Główna zawartość

Kurs: Matematyka II > Rozdział 3

Lekcja 7: Dopełnianie do kwadratu

Rozwiązywanie równań kwadratowych przez dopełnienie do kwadratu

Na przykład, rozwiąż równanie x²+6x=-2, przekształcając je do postaci (x+3)²=7, a następnie biorąc pierwiastek z obu stron.

Co trzeba wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Czego nauczysz się w tej lekcji

Do tej pory rozwiązywaliśmy równania kwadratowe poprzez wyciąganie pierwiastka albo przez rozkład na czynniki. Metody te, gdy tylko można je zastosować, są stosunkowo proste i wydajne. Niestety nie zawsze możemy ich użyć.

W tej lekcji nauczysz się jak rozwiązać dowolne równanie kwadratowe.

Rozwiązywanie równań kwadratowych przez dopełnianie do kwadratu

Rozważmy równanie

x^{2} + 6 x = - 2

. Metody pierwiastkowania i rozkładu na czynniki nie mogą zostać tutaj zastosowane.

Ale nie traćmy nadziei! Możemy wykorzystać metodę dopełnienia do kwadratu. Spójrzmy na rozwiązanie a później omówmy je dokładniej.

\begin{aligned} (1) & x^{2} + 6 x & = - 2 \\ (2) & x^{2} + 6 x + 9 & = 7 & Dodaj 9, aby dopełnić do kwadratu. \\ (3) & (x + 3)^{2} & = 7 & Rozłóż wyrażenie po lewej na czynniki. \\ (4) & \sqrt{(x + 3)^{2}} & = \pm \sqrt{7} & Wyciągnij pierwiastek kwadratowy. \\ (5) & x + 3 & = \pm \sqrt{7} \\ (6) & x & = \pm \sqrt{7} - 3 & Odejmij 3. \end{aligned}

Podsumowując, rozwiązaniami są

x = \sqrt{7} - 3

x = - \sqrt{7} - 3

Co tu się wydarzyło?

Dodanie

9

x^{2} + 6 x

(2)

rzędzie szczęśliwie spowodowało, że wyrażenie po lewej stronie stało się kwadratem wyrażenia liniowego, dokładniej

(x + 3)^{2}

. To pozwoliło nam na rozwiązanie równania poprzez wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego z obu stron.

Oczywiście, to nie był przypadek. Liczba

9

została dokładnie dobrana tak, aby otrzymane wyrażenie było kwadratem wyrażenia liniowego.

Jak dopełnić do kwadratu

Aby zrozumieć jak wybrano

9

, powinniśmy zadać sobie następujące pytanie: jeśli

x^{2} + 6 x

jest początkiem wyrażenia będącego kwadratem wyrażenia liniowego, to ile wynosi wyraz stały?

Załóżmy, że wyrażenie może być rozłożone na czynniki jako kwadrat

(x + a)^{2}

, gdzie wciąż nie znamy

a

. Po opuszczeniu nawiasów otrzymujemy wyrażenie

x^{2} + 2 a x + a

, które mówi nam dwie rzeczy:

Wyraz przy $x$ ‍, o którym wiemy, że wynosi $6$ ‍, powinien być równy $2 a$ ‍. To oznacza, że $a = 3$ ‍.
Wyraz wolny, jaki należy dodać, to $a^{2}$ ‍, czyli $3^{2} = 9$ ‍.

Spróbuj samemu dopełnić do kwadratu kilka wyrażeń.

zadanie 1

Jaki jest wyraz stały w wyrażeniu będącym kwadratem wyrażenia liniowego, zaczynającym się od $x^{2} + 10 x$ ‍ ?

Zadanie 2

Jaki jest wyraz stały w wyrażeniu będącym kwadratem wyrażenia liniowego, zaczynającym się od $x^{2} - 2 x$ ‍ ?

Zadanie 3

Jaki jest wyraz stały w wyrażeniu będącym kwadratem wyrażenia liniowego, zaczynającym się od $x^{2} + \frac{1}{2} x$ ‍ ?

Wyzwanie

Jaki jest wyraz stały w wyrażeniu będącym kwadratem wyrażenia liniowego, zaczynającym się od $x^{2} + b \cdot x$ ‍?

To zadanie daje nam wzór na dopełnienie do kwadratu, dla tych, którzy lubią wzory i nie mają nic przeciw nauce na pamięć: pokazuje nam, że żeby dopełnić do kwadratu

x^{2} + b x

, gdzie

b

jest dowolną liczbą, musimy dodać

{(\frac{b}{2})}^{2}

Na przykład, aby dopełnić do kwadratu

x^{2} + 6 x

, dodaliśmy

{(\frac{6}{2})}^{2} = 9

Jeszcze raz o rozwiązywaniu równań

Świetnie! Skoro już jesteś mistrzem w dopełnianiu do kwadratu, możemy przejść do rozwiązywania równań kwadratowych przy użyciu tej metody.

Rozważmy nowy przykład, czyli równanie

x^{2} - 10 x = - 12

\begin{aligned} (1) & x^{2} - 10 x & = - 12 \\ (2) & x^{2} - 10 x + 25 & = 13 & Dodaj 25, dopełniając do kwadratu \\ (3) & (x - 5)^{2} & = 13 & Rozłóż na czynniki lewą stronę \\ (4) & \sqrt{(x - 5)^{2}} & = \pm \sqrt{13} & Weź pierwiastek z obu stron \\ (5) & x - 5 & = \pm \sqrt{13} \\ (6) & x & = \pm \sqrt{13} + 5 & Dodaj 5 \end{aligned}

W celu dopełnienia do kwadratu pierwotnego wyrażenia

x^{2} - 10 x

, dodaliśmy

25

w rzędzie

(2)

. Jak zwykle, dodaliśmy tyle samo z prawej strony, co spowodowało, że wzrosła od

- 12

13

W ogólności, wybór liczby dopełniającej do kwadratu nie zależy od prawej strony, ale i tak powinniśmy zawsze dodawać tę liczbę do obu stron równania.

Teraz Twoja kolej: rozwiąż kilka równań.

Zadanie 4

Rozwiąż równanie $x^{2} - 8 x = 5$ ‍.

Zadanie 5

Rozwiąż równanie $x^{2} + 3 x = - \frac{1}{4}$ ‍.

Porządkowanie wyrazów w równaniu przed dopełnieniem do kwadratu

Reguła I: Odddziel wyrazy ze zmienną od wyrazu stałego

Tak wygląda rozwiązanie równania

x^{2} + 5 x - 6 = x + 1

\begin{aligned} (1) & x^{2} + 5 x - 6 & = x + 1 \\ (2) & x^{2} + 4 x - 6 & = 1 & Odejmij x \\ (3) & x^{2} + 4 x & = 7 & Add 6 \\ (4) & x^{2} + 4 x + 4 & = 11 & Dodaj 4, dopełniając do kwadratu \\ (5) & (x + 2)^{2} & = 11 & Rozłóż na czynniki \\ (6) & \sqrt{(x + 2)^{2}} & = \pm \sqrt{11} & Weź pierwiastek z obu stron \\ (7) & x + 2 & = \pm \sqrt{11} \\ (8) & x & = \pm \sqrt{11} - 2 & Odejmij 2 \end{aligned}

Dopełnienie do kwadratu jednej strony równania nie pomaga, jeżeli po drugiej stronie znajduje się wyraz z

x

. To właśnie dlatego odjęliśmy

x

w rzędzie

(2)

, umieszczając wszystkie wyrazy z

x

po lewej stronie.

Ponadto, aby dopełnić do kwadratu

x^{2} + 4 x

, musimy dodać

4

, ale zanim to zrobimy, musimy się upewnić, że wszystkie wyrazy stałe znajdują się po drugiej stronie równania. To dlatego dodaliśmy

6

w rzędzie

(3)

Reguła II: Upewnij się, że współczynnik stojący przy $x^{2}$ ‍ równa się $1$ ‍

Tak wygląda rozwiązanie równania

3 x^{2} - 36 x = - 42

\begin{aligned} (1) & 3 x^{2} - 36 x & = - 42 \\ (2) & x^{2} - 12 x & = - 14 & Podziel przez 3 \\ (3) & x^{2} - 12 x + 36 & = 22 & Dodaj 36, dopełniając do kwadratu \\ (4) & (x - 6)^{2} & = 22 & Rozłóż na czynniki \\ (5) & \sqrt{(x - 6)^{2}} & = \pm \sqrt{22} & Weź pierwiastek z obu stron \\ (6) & x - 6 & = \pm \sqrt{22} \\ (7) & x = & \pm \sqrt{22} + 6 & Dodaj 6 \end{aligned}

Metoda dopełniania do kwadratu, jakiej się nauczyliśmy, działa jedynie wtedy, gdy współczynnik stojący przy

x^{2}

wynosi

1

W metodzie dopełniania do kwadratu, której się nauczyliśmy, porównujemy dane wyrażenie do ogólnego kwadratu

(x + a)^{2}

, który jest równy

x^{2} + 2 a x + a^{2}

. Jak widzisz, w tym wyrażeniu współczynnik stojący przy

x^{2}

wynosi

1

Jeżeli spojrzymy na wyrażenie typu

3 x^{2} - 36 x

jako na początek kwadratu wyrażenia liniowego, to nie będzie on równy wyrażeniu

(x + a)^{2}

dla żadnego

a

. Ów kwadrat będzie równy wyrażeniu

(\sqrt{3} \cdot x + a)^{2}

, które po opuszczeniu nawiasów ma postać

3 x^{2} + 2 a \sqrt{3} \cdot x + a^{2}

To właśnie dlatego w

(2)

wierszu podzieliliśmy przez współczynnik stojący przy

x^{2}

, czyli

3

Czasami podzielenie przez współczynnik stojący przy

x^{2}

spowoduje, że inne współczynniki staną się ułamkami. To nie znaczy, że gdzieś popełniony został błąd, tylko że w rozwiązaniu pojawią się ułamki.

Rozwiąż teraz kilka podobnych równań.

Zadanie 6

Rozwiąż równanie $4 x^{2} + 20 x - 3 = 0$ ‍.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Matematyka II

Kurs: Matematyka II > Rozdział 3

Co trzeba wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Czego nauczysz się w tej lekcji

Rozwiązywanie równań kwadratowych przez dopełnianie do kwadratu

Co tu się wydarzyło?

Jak dopełnić do kwadratu

Jeszcze raz o rozwiązywaniu równań

Porządkowanie wyrazów w równaniu przed dopełnieniem do kwadratu

Reguła I: Odddziel wyrazy ze zmienną od wyrazu stałego

Reguła II: Upewnij się, że współczynnik stojący przy x2‍ równa się 1‍

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Reguła II: Upewnij się, że współczynnik stojący przy $x^{2}$ ‍ równa się $1$ ‍