9 x - 5) \\ = 2 (2 x^{2} - 1 x + 10 x - 5) & Rozbijanie środkowego wyrazu \\ = 2 ((2 x^{2} - 1 x) + (10 x - 5)) & Grupowanie wyrazów \\ = 2 (x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1)) & Wyłączenie NWD \\ = 2 (2 x - 1) (x + 5) & Wyłącz 2 x - 1 \end{aligned}

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Całkowicie rozłóż na czynniki $2 x^{2} + 4 x - 16$ ‍.

2) Całkowicie rozłóż na czynniki $3 x^{2} - 60 x + 300$ ‍.

3) Całkowicie rozłóż na czynniki $72 x^{2} - 2$ ‍.

4) Całkowicie rozłóż na czynniki $5 x^{2} + 5 x + 15$ ‍.

5) Całkowicie rozłóż na czynniki $8 x^{2} - 12 x - 8$ ‍.

6) Całkowicie rozłóż na czynniki $56 - 18 x + x^{2}$ ‍.

7) Całkowicie rozłóż na czynniki $3 x^{2} + 27$ ‍.

\begin{aligned} 3 x^{2} + 27 \\ = 3 (x^{2} + 9) & Wyłącz przed nawias 3 \end{aligned}

Wyrażenia

x^{2} + 9

nie da się już dalej rozłożyć.

Upewnijmy się, że tak jest, zapisując to wyrażenie jako

x^{2} + 0 x + 9

. Ponieważ nie ma dwóch takich liczb, których iloczyn wynosi

9

, a które sumują się do

0

, tak więc wyrażenia nie da się już rozłożyć.

Innym sposobem jest zauważenie, że

x^{2} + 9

to suma kwadratów, a nie różnica kwadratów. Suma kwadratów nigdy nie da się rozłożyć w zbiorze liczb rzeczywistych.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Matematyka II

Kurs: Matematyka II > Rozdział 2

Co powinnaś/powinieneś wiedzieć, aby skorzystać z tej lekcji

Czego nauczysz się w tej lekcji

Wprowadzenie: Przegląd metod rozkładania na czynniki

Zapiszmy to wszystko razem:

Rozkładanie wyrażeń kwadratowych

Przykład 1: Rozkładanie na czynniki 5x2−80‍

Przykład 2: Rozkładanie na czynniki 4x2+12x+9‍

Przykład 3: Rozkładanie na czynniki 12x−63+3x2‍

Przykład 4: Rozkładanie na czynniki 4x2+18x−10‍

Sprawdź, czy rozumiesz

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Przykład 1: Rozkładanie na czynniki $5 x^{2} - 80$ ‍

Przykład 2: Rozkładanie na czynniki $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍

Przykład 3: Rozkładanie na czynniki $12 x - 63 + 3 x^{2}$ ‍

Przykład 4: Rozkładanie na czynniki $4 x^{2} + 18 x - 10$ ‍